數(shù)學(xué)教育概論副本PPT課件

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1、緒言 數(shù)學(xué)教育學(xué)研究數(shù)學(xué)教與學(xué)的目的、內(nèi)容、規(guī)律、方法的一門學(xué)科。 數(shù)學(xué)教育的學(xué)科地位在基礎(chǔ)教育體系中的地位在專業(yè)學(xué)科體系中的地位第1頁(yè)/共109頁(yè) 本課程的特點(diǎn)綜合性理論性實(shí)踐性第2頁(yè)/共109頁(yè) 本課程的基本內(nèi)容1 教學(xué)設(shè)計(jì)（備課、課前）2 教學(xué)實(shí)施（上課、課中）3 教學(xué)反思（評(píng)價(jià)、課后）第3頁(yè)/共109頁(yè)教學(xué)設(shè)計(jì) 在“時(shí)間”上有區(qū)分：長(zhǎng)：比如，義務(wù)教育階段課程（教學(xué)）設(shè)計(jì)短：比如，一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)介于兩者之間：比如，一個(gè)單元、一個(gè)學(xué)期的教學(xué)設(shè)計(jì)本課程更多的關(guān)注“一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)”第4頁(yè)/共109頁(yè) 體現(xiàn)形式：教案 教學(xué)設(shè)計(jì)的基本過(guò)程學(xué)習(xí)課標(biāo)鉆研教材（教材分析）了解學(xué)生確定方法撰寫教案第5

2、頁(yè)/共109頁(yè)第一步：學(xué)習(xí)課標(biāo)：有專門的課程第二部：鉆研教材（1）教（學(xué)）什么？有哪些內(nèi)容（2）教（學(xué)）到什么程度？教學(xué)目標(biāo)（3）哪些重要，難教（學(xué)）？教學(xué)重、難點(diǎn)（4）教材中如何呈現(xiàn)的？知識(shí)結(jié)構(gòu)、教學(xué)素材、教學(xué)程序第6頁(yè)/共109頁(yè)教（學(xué)）什么？ 有哪些內(nèi)容？第一層面：教學(xué)素材第二層面：知識(shí)（數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)方法等）注意：1、對(duì)于“知識(shí)”，依據(jù)教材的順序“羅列”（既可以是線性、也可以是結(jié)構(gòu)框圖）出來(lái)2、教材中的“知識(shí)”有的明顯，有的需要“提煉”3、“知識(shí)”需要“瞻前顧后”4、“知識(shí)”需要適當(dāng)?shù)摹凹?xì)化” 內(nèi)容之間有何聯(lián)系？第7頁(yè)/共109頁(yè)第8頁(yè)/共109頁(yè)教（學(xué)）到什么程度？教學(xué)目標(biāo)

3、的確定 教學(xué)：教學(xué)是學(xué)習(xí)者發(fā)生預(yù)期變化的過(guò)程 教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)中師生所預(yù)期達(dá)到的學(xué)習(xí)效果和標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)的根本指向和核心任務(wù)，是教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵范例1、2、3第9頁(yè)/共109頁(yè) 教學(xué)目標(biāo)確定后，具體實(shí)行起來(lái)必須抓重點(diǎn)，解決主要矛盾，同時(shí)，要分析數(shù)學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)，設(shè)法克服 教學(xué)重點(diǎn)是教材中為了達(dá)到教學(xué)目的而著重指導(dǎo)學(xué)生必須熟練掌握的內(nèi)容。通常教材中的公式，定義，定理，法則，數(shù)學(xué)思想方法等都是數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn)是教材中那些對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)不易理解的內(nèi)容，或者說(shuō)是那些太抽象、離生活實(shí)際太遠(yuǎn)的、過(guò)程太復(fù)雜的教學(xué)內(nèi)容。有些難點(diǎn)是理解上的困難，如：無(wú)理數(shù)，復(fù)數(shù)，指數(shù);有些難點(diǎn)是技巧性的，如：因式分解，三角恒等變換等

