2022年高一下學期期末數(shù)學試卷 含解析(IV)

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1、2022年高一下學期期末數(shù)學試卷 含解析(IV) 　 一、選擇題（共12×5=60分） 1．直線的傾斜角為（　　） A． B． C． D． 2．圓x2+y2+2x+y=0的半徑是（　?。? A． B． C． D． 3．直線l1：mx﹣y=0與直線l2：x﹣my+4=0互相平行，則實數(shù)m的值為（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 4．函數(shù)y=（x＞0）的最大值為（　?。? A．2 B． C． D． 5．已知非零向量滿足（+）⊥（﹣），且||=||，則向量與的夾角為（　?。? A． B． C． D． 6．已知，則z=x﹣2y的取值范圍是（　　） A．[﹣8，

2、12] B．[﹣4，12] C．[﹣4，4] D．[﹣8，4] 7．△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且c2﹣b2=ab，C=，則的值為（　?。? A． B．1 C．2 D．3 8．已知x1＞x2＞x3，若不等式恒成立，則實數(shù)m的最大值為（　　） A．9 B．7 C．3+2 D．1+ 9．遞增的等差數(shù)列{an}滿足：a1+a2+a3=12，a1a2a3=63，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則使Sn＞xx的最小整數(shù)n的值為（　?。? A．80 B．84 C．87 D．89 10．已知橢圓=1（a＞b＞0）的左頂點、上頂點、右焦點分別為A、B、F，且∠ABF=90°，則的

3、值為（　　） A． B． C． D． 11．已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1﹣an=2n（n∈N*），數(shù)列bn=），Tn=b1+b2+…+bn，則T10的值為（　?。? A． B． C． D． 12．已知直線l與橢圓=1（a＞b＞0）相切于直角坐標系的第一象限的點P（x0，y0），且直線l與x、y軸分別相交于點A、B，當△AOB（O為坐標原點）的面積最小時，∠F1PF2=60°（F1、F2是橢圓的兩個焦點），若此時∠F1PF2的內角平分線長度為a，則實數(shù)m的值是（　?。? A． B． C． D． 　 二、填空題（共20分） 13．已知x＞y＞0，則與中較大者是　　　　　　．

4、 14．△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，B=，sinA：sinC=4：3，且△ABC的面積為，則c=　　　　　?。? 15．等邊△ABC的邊長為2，且，則=　　　　　?。? 16．已知圓C的圓心在直線x+y﹣2=0上，圓C經過點（2，﹣2）且被x軸截得的弦長為2，則圓C的標準方程為　　　　　?。? 　 三、解答題（共70分） 17．已知橢圓=1的左、右焦點分別為F1、F2，點P在該橢圓上． （1）求實數(shù)m的取值范圍； （2）若m=5，且|PF1|=3，求點P到x軸的距離． 18．△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，角A為銳角，且． （1）求角C的大

5、??； （2）求sinA+sinB的取值范圍． 19．已知圓的方程為x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m+1=0（m∈R）． （1）當該圓的半徑最長時，求m的值； （2）在滿足（1）的條件下，若該圓的圓周上到直線l：2kx﹣2y+4+﹣3k=0的距離等于1的點有且只有3個，求實數(shù)k的值． 20．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1=2，an+1=3Sn﹣2（n∈N*）． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設bn=），求證，b1b2+b2b3+…+bnbn+1＜3（n∈N*）． 21．已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為，且點（2，）在C上． （1）求C的方程；

6、 （2）過點P（2，1）的直線l與橢圓C交于A，B兩點，且AB的中點恰為P，求直線l的方程． 22．已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的兩焦點F1、F2與短軸兩端點構成四邊形為正方形，又點M是C上任意一點，且△MF1F2的周長為2+2． （1）求橢圓C的方程； （2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓E上一點，且滿足（O為坐標原點），當|AB|＜時，求實數(shù)t的取值范圍． 　 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共12×5=60分） 1．直線的傾斜角為（　?。? A． B． C． D． 【考點】直線的傾斜角． 【分析】求出直線的斜率，從

