《習(xí)題詳解》word版

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1、第二章 習(xí)題2-1 1. 試?yán)帽竟?jié)定義5后面的注（3）證明：若xn=a,則對(duì)任何自然數(shù)k，有xn+k=a. 證：由，知，，當(dāng)時(shí)，有 取，有，，設(shè)時(shí)（此時(shí)）有 由數(shù)列極限的定義得 . 2. 試?yán)貌坏仁秸f(shuō)明：若xn=a,則∣xn∣=|a|.考察數(shù)列xn=(-1)n，說(shuō)明上述結(jié)論反之不成立. 證： 而 于是， 即 由數(shù)列極限的定義得 考察數(shù)列 ，知不存在，而，， 所以前面所證結(jié)論反之不成立。 3. 利用夾逼定理證明： (1) =0；

2、 (2) =0. 證：（1）因?yàn)? 而且 ，， 所以由夾逼定理，得 . （2）因?yàn)?，而且? 所以，由夾逼定理得 4. 利用單調(diào)有界數(shù)列收斂準(zhǔn)則證明下列數(shù)列的極限存在. (1) xn=，n=1,2,…； (2) x1=,xn+1＝,n=1,2,…. 證：（1）略。 （2）因?yàn)椋环猎O(shè)，則 故有對(duì)于任意正整數(shù)n，有，即數(shù)列有上界， 又 ，而,， 所以 即 ， 即數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。 綜上所述，數(shù)列是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故其極限存在。 習(xí)題2-2 1※. 證明：f(x)=

3、a的充要條件是f(x)在x0處的左、右極限均存在且都等于a. 證：先證充分性：即證若，則. 由及知： ,當(dāng)時(shí)，有， 當(dāng)時(shí)，有。 取，則當(dāng)或時(shí)，有， 而或就是， 于是，當(dāng)時(shí)，有， 所以 . 再證必要性：即若，則, 由知，，當(dāng)時(shí)，有， 由就是 或，于是，當(dāng)或時(shí)，有. 所以 綜上所述，f(x)=a的充要條件是f(x)在x0處的左、右極限均存在且都等于a. 2. (1) 利用極限的幾何意義確定 (x2+a),和； (2) 設(shè)f(x)= ，問(wèn)常數(shù)a為何值時(shí)，f(x)存在. 解：

4、（1）因?yàn)閤無(wú)限接近于0時(shí)，的值無(wú)限接近于a，故. 當(dāng)x從小于0的方向無(wú)限接近于0時(shí)，的值無(wú)限接近于0，故. （2）若存在，則， 由（1）知 ， 所以，當(dāng)時(shí)，存在。 3. 利用極限的幾何意義說(shuō)明sinx不存在. 解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的值在-1與1之間來(lái)回振擺動(dòng)，即不無(wú)限接近某一定直線，亦即不以直線為漸近線，所以不存在。 習(xí)題2-3 1. 舉例說(shuō)明：在某極限過(guò)程中，兩個(gè)無(wú)窮小量之商、兩個(gè)無(wú)窮大量之商、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之積都不一定是無(wú)窮小量，也不一定是無(wú)窮大量. 解：例1：當(dāng)時(shí)，都是無(wú)窮小量，但由（當(dāng)時(shí)，）不是無(wú)窮大量

5、，也不是無(wú)窮小量。 例2：當(dāng)時(shí)，與都是無(wú)窮大量，但不是無(wú)窮大量，也不是無(wú)窮小量。 例3：當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，而是無(wú)窮大量，但不是無(wú)窮大量，也不是無(wú)窮小量。 2. 判斷下列命題是否正確： (1) 無(wú)窮小量與無(wú)窮小量的商一定是無(wú)窮小量； (2) 有界函數(shù)與無(wú)窮小量之積為無(wú)窮小量； (3) 有界函數(shù)與無(wú)窮大量之積為無(wú)窮大量； (4) 有限個(gè)無(wú)窮小量之和為無(wú)窮小量； (5) 有限個(gè)無(wú)窮大量之和為無(wú)窮大量； (6) y=xsinx在(-∞，+∞)內(nèi)無(wú)界，但xsinx≠∞； (7) 無(wú)窮大量的倒數(shù)都是無(wú)窮小量； (8) 無(wú)窮小量的倒數(shù)都是無(wú)窮大量. 解：（1）錯(cuò)誤，如

