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1、2022年高一數(shù)學(xué) 4.7二倍角的正弦余弦正切（第三課時(shí)） 大綱人教版必修
●教學(xué)目標(biāo)
(一)知識目標(biāo)
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式：
(1)sin2α＝2sinαcosα
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
(3)tan2α＝
(二)能力目標(biāo)
(1)靈活應(yīng)用和、差、倍角公式；
(2)掌握和差化積與積化和差的方法(不要求記憶).
(三)德育目標(biāo)
(1)培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系變化的觀點(diǎn)；
(2)提高學(xué)生的思維能力.
●教學(xué)重點(diǎn)
和角化歸的二倍角公式的變形式的理解與應(yīng)用.
●教學(xué)難點(diǎn)
二倍角公式的變形式的靈活應(yīng)用.
●教學(xué)方法
2、
引導(dǎo)學(xué)生推得二倍角公式的變形式，從而使學(xué)生加深對二倍角公式的理解與應(yīng)用.(啟發(fā)誘導(dǎo)式)
●教具準(zhǔn)備
幻燈片三張
第一張(§4.7.3 A)：
sin2＝(α為任意角)
cos2＝(α為任意角)
tan2＝(α≠kπ＋，k∈Z)
第二張(§4.7.3 B)：
sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］；
cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］；
cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］；
sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］.
(α、β為任意角)
第三張(§4.7.3 C)：
3、sinθ＋sin＝2sin·cos；
sinθ－sin＝2cos·sin；
cosθ＋cos＝2cos·cos；
cosθ－cos＝－2sin·sin.
(θ、為任意角)
●教學(xué)過程
Ⅰ.課題導(dǎo)入
［師］現(xiàn)在我們進(jìn)一步探討和角、差角、倍角公式的應(yīng)用.
先看本章開始所提問題，在章頭圖中，令∠AOB＝θ，則AB＝asinθ，OA＝acosθ，所以矩形ABCD的面積
S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2
當(dāng)sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°時(shí)，a2sin2θ＝a2＝S
不難看出，這時(shí)A、D兩點(diǎn)與O點(diǎn)的距離都是a，矩形的面積最大，于
4、是問題得到 解決.
Ⅱ.講授新課
［師］再看下面的例題
［例1］求證sin2＝
分析：此等式中的α可作為的2倍.
證明：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α，以代替α，即得
cosα＝1－2sin2
∴sin2＝
［師］請同學(xué)們試證以下兩式:
(1)cos2＝
(2)tan2＝
［生］證明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中以α代替2α、以代替α，即得cosα＝2cos2－1
∴cos2＝
(2)由tan2＝ ＝ cos2＝
得tan2
(打出幻燈片§4.7.3 A，讓學(xué)生觀察)
［師］這是我們剛才所推證的三式，不難看
5、出這三式有兩個(gè)共同特點(diǎn)：
(1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即半角的三角函數(shù)；
(2)由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達(dá)到“降次”的目的).
這一組式子也可稱為半角公式，但不要求大家記憶，只要理解并掌握這種推證方法.
另外，在這三式中，如果知道cosα的值和角的終邊所在象限，就可以將右邊開方，從而求得sin、cos與tan.
下面，再來看一例子.
［例2］求證：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
分析：只要將S(α＋β)、S(α－β)公式相加，即可推證.
證明：由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
6、
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ②
①＋②得：
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ
即：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］
［師］請同學(xué)們試證下面三式：
(1)cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
(2)cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］
(3)sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］
［生］思考片刻，自證.
證明：(1)由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
sin(α－β)＝sinαcosβ
7、－cosαsinβ ②
①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ
即：cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
(2)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ②
①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ
即：cosαcosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］
(3)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαs
8、inβ ②
①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ
即：sinαsinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］
(打出幻燈片§4.7.3 B，讓學(xué)生對照)
［師］不難看出，這一組式子也有一共同特點(diǎn)，即，左式均是乘積形式，右式均為和差形式，利用這一式可將乘積形式轉(zhuǎn)化為和差形式，也可稱為積化和差公式.
［師］和差形式是否可以化為乘積的形式呢?看這一例子.
［例3］求證sinθ＋sin＝2sincos分析：θ可有＋代替， ＝－
證明：左式＝sinθ＋sin
＝sin［＋］＋sin［－］
＝sincos＋cossin＋sincos－co
9、ssin
＝2sincos＝右邊
［師］請同學(xué)們再證下面三式.
(1)sinθ－sin＝2cos·sin；
(2)cosθ＋cos＝2cos·cos；
(3)cosθ－cos＝－2sin·sin.
［生］證明：(1)令θ＝＋
＝－
則左邊＝sinθ－sin
＝sin［＋］－sin［－］
＝sincos＋cossin－sincos＋cossin
＝2cossin＝右邊
(2)左邊＝cosθ＋cos
＝cos［＋］＋cos［－］
＝coscos－sinsin＋coscos＋sinsin
＝2coscos＝右邊
(3)左邊＝cosθ－cos
＝cos［＋］－cos［
10、－］
＝coscos－sinsin－coscos－sinsin
＝－2sinsin＝右邊.
(打出幻燈片§4.7.3 C)
［師］這組式子的特點(diǎn)是左式為和差形式，右式為積的形式，所以這組式子也可稱為和差化積公式，只要求掌握這種推導(dǎo)方法，不要求記憶.
Ⅲ.課堂練習(xí)
［生］(板演練習(xí))課本P46 1.
證明：tan＝
∵＝
∵
∴原式得證.
［師］若發(fā)現(xiàn)題目中所出現(xiàn)的角有二倍關(guān)系，不妨考慮使用二倍角公式.
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，要掌握推導(dǎo)積化和差、和差化積公式的方法，雖不要求記憶，但要知道它們的互化關(guān)系.另外，要注意半角公式的推導(dǎo)與正確使用.當(dāng)然，這些都是在熟練掌握二倍角公式的基礎(chǔ)上完成的.
Ⅴ.課后作業(yè)
(一)課本P47習(xí)題4.7 3.
(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容
課本P48～P49
2.預(yù)習(xí)提綱
(1)怎樣利用單位圓畫正弦曲線?
(2)余弦曲線與正弦曲線的關(guān)系如何?
●板書設(shè)計(jì)
§4.7.3 二倍角的正弦、余弦、正切(三)
例1 例2 例3
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