7、而求出直線的傾斜角即可． 【解答】解：直線，即x+y=3， 故直線的斜率是k=﹣， 故傾斜角是：， 故選：D． 　 2．圓x2+y2+2x+y=0的半徑是（　?。? A． B． C． D． 【考點】圓的一般方程． 【分析】化圓的方程為標準方程，即可求出半徑． 【解答】解：把圓x2+y2+2x+y=0化標準方程為：， 則圓x2+y2+2x+y=0的半徑是：． 故選：B． 　 3．直線l1：mx﹣y=0與直線l2：x﹣my+4=0互相平行，則實數(shù)m的值為（　?。? A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 【考點】直線的一般式方程與直線的平行關系． 【分析】由直線與直線平行

8、的性質得m≠0，且，由此能求出m的值． 【解答】解：∵直線l1：mx﹣y=0與直線l2：x﹣my+4=0互相平行， ∴m≠0，且， 解得m=±1． 故選：D． 　 4．函數(shù)y=（x＞0）的最大值為（　　） A．2 B． C． D． 【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義． 【分析】將函數(shù)y化為6﹣（x+），由基本不等式a+b≥2（a，b＞0，a=b取得等號），計算即可得到所求最大值． 【解答】解：∵x＞0， ∴y= == =6﹣（x+）≤6﹣2=6﹣4=2， 當且僅當x=即x=2時，取得最大值2． 故選：A． 　 5．已知非零向量滿足（+）⊥（﹣），且||=||，則向

9、量與的夾角為（　　） A． B． C． D． 【考點】平面向量數(shù)量積的運算． 【分析】根據(jù)向量垂直的等價條件建立方程關系，結合數(shù)量積的應用進行求解即可． 【解答】解：∵（+）⊥（﹣），且||=||， ∴（+）?（﹣）=0， 即2﹣2﹣?=0， 即22﹣2﹣×|||cos＜，＞=0， 則﹣×cos＜，＞=0， 則cos＜，＞=， 則＜，＞=， 故選：A 　 6．已知，則z=x﹣2y的取值范圍是（　?。? A．[﹣8，12] B．[﹣4，12] C．[﹣4，4] D．[﹣8，4] 【考點】簡單線性規(guī)劃． 【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義求其最

10、值． 【解答】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖，當直線y=x﹣經過圖中B時z最大，經過D時z最小， 又得到B（4，﹣4）， 由得到D（0，4）， 所以x﹣2y的最大值為4+2×4=12，最小值為0﹣2×4=﹣8； 所以z=x﹣2y的取值范圍是[﹣8，12]； 故選A． 　 7．△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且c2﹣b2=ab，C=，則的值為（　　） A． B．1 C．2 D．3 【考點】余弦定理；正弦定理． 【分析】由于已知及余弦定理可解得a=2b，利用正弦定理即可得解． 【解答】解：∵C=， ∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=

11、a2+b2﹣ab， ∵c2﹣b2=ab， ∴a2+b2﹣ab=b2+ab，解得：a=2b， ∴利用正弦定理可得：． 故選：C． 　 8．已知x1＞x2＞x3，若不等式恒成立，則實數(shù)m的最大值為（　　） A．9 B．7 C．3+2 D．1+ 【考點】數(shù)列與不等式的綜合． 【分析】通過變形可知問題轉化為求+2?的最小值，進而利用基本不等式計算即得結論． 【解答】解：∵x1＞x2＞x3， ∴x1﹣x2＞0，x2﹣x3＞0，x1﹣x3＞0， 又∵， ∴m≤（x1﹣x3）（+） =+2? =3++2?， ∵+2?≥2=2， ∴m≤3+2， 故選：C． 　 9．遞增

12、的等差數(shù)列{an}滿足：a1+a2+a3=12，a1a2a3=63，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則使Sn＞xx的最小整數(shù)n的值為（　?。? A．80 B．84 C．87 D．89 【考點】等差數(shù)列的前n項和． 【分析】由等差數(shù)列通項公式列出方程組，求出首項和公差，從而求出Sn=，由此能求出使Sn＞xx的最小整數(shù)n的值． 【解答】解：遞增的等差數(shù)列{an}滿足：a1+a2+a3=12，a1a2a3=63， ∴， 解得，d=， =， ∵Sn＞xx，∴＞xx， ∴n2+13n﹣8072＞0， 解得n＞≈83.6， 由n∈N*，∴使Sn＞xx的最小整數(shù)n的值為84． 故選：B．