6、第1題例1； （2）正確，見(jiàn)教材§2.3定理3； （3）錯(cuò)誤，例當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮大量，是有界函數(shù)，不是無(wú)窮大量； （4）正確，見(jiàn)教材§2.3定理2； （5）錯(cuò)誤，例如當(dāng)時(shí)，與都是無(wú)窮大量，但它們之和不是無(wú)窮大量； （6）正確，因?yàn)?，正整?shù)k，使，從而，即在內(nèi)無(wú)界，又，無(wú)論多么大，總存在正整數(shù)k，使，使，即時(shí)，不無(wú)限增大，即； （7）正確，見(jiàn)教材§2.3定理5； （8）錯(cuò)誤，只有非零的無(wú)窮小量的倒數(shù)才是無(wú)窮大量。零是無(wú)窮小量，但其倒數(shù)無(wú)意義。 3. 指出下列函數(shù)哪些是該極限過(guò)程中的無(wú)窮小量，哪些是該極限過(guò)程中的無(wú)窮大量. (1) f(x)= ,x→2;

7、 (2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞； (3) f(x)= ,x→0+，x→0-； (4) f(x)= -arctanx,x→+∞; (5) f(x)= sinx,x→∞; (6) f(x)= ，x→∞. 解：（1），即時(shí)，是無(wú)窮小量，所以是無(wú)窮小量，因而也是無(wú)窮大量。 （2）從的圖像可以看出，，所以，當(dāng)時(shí)，時(shí)，是無(wú)窮大量； 當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量。 （3）從的圖可以看出，， 所以，當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮大量； 當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量。 （4）， 當(dāng)時(shí)，是無(wú)

8、窮小量。 （5）當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，是有界函數(shù)， 是無(wú)窮小量。 （6）當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，是有界變量， 是無(wú)窮小量。 習(xí)題2-4 1.若f(x)存在，g(x)不存在，問(wèn)［f(x)±g(x)］, ［f(x)·g(x)］是否存在，為什么? 解：若f(x)存在，g(x)不存在，則 （1）［f(x)±g(x)］不存在。因?yàn)槿簦踗(x)±g(x)］存在，則由或以及極限的運(yùn)算法則可得g(x)，與題設(shè)矛盾。 （2）［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如：，，則，不存在，但［f(x)·g(x)］=存在。 又如：，，則，不存在，而 ［f(x)·g(x)］不存在

9、。 2. 若f(x)和g(x)均存在，且f(x)≥g(x)，證明f(x)≥g(x). 證：設(shè)f(x)=A，g(x)=B，則，分別存在，，使得當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有 令，則當(dāng)時(shí)，有 從而，由的任意性推出即 . 3. 利用夾逼定理證明：若a1,a2，…，am為m個(gè)正常數(shù)，則 =A, 其中A=max{a1,a2,…，am}. 證：因?yàn)?，? 而，，由夾逼定理得 . 4※. 利用單調(diào)有界數(shù)列必存在極限這一收斂準(zhǔn)則證明：若x1＝,x2=,…，xn+1=（n=1,2,…），則xn存在，并求該極限. 證：因?yàn)橛? 今設(shè)，則，由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)于任意正整數(shù)n有，即數(shù)列單調(diào)遞增。

10、又因?yàn)椋裨O(shè)，則，由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)于任意的正整數(shù) n有，即數(shù)列有上界，由極限收斂準(zhǔn)則知存在。 設(shè)，對(duì)等式兩邊取極限得，即，解得，（由極限的保號(hào)性，舍去），所以. 5. 求下列極限： (1) ； (2) ； (3) ; (4) ； (5) . 解：（1）原式=； （2）因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，而是有界變量，由無(wú)窮小量與有界變量的乘積是無(wú)窮小量得：； （3） 而， ； （4）； （5）. 6. 求下列極限： (1) ； (2) ； (3) ;

11、 (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ； (9) ； (10) ； (11) . 解： （2） （3）； （4）； （5） ； （6） ； （7） ； （8）（無(wú)窮小量與有界函數(shù)之積為無(wú)窮小量） ； （9） ； （10） （11）當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，是有界函數(shù)， 它們之積是無(wú)窮小量，即。 習(xí)題2-5 求下列極限(其中a＞0,a≠1為常數(shù)）： 1. ; 2. ;

12、3. xcotx; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12.; 13. ; 14. ; 15.; 16. . 解：1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. 8.令，則，當(dāng)時(shí)，， . 9. （利用了第8題結(jié)論）； 10. ； 11. ； 12. ； 13.令，則，當(dāng)，， ； 14.令，則，當(dāng)，，

13、 . 習(xí)題2-6 1. 證明： 若當(dāng)x→x0時(shí)，(x)→0,β(x)→0,且(x)≠0，則當(dāng)x→x０時(shí)，(x)～β(x)的充要條件是＝０. 證：先證充分性. 若＝０，則＝0, 即，即. 也即，所以當(dāng)時(shí)，. 再證必要性： 若當(dāng)時(shí)，，則， 所以＝＝. 綜上所述，當(dāng)x→x0時(shí)，(x)～β(x)的充要條件是 ＝０. 2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，證明(x)=0. 證： 即 . 3. 證明： 若當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，則f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由