4、 多種情況下重點(diǎn)與難點(diǎn)是相同的。有時(shí)難點(diǎn)不見(jiàn)得是重點(diǎn)，但必須突破難點(diǎn)才有利于重點(diǎn)的解決。還有時(shí)，難點(diǎn)與重點(diǎn)無(wú)關(guān)。 要注意，重點(diǎn)和難點(diǎn)的確定，一定要站在學(xué)生的角度去考慮。教師認(rèn)為易學(xué)好懂的地方，學(xué)生不一定感到好學(xué)。哪些重要，難教（學(xué)）？ 教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)第10頁(yè)/共109頁(yè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段的難點(diǎn) 算術(shù)到代數(shù)的過(guò)渡 代數(shù)到幾何的過(guò)渡 常量到變量的過(guò)渡 有限到無(wú)限的過(guò)渡 必然到或然的過(guò)渡第11頁(yè)/共109頁(yè)教材中如何呈現(xiàn)的？教材中的知識(shí)結(jié)構(gòu) 教材是如何呈現(xiàn)這些內(nèi)容的？（1）知識(shí)借助哪些素材和形式呈現(xiàn)？（2）素材和形式起什么作用？（3）例題如何構(gòu)成，起什么作用？（4）練習(xí)題如何構(gòu)成，起什么作用？（5）

5、相關(guān)習(xí)題如何構(gòu)成，起什么作用？第12頁(yè)/共109頁(yè)第三步：了解學(xué)生 了解學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ) 了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況 “預(yù)設(shè)”學(xué)生的學(xué)習(xí)困難第13頁(yè)/共109頁(yè)錯(cuò)例分析第14頁(yè)/共109頁(yè)第15頁(yè)/共109頁(yè)第四步：確定方法 確定教學(xué)思路 思考教學(xué)過(guò)程 琢磨教學(xué)核心問(wèn)題 明確教（學(xué)）的方法第16頁(yè)/共109頁(yè)第五步：撰寫教案教案的三要素：1.明確教學(xué)目標(biāo)2.形成設(shè)計(jì)意圖3.制定教學(xué)過(guò)程典型教案分析第17頁(yè)/共109頁(yè)教案的基本框架 課題 教材分析 學(xué)情分析 教學(xué)目標(biāo) 教學(xué)重難點(diǎn) 教學(xué)方法 教具使用 教學(xué)過(guò)程（核心內(nèi)容） 板書設(shè)計(jì)第18頁(yè)/共109頁(yè)課題的撰寫 基于教材的章節(jié) 基于課時(shí)安排 凸顯基本內(nèi)容第

6、19頁(yè)/共109頁(yè)教學(xué)目標(biāo)的撰寫 教學(xué)目標(biāo)構(gòu)成1. 行為主體：行為目標(biāo)描述的是學(xué)生的行為，而不是教師的行為。教學(xué)目標(biāo)規(guī)范的寫法開(kāi)頭是：“學(xué)生應(yīng)該”，不過(guò)通常省略這四個(gè)字， 但不管是否寫這幾個(gè)字，目標(biāo)總是針對(duì)學(xué)生提出的。2. 行為動(dòng)詞：說(shuō)明學(xué)生在教學(xué)過(guò)程結(jié)束后應(yīng)該達(dá)到什么要求。行為的表述應(yīng)具有可觀察的特點(diǎn)，應(yīng)使用明確的行為動(dòng)詞來(lái)描述。描述行為的基本方法是使用動(dòng)賓結(jié)構(gòu)的短語(yǔ)，行為動(dòng)詞說(shuō)明動(dòng)作的類型，賓語(yǔ)說(shuō)明學(xué)習(xí)的內(nèi)容。例如，“寫出”、“比較”、“列舉”等都是行為動(dòng)詞，在它們后面加上動(dòng)作的對(duì)象，就構(gòu)成了教學(xué)目標(biāo)中關(guān)于行為的表述。3. 行為客體：指學(xué)生完成行為時(shí)的學(xué)習(xí)結(jié)果。條件包括環(huán)境、人、設(shè)備、信息

7、、時(shí)間、問(wèn)題明確性等因素。第20頁(yè)/共109頁(yè)書寫數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)的規(guī)范要求（1）明確指定行為主體。教學(xué)目標(biāo)描述的應(yīng)該是學(xué)生的行為而不是教師的行為。有的課堂教學(xué)目標(biāo)表述成：“使學(xué)生理解和掌握”或“把學(xué)生培養(yǎng)成”都是不妥的。規(guī)范的教學(xué)目標(biāo)的開(kāi)頭應(yīng)該是“學(xué)生應(yīng)該”。（2）準(zhǔn)確使用行為動(dòng)詞。要用描述學(xué)生的可觀察、可測(cè)量的具體的行為動(dòng)詞來(lái)教學(xué)表述，如:“寫出”、“辯認(rèn)出”、“對(duì)比”、“列出”等。（3）恰當(dāng)細(xì)化行為客體。行為客體不要太籠統(tǒng)，比如，“掌握等差數(shù)列”、“靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)”。第21頁(yè)/共109頁(yè)目標(biāo)領(lǐng)域目標(biāo)領(lǐng)域水水 平平行為動(dòng)詞行為動(dòng)詞知識(shí)與技能知識(shí)與技能知道知道/ /了解了解/ /模仿模仿了