13、 　 10．已知橢圓=1（a＞b＞0）的左頂點、上頂點、右焦點分別為A、B、F，且∠ABF=90°，則的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】橢圓的簡單性質． 【分析】利用橢圓的性質用a，b，c表示出△ABF的邊長，利用勾股定理列方程得出a，b，c的關系． 【解答】解：由橢圓的定義可知|AF|=a+c，|AB|=，|BF|=a， ∵∠ABF=90°， ∴|AB|2+|BF|2=|AF|2，即a2+b2+a2=a2+c2+2ac， ∴a2+b2=c2+2ac．又b2=a2﹣c2， ∴a2﹣c2﹣ac=0，即（）2+﹣1=0， ∴=， ∴===． 故選：D．

14、 　 11．已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1﹣an=2n（n∈N*），數(shù)列bn=），Tn=b1+b2+…+bn，則T10的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】數(shù)列的求和． 【分析】利用累加法先求出數(shù)列{an}的通項公式，利用數(shù)列的遞推關系求出數(shù)列{bn}的通項公式，利用錯位相減法進行求和即可． 【解答】解：∵a1=1，an+1﹣an=2n（n∈N*）， ∴a2﹣a1=2， a3﹣a2=22， a4﹣a3=23， … an﹣an﹣1=2n﹣1， 等式兩邊同時相加得： an﹣a1=2+22+23+…2n﹣1， 即an=a1+2+22+23+…2n﹣1=1

15、+2+22+23+…2n﹣1==2n﹣1， bn=）===， 則Tn=+++…+，① 則Tn=+++…++，② ①﹣②得 Tn=+++…+﹣=﹣=1﹣（）n﹣， 則Tn=2﹣﹣=2﹣． 則T10=2﹣=2﹣=2﹣=． 故選：B 　 12．已知直線l與橢圓=1（a＞b＞0）相切于直角坐標系的第一象限的點P（x0，y0），且直線l與x、y軸分別相交于點A、B，當△AOB（O為坐標原點）的面積最小時，∠F1PF2=60°（F1、F2是橢圓的兩個焦點），若此時∠F1PF2的內角平分線長度為a，則實數(shù)m的值是（　?。? A． B． C． D． 【考點】橢圓的簡單性質． 【分析】由

16、題意，切線方程為=1，利用基本不等式，結合△AOB（O為坐標原點）的面積最小，可得切點坐標，利用三角形的面積公式，建立方程，即可求出實數(shù)m的值． 【解答】解：由題意，切線方程為=1， ∵直線l與x、y軸分別相交于點A、B， ∴A（，0），B（0，）， ∴S△AOB=， ∵=1≥， ∴≥， ∴S△AOB≥ab，當且僅當==時，△AOB（O為坐標原點）的面積最小， 設|PF1|=x，|PF2|=y，由余弦定理可得4c2=x2+y2﹣xy，∴xy=b2， ∴==b2， ∴=b2， ∴x0==b， ∴c=b， ∴a=b ∵∠F1PF2的內角平分線長度為a， ∴×x×a×+

17、×y×a×=b2， ∴×（x+y）=b2， ∴××2a=b2， ∴m=． 故選：A． 　 二、填空題（共20分） 13．已知x＞y＞0，則與中較大者是　?。? 【考點】不等式的證明． 【分析】根據(jù)已知中x＞y＞0，利用作差法，可得與的大小關系，進而得到答案． 【解答】解：∵x＞y＞0， ∴x﹣y＞0，y+1＞0， ﹣=＞0， 故與中較大者是， 故答案為： 　 14．△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，B=，sinA：sinC=4：3，且△ABC的面積為，則c=　　． 【考點】正弦定理． 【分析】由正弦定理和條件求出a：c的值，根據(jù)三角形的面積公式