14、此判斷當(dāng)x→0時(shí)，tanx－sinx是x的幾階無(wú)窮小量. 證: ∵當(dāng)x→0時(shí), f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb) ∴ 于是: ∴當(dāng)x→0時(shí), , ∵ 而當(dāng)x→0時(shí), , 由前面所證的結(jié)論知, , 所以,當(dāng)x→0時(shí),是x的3階無(wú)窮小量. 4. 利用等價(jià)無(wú)窮小量求下列極限： (1) (b≠0)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) (a≠b)； (7) ； (8) 設(shè)＝100,求f(x). 解

15、 (8)由,及知必有, 即 , 所以 . 習(xí)題2-7 １.研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形： (1) f(x)= (2) f(x)＝ 解: (1) ∴ f(x)在x=0處右連續(xù), 又 ∴ f(x)在x=1處連續(xù). 又 ∴ f(x)在x=2處連續(xù). 又f(x)在(0,1),(1,2)顯然連續(xù),綜上所述, f(x)在[0,2]上連續(xù).圖形如下: 圖2-1 (2) ∴ f(x)在x=1處連續(xù). 又 故 ∴

16、 f(x)在x=-1處間斷, x=-1是跳躍間斷點(diǎn). 又f(x)在顯然連續(xù). 綜上所述函數(shù)f(x)在x=-1處間斷,在上連續(xù).圖形如下: 圖2-2 2. 說(shuō)明函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有定義、有極限、連續(xù)這三個(gè)概念有什么不同?又有什么聯(lián)系? 略. 3.函數(shù)在其第二類間斷點(diǎn)處的左、右極限是否一定均不存在?試舉例說(shuō)明. 解:函數(shù)在其第二類間斷點(diǎn)處的左、右極限不一定均不存在. 例如是其的一個(gè)第二類間斷點(diǎn),但即在處左極限存在,而,即在處右極限不存在. 4.求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并說(shuō)明間斷點(diǎn)的類型： (1) f(x)= ； (2) f(x)＝； (3

17、) f(x)= ； (4) f(x)= ； (5) f(x)= . 解: (1)由得x=-1, x=-2 ∴ x=-1是可去間斷點(diǎn),x=-2是無(wú)窮間斷點(diǎn). (2)由sinx=0得,k為整數(shù). ∴ x=0是跳躍間斷點(diǎn). (4)由x2-4=0得x=2,x=-2. ∴ x=2是無(wú)窮間斷點(diǎn),x=-2是可去間斷點(diǎn). (5) 在x=0無(wú)定義 故x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn). 5.適當(dāng)選擇a值，使函數(shù)f(x)= 在點(diǎn)x=0處連續(xù). 解: ∵f(0)=a, 要f(x)在x=0處連續(xù),必須. 即a=1. 6※.設(shè)f(x)

18、= ，討論f(x)的連續(xù)性. 解: 所以, f(x)在上連續(xù),x=0為跳躍間斷點(diǎn). 7. 求下列極限： (1) ； (2) ； (3) ln(x-1); (4) arcsin； (5) (lnx)x. 解: 習(xí)題2-8 1. 證明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一個(gè)介于1和2之間的根. 證: 令,則在[1,2]上連續(xù), 且 , 由零點(diǎn)存在定理知至少存在一點(diǎn)使得. 即 , 即方程至少有一個(gè)介于1和2之間的根.

19、 2. 證明方程ln（１＋ex）-2x=0至少有一個(gè)小于1的正根. 證: 令,則在上連續(xù),因而在[0,1]上連續(xù), 且 由零點(diǎn)存在定理知至少存在一點(diǎn)使得. 即方程至少有一個(gè)小于1的正根. 3※. 設(shè)f(x)∈C（-∞，+∞），且f(x)=A, f(x)=B,A·B＜0，試由極限及零點(diǎn)存在定理的幾何意義說(shuō)明至少存在一點(diǎn)x0∈（－∞,＋∞），使得f(x0)＝０. 證: 由A·B<0知A與B異號(hào),不防設(shè)A>0,B<0 由,及函數(shù)極限的保號(hào)性知,,使當(dāng),有 ,使當(dāng)時(shí),有. 現(xiàn)取,則, ,則,且, 由題設(shè)知在上連續(xù),由零點(diǎn)存在定理,至少存在一點(diǎn)使, 即至少存在一點(diǎn)使. 4.設(shè)多項(xiàng)式Pn(x)＝xn+a1+…+an.，利用第3題證明： 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程Pn(x)=0至少有一實(shí)根. 證: ,由極限的保號(hào)性知. ,使當(dāng)時(shí)有,此時(shí)與同號(hào),因?yàn)閚為奇數(shù),所以(2X)n與(-2X)n異號(hào),于是與異號(hào),以在上連續(xù),由零點(diǎn)存在定理,至少存在一點(diǎn),使,即至少有一實(shí)根. 19