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1、2022年高中數(shù)學 第2章 推理與證明單元測試 新人教A版選修1-2
一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.有如下一段演繹推理:“有些有理數(shù)是真分數(shù),整數(shù)是有理數(shù),則整數(shù)是真分數(shù)”,這個推理的結論顯然是錯誤的,是因為( )
A.大前提錯誤 B.小前提錯誤
C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤
[答案] C
[解析] 推理形式不完全符合三段論推理的要求,故推出的結論是錯誤的.
2.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2·an(n≥2),而a1=1,通過計算a2、a3、a4,猜想an=(
2、)
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 考查歸納推理.
a2=S2-S1=22a2-1∴a2=
a3=S3-S2=32·a3-22·a2=9a3-4×
∴a3=
a4=S4-S3=42·a4-32a3=16a4-9×
∴a4=
由此猜想an=
3.觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的特點,問第100項為( )
A.10 B.14
C.13 D.100
[答案] B
[解析] 設n∈N*,則數(shù)字n共有n個
所以≤100即n(n+1)≤200,
又因為n∈N*,所以n=13,到第13
3、個13時共有=91項,從第92項開始為14,故第100項為14.
4.如果x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切于原點,那么( )
A.F=0,D≠0,E≠0 B.E=0,F(xiàn)=0,D≠0
C.D=0,F(xiàn)=0,E≠0 D.D=0,E=0,F(xiàn)≠0
[答案] C
[解析] ∵圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切于原點,
∴圓過原點,F(xiàn)=0,又圓心在y軸上,∴D=0,E≠0.
5.已知a0,4-b>4
4、,∴a<4-b.
6.已知f1(x)=cosx,f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),f4(x)=f3′(x),…,fn(x)=fn-1′(x),則fxx(x)等于( )
A.sinx B.-sinx
C.cosx D.-cosx
[答案] D
[解析] 由已知,有f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,…,可以歸納出:
f4n(x)=sinx,f4n+1(x)=cosx,f4n+2(x)=-sinx,f4n+3(x)=-cosx(n∈N*).所以fxx(x)=f3(x
5、)=-cosx.
7.已知數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=(n∈N*),則a20等于( )
A.0 B.-
C. D.
[答案] B
[解析] a2==-,a3==,a4=0,所以此數(shù)列具有周期性,0,-,依次重復出現(xiàn).
因為20=3×6+2,所以a20=-.
8.已知1+2×3+3×32+4×32+…+n×3n-1=3n(na-b)+c對一切n∈N*都成立,那么a,b,c的值為( )
A.a(chǎn)=,b=c=
B.a(chǎn)=b=c=
C.a(chǎn)=0,b=c=
D.不存在這樣的a,b,c
[答案] A
[解析] 令n=1,2,3,得
所以a=,b
6、=c=.
9.已知f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,a+c>0,b+c>0,則f(a)+f(b)+f(c)的值( )
A.一定大于零 B.一定等于零
C.一定小于零 D.正負都有可能
[答案] A
[解析] f(x)=x3+x是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù),
由a+b>0得a>-b,
所以f(a)>f(-b),即f(a)+f(b)>0,
同理f(a)+f(c)>0,f(b)+f(c)>0,所以f(a)+f(b)+f(c)>0.
10.用反證法證明命題“若整數(shù)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么a、b、c中至少有一個是偶
7、數(shù)”,下列各假設中正確的是( )
A.假設a,b,c都是偶數(shù)
B.假設a,b,c都不是偶數(shù)
C.假設a,b,c中至多有一個是偶數(shù)
D.假設a,b,c中至多有兩個偶數(shù)
[答案] B
[解析] 對命題的結論“a,b,c中至少有一個是偶數(shù)”進行否定假設應是“假設a,b,c都不是偶數(shù)”.因為“至少有一個”即有一個、兩個或三個,因此它的否定應是“都不是”.
11.已知數(shù)列{an}的通項公式an=(n∈N*),記f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)…(1-an),通過計算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值,由此猜想f(n)=( )
A. B.
C.
8、 D.