18、列出方程，聯(lián)立方程后求出c的值． 【解答】解：∵sinA：sinC=4：3， ∴由正弦定理得，a：c=4：3，① ∵B=，且△ABC的面積為， ∴，解得ac=4，② 由①②解得，c=， 故答案為：． 　 15．等邊△ABC的邊長為2，且，則=　?。? 【考點】平面向量數(shù)量積的運算． 【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義進行轉化求解即可． 【解答】解：∵， ∴=， =，即D是BC的中點， 則=（+）?（+）=（﹣+）?（+） = [﹣2+2+?﹣?] = [﹣4+×42+×2×2cos60°﹣2×2×cos60°] =（﹣4++﹣2）==， 故答案為： 　 1

19、6．已知圓C的圓心在直線x+y﹣2=0上，圓C經過點（2，﹣2）且被x軸截得的弦長為2，則圓C的標準方程為?。▁﹣3）2+（y+1）2=2或（x﹣5）2+（y+3）2=10?。? 【考點】圓的標準方程． 【分析】由題意，設圓心坐標為（a，2﹣a），則r2=（a﹣2）2+（2﹣a+22）=12+（2﹣a）2，求出a，r，可得圓心與半徑，即可求出圓C的標準方程． 【解答】解：由題意，設圓心坐標為（a，2﹣a），則r2=（a﹣2）2+（2﹣a+22）=12+（2﹣a）2， ∴a=3，r=或a=5，r=， ∴圓C的標準方程為（x﹣3）2+（y+1）2=2或（x﹣5）2+（y+3）2=10．

20、故答案為：（x﹣3）2+（y+1）2=2或（x﹣5）2+（y+3）2=10． 　 三、解答題（共70分） 17．已知橢圓=1的左、右焦點分別為F1、F2，點P在該橢圓上． （1）求實數(shù)m的取值范圍； （2）若m=5，且|PF1|=3，求點P到x軸的距離． 【考點】橢圓的簡單性質． 【分析】（1）由題意，，即可求實數(shù)m的取值范圍； （2）求出|PF2|=1，|F1F2|=2，可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即可求點P到x軸的距離． 【解答】解：（1）由題意，，∴3＜m＜9且m≠6； （2）m=5，橢圓方程為=1，∴a=2，b=，c= ∵|PF1|=3，∴|P

21、F2|=1， ∵|F1F2|=2， ∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2， ∴P到x軸的距離為1． 　 18．△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，角A為銳角，且． （1）求角C的大??； （2）求sinA+sinB的取值范圍． 【考點】正弦定理． 【分析】（1）根據(jù)二倍角的正弦公式、商的關系化簡后，再由余弦定理化簡后求出C的值； （2）由（1）和內角和定理表示B，利用誘導公式、兩角和的正弦公式化簡后，由角A為銳角和正弦函數(shù)的性質，求出sinA+sinB的取值范圍． 【解答】解：（1）由題意得，， ∴，得， ∵角A為銳角，∴cosA=， 由余弦定理

22、得，，化簡得c2=a2+b2， ∴C=； （2）由（1）得，A+B=，則B=﹣A， ∴sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA=， 由得，， ∴， 則， ∴sinA+sinB的取值范圍是（1，]． 　 19．已知圓的方程為x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m+1=0（m∈R）． （1）當該圓的半徑最長時，求m的值； （2）在滿足（1）的條件下，若該圓的圓周上到直線l：2kx﹣2y+4+﹣3k=0的距離等于1的點有且只有3個，求實數(shù)k的值． 【考點】直線與圓的位置關系；圓的一般方程． 【分析】（1）圓的方程x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m

23、+1=0化為（x﹣1）2+（y﹣m）2=﹣m2+4m，當﹣m2+4m＞0時表示圓，半徑最大時，﹣m2+4m取得最大值，求出對應m的值； （2）圓周上到直線l的距離等于1的點有且只有3個時，圓心到直線l的距離d=r﹣1，列出方程求出k的值． 【解答】解：（1）圓的方程x2+y2﹣2x﹣2my+2m2﹣4m+1=0可化為： （x﹣1）2+（y﹣m）2=﹣m2+4m， 它表示圓時，應有﹣m2+4m＞0， 解得0＜m＜4； 當半徑最大時，應有﹣m2+4m最大， 此時m=2，圓的方程為 x2+y2﹣2x﹣4y+1=0； （2）圓的方程x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，化為（x﹣1）2+（y