8、解，體會(huì)，知道了解，體會(huì)，知道, ,識(shí)別，感知，認(rèn)識(shí)，初步了識(shí)別，感知，認(rèn)識(shí)，初步了解，初步體會(huì)，初步學(xué)會(huì)，初步理解，求解，初步體會(huì)，初步學(xué)會(huì)，初步理解，求理解理解/ /獨(dú)立操獨(dú)立操作作描述，說(shuō)明，表達(dá)，表述，表示，刻畫，解釋描述，說(shuō)明，表達(dá)，表述，表示，刻畫，解釋，推測(cè)，想像，理解，歸納，總結(jié)，抽象，推測(cè)，想像，理解，歸納，總結(jié)，抽象，提取，比較，對(duì)比，判定，判斷，會(huì)求，能提取，比較，對(duì)比，判定，判斷，會(huì)求，能，運(yùn)用，初步應(yīng)用，初步討論，運(yùn)用，初步應(yīng)用，初步討論掌握掌握/ /應(yīng)用應(yīng)用/ /遷移遷移掌握，導(dǎo)出，分析，推導(dǎo)，證明，研究，討論掌握，導(dǎo)出，分析，推導(dǎo)，證明，研究，討論，選擇，決策，解

9、決問(wèn)題，選擇，決策，解決問(wèn)題過(guò)程與方法過(guò)程與方法經(jīng)歷經(jīng)歷/ /模仿模仿經(jīng)歷，觀察，感知，體驗(yàn)，操作，查閱，借助經(jīng)歷，觀察，感知，體驗(yàn)，操作，查閱，借助，模仿，收集，回顧，復(fù)習(xí)，參與，嘗試，模仿，收集，回顧，復(fù)習(xí)，參與，嘗試發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)/ /探索探索設(shè)計(jì)，梳理，整理，分析，發(fā)現(xiàn)，交流，研究設(shè)計(jì)，梳理，整理，分析，發(fā)現(xiàn)，交流，研究，探索，探究，探求，解決，尋求，探索，探究，探求，解決，尋求情感、態(tài)度與價(jià)值觀情感、態(tài)度與價(jià)值觀反應(yīng)反應(yīng)/ /認(rèn)同認(rèn)同感受，認(rèn)識(shí)，了解，初步體會(huì)，體會(huì)感受，認(rèn)識(shí)，了解，初步體會(huì)，體會(huì)領(lǐng)悟領(lǐng)悟/ /內(nèi)化內(nèi)化獲得，提高，增強(qiáng)，形成，養(yǎng)成，樹(shù)立，發(fā)揮獲得，提高，增強(qiáng)，形成，養(yǎng)成，樹(shù)

10、立，發(fā)揮，發(fā)展，發(fā)展第22頁(yè)/共109頁(yè)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)目的的區(qū)別 教學(xué)目標(biāo)是預(yù)期的，在具體情景下學(xué)生行為變化的結(jié)果，是用“學(xué)生學(xué)會(huì)了什么？”的說(shuō)法來(lái)表示的，它通常是策略性的，是可觀察的、可明確校訂、可測(cè)量、可評(píng)價(jià)的，而且還有時(shí)間、情景等條件的限制，它是目的具體化 教學(xué)目的：與教育者的主觀愿望有關(guān)，它通常是指某一社會(huì)和國(guó)家為實(shí)現(xiàn)教育目的，在教學(xué)領(lǐng)域給教師的一種應(yīng)然狀態(tài)的理想，一種方向、指針，而且還隱含著可能無(wú)法實(shí)現(xiàn)的意思，時(shí)間跨度也比較大 教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)教學(xué)目的是一般與特殊、普通要求和具體結(jié)果的關(guān)系第23頁(yè)/共109頁(yè)教學(xué)目標(biāo)的功能 1.1.指向功能 教學(xué)目標(biāo)是教學(xué)活動(dòng)的預(yù)期結(jié)果，對(duì)教學(xué)過(guò)程有指