[答案] A
12.若==,則△ABC是( )
A.等邊三角形
B.有一個內(nèi)角是30°的直角三角形
C.等腰直角三角形
D.有一個內(nèi)角是30°的等腰三角形
[答案] C
[解析] ∵==,由正弦定理得,
==,∴===,
∴sinB=cosB,sinC=cosC,∴∠B=∠C=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
二、填空題(本大題共4個小題,每小題4分,共16分,將正確答案填在題中橫線上)
13.對于“求證函數(shù)f(x)=-x3在R上是減函數(shù)”,用“三段論”可表示為:大前提是“對于定義域為D的函數(shù)f(x),若對任意x1,x2∈D且x2-x1>0,有f
9、(x2)-f(x1)<0,則函數(shù)f(x)在D上是減函數(shù)”,小前提是“
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________”,結論是“f(x)=-x3在 R上是減函數(shù)”.
[答案] 對于任意x1,x2∈R且x
10、2-x1>0,有f(x2)-f(x1)=-x+x=-(x2-x1)(x+x1x2+x)=-(x2-x1)·<0
14.在△ABC中,D為邊BC的中點,則=(+).將上述命題類比到四面體中去,得到一個類比命題:
________________________________________________________________________.
[答案] 在四面體A-BCD中,G為△BCD的重心,則=(++)
15.已知數(shù)列{an},a1=,an+1=,則a2、a3、a4、a5分別為________,猜想an=________.
[答案] ,,,,.
16.已知函數(shù)f(x
11、)=x2-cosx,對于上的任意x1,x2,有如下條件:
①x1>x2;②x>x;③|x1|>x2.
其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件序號是______.
[答案] ②
[解析] 易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且在上是增函數(shù),故能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件只有②x>x.
三、解答題(本大題共6個小題,共74分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本題滿分12分)已知:a、b、c∈R,且a+b+c=1.
求證:a2+b2+c2≥.
[解析] 證明:由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc
12、+ca.
∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.
由a+b+c=1,得3(a2+b2+c2)≥1,
即a2+b2+c2≥.
18.(本題滿分12分)設{an},{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列,若cn=an+bn,請證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列.
[證明] 假設數(shù)列{cn}是等比數(shù)列,則
(an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1).①
因為{an},{bn}是等比數(shù)列,設公比分別為p,q,則有
a=an-1·an+1,b=bn-1·bn+1.②
整理①式,并將②代入得
2anbn=an+1bn-1+a
13、n-1bn+1.
所以2anbn=anp·+·bnq,即2=+.
因為p≠q,所以+≠2,得出矛盾,所以假設不成立.
故數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列.
19.(本題滿分12分)若x>0,y>0,用分析法證明:(x2+y2)>(x3+y3).
[證明] 要證(x2+y2)>(x3+y3),
只需證(x2+y2)3>(x3+y3)2,
即證x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6,
即證3x4y2+3y4x2>2x3y3.
又因為x>0,y>0,所以x2y2>0,
故只需證3x2+3y2>2xy.
而3x2+3y2>x2+y2≥2xy成立,
所以(x2+y2)
14、>(x3+y3)成立.
20.(本題滿分12分)證明下列等式,并從中歸納出一個一般性的結論.
2cos=,
2cos=,
2cos=,
……
[證明] 2cos=2·=
2cos=2
=2·=
2cos=2
=2
=
…
2cos=
21.(本題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足a1=3,an·an-1=2·an-1-1.
(1)求a2,a3,a4;
(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出數(shù)列{an}的通項公式.
[解析] (1)由an·an-1=2·an-1-1得
an=2-,
代入a1=3,n依次取值2,3,4,得
a2=2-=,a3=2-=,a4=2-
15、=.
(2)證明:由an·an-1=2·an-1-1變形,得
(an-1)·(an-1-1)=-(an-1)+(an-1-1),
即-=1,
所以{}是等差數(shù)列.
由=,所以=+n-1,變形得an-1=,
所以an=為數(shù)列{an}的通項公式.
22.(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)a、b都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x>0時,f(x)>1.
(1)求證:f(x)是R上的增函數(shù).
(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.
[解析] (1)證明:設任意x1,x2∈R,且x2>x1,
則有x2-x1>0,利用已知條件“當x>0時,f(x)>1”得f(x2-x1)>1,
而f(x2)-f(x1)
=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)
=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0,
即f(x2)>f(x1),
所以f(x)是R上的增函數(shù).
(2)由于f(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3.
由f(3m2-m-2)<3得f(3m2-m-2)