24、﹣2）2=4； 該圓的圓周上到直線l：2kx﹣2y+4+﹣3k=0的距離等于1的點有且只有3個， 則圓心（1，2）到直線l的距離d等于半徑r﹣1， 即=1， 化簡得=4k2+4， 解得k=﹣． 　 20．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1=2，an+1=3Sn﹣2（n∈N*）． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設bn=），求證，b1b2+b2b3+…+bnbn+1＜3（n∈N*）． 【考點】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式． 【分析】（1）當n≥2時通過an+1=3Sn﹣2與an=3Sn﹣1﹣2作差，進而整理即得結論； （2）通過（1）可知數(shù)列{bn}的通項

25、公式，利用裂項相消法計算即得結論． 【解答】（1）解：∵an+1=3Sn﹣2， ∴當n≥2時，an=3Sn﹣1﹣2， 兩式相減得：an+1﹣an=3an，即an+1=4an（n≥2）， 又∵a1=2，a2=3S1﹣2=4， ∴數(shù)列{an}的通項公式an=； （2）證明：由（1）可知bn=， ∵當n≥2時，bnbn+1==﹣， ∴b1b2+b2b3+…+bnbn+1 =2×1+（1﹣）+（﹣）+…+（﹣） =3﹣ ＜3． 　 21．已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為，且點（2，）在C上． （1）求C的方程； （2）過點P（2，1）的直線l與橢圓C交于A，B兩

26、點，且AB的中點恰為P，求直線l的方程． 【考點】橢圓的簡單性質． 【分析】（1）根據(jù)橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為，且點（2，）在C上，建立方程，可a2=16，b2=8，即可求出C的方程； （2）設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4，y1+y2=2，利用點差法求出直線的向量，可求直線l的方程． 【解答】解：（1）∵橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為，且點（2，）在C上， ∴=， =1 ∴a2=16，b2=8， ∴C的方程為=1； （2）設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=4，y1+y2=2； 由（1）知，8x12+16y12=1

27、28，① 8x22+16y22=128，② ①﹣②得：8（x1+x2）（x1﹣x2）+16（y1+y2）（y2﹣y1）=0， ∴32（x1﹣x2）+32（y2﹣y1）=0， 由題意知，直線l的斜率存在，k=﹣1， ∴直線l的方程為y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0． 　 22．已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的兩焦點F1、F2與短軸兩端點構成四邊形為正方形，又點M是C上任意一點，且△MF1F2的周長為2+2． （1）求橢圓C的方程； （2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A、B，設P為橢圓E上一點，且滿足（O為坐標原點），當|AB|＜時，求實數(shù)t的取值范圍．

28、【考點】橢圓的簡單性質． 【分析】（1）運用橢圓的定義和范圍，可得2a+2c=2+2，b=c，a2﹣b2=c2，解方程可得a，b，即可得到橢圓方程； （2）由題意知直AB的斜率存在．AB：y=k（x﹣2），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用弦長公式即可求得k值取值范圍，再結合向量的坐標運算利用點P在橢圓上，建立k與t的關系式，利用函數(shù)的單調性求出實數(shù)t取值范圍，從而解決問題． 【解答】解：（1）△MF1F2的周長是2+2， 即為|MF1|+|MF2|+|F1F2|=2a+2c=2+2， 由橢圓C： =1（a＞b＞0）的兩焦點F1、F2與

29、短軸兩端點構成四邊形為正方形， 即有b=c，a2﹣b2=c2， 解得a=，b=1， 則橢圓的方程為y2=1； （2）由題意知直AB的斜率存在． AB：y=k（x﹣2），設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y） 代入橢圓方程，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0， △=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，k2＜ ∴x1x2=，x1+x2=， ∵|AB|＜， ∴|x1﹣x2|＜， ∴（1+k2）[（）2﹣4×]＜， ∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0， ∴k2＞， ∴＜k2＜， ∵滿足， ∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）， ∴x==?，y=?（y1+y2）=， ∵點P在橢圓上， ∴（?）2+2（）2=2 ∴16k2=t2（1+2k2） ∴t2==8﹣， 由于＜k2＜， ∴﹣2＜t＜﹣或＜t＜2 ∴實數(shù)t取值范圍為：﹣2＜t＜﹣或＜t＜2． 　 xx8月27日