11、引作用，能使教學(xué)中的活動(dòng)有明確的方向2.2.激勵(lì)功能l 一方面，為了達(dá)到教學(xué)目標(biāo)，教師必將積極地工作，精心設(shè)計(jì)與組織教學(xué)。l 另一方面，教學(xué)目標(biāo)能引起學(xué)生的注意，激發(fā)學(xué)生對(duì)新內(nèi)容的期待和達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的欲望，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)。第24頁(yè)/共109頁(yè)3.3.評(píng)價(jià)功能 l教學(xué)目標(biāo)既是出發(fā)點(diǎn)，又是歸宿。l教學(xué)目標(biāo)一經(jīng)確定，教學(xué)就有確定的方向，同時(shí)也有了衡量教學(xué)效果的標(biāo)準(zhǔn)。l在教學(xué)過(guò)程中，可按教學(xué)目標(biāo)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)展實(shí)況進(jìn)行衡量。4.4.控制和指導(dǎo)功能l教學(xué)目標(biāo)一旦確定，整個(gè)教學(xué)活動(dòng)就被置于教學(xué)目標(biāo)的控制和制約之中（也就是應(yīng)該這樣講），同時(shí)也指導(dǎo)著教學(xué)活動(dòng)，使它沿著正確的軌道，朝

12、預(yù)定的方向前進(jìn)（有目標(biāo)就會(huì)知道要朝哪里講）。 第25頁(yè)/共109頁(yè)教學(xué)重難點(diǎn)的撰寫 依據(jù)教學(xué)目標(biāo) 依據(jù)學(xué)生實(shí)際 不要憑主觀意向 參考教師教學(xué)用書第26頁(yè)/共109頁(yè)教學(xué)過(guò)程的撰寫 五環(huán)節(jié)是整體框架（1）課題引入（2）新課講解（3）鞏固練習(xí)（4）課堂小結(jié)（5）布置作業(yè)第27頁(yè)/共109頁(yè)板書設(shè)計(jì) “一板清” 既要設(shè)計(jì)內(nèi)容，又要設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu) 凸顯核心“內(nèi)容” 注重層次性和邏輯性第28頁(yè)/共109頁(yè)命題課的教學(xué) 基本環(huán)節(jié)引出定理證明定理講解定理運(yùn)用定理第29頁(yè)/共109頁(yè) 引出兩種模式：（1）發(fā)現(xiàn)式（2）接受式教學(xué)注意：發(fā)現(xiàn)式：例子要適當(dāng)、提問(wèn)要明確接受式：復(fù)習(xí)要有針對(duì)性、要有參與性第30頁(yè)/共109頁(yè)

13、直線與平面平行的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)第31頁(yè)/共109頁(yè) 證明（新教材中有所弱化，用“驗(yàn)證”替代）基本過(guò)程：（1）分析證明思路（2）給出證明表述（3）解釋數(shù)學(xué)方法第32頁(yè)/共109頁(yè) 講解三個(gè)“講清”：（1）講清“結(jié)構(gòu)”（2）講清“條件”（3）講清“結(jié)論”第33頁(yè)/共109頁(yè) 運(yùn)用三個(gè)層次：（1）基本運(yùn)用照著做（2）靈活運(yùn)用變式（3）引申延拓推廣第34頁(yè)/共109頁(yè)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué) 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的基本環(huán)節(jié)（1）憶（2）梳（3）析（4）練（5）測(cè)第35頁(yè)/共109頁(yè)憶： 回憶，就是學(xué)生將過(guò)去學(xué)過(guò)的舊知識(shí)不斷提取而再現(xiàn)的過(guò)程。回憶是復(fù)習(xí)課不可缺少的環(huán)節(jié)，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生看課題回憶所學(xué)的知識(shí)。 復(fù)習(xí)開(kāi)

14、始時(shí)，先向?qū)W生說(shuō)明復(fù)習(xí)的內(nèi)容和要求，然后引導(dǎo)學(xué)生回憶?；貞洉r(shí)，可先粗后細(xì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的回憶。第36頁(yè)/共109頁(yè)梳： “梳”是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行梳理、總結(jié)、歸納，幫助學(xué)生理清知識(shí)線，分清解題思路，弄清各種解題方法聯(lián)系的過(guò)程。 要根據(jù)學(xué)生的回憶，進(jìn)行從點(diǎn)到線、由線及面的總結(jié)，做到以一點(diǎn)或一題串一線、聯(lián)一面，特別是要注意知識(shí)間縱橫向聯(lián)系和比較，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。 “梳”的過(guò)程是梳理、溝通的過(guò)程，是將所學(xué)知識(shí)前后貫通，把知識(shí)進(jìn)行泛化的過(guò)程。這是復(fù)習(xí)課的鮮明特征。第37頁(yè)/共109頁(yè)析： 對(duì)單元中的重點(diǎn)內(nèi)容和學(xué)生中的疑難作進(jìn)一步的分析，幫助學(xué)生解決重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)，從而使學(xué)生全面、準(zhǔn)確地掌握教

15、材內(nèi)容，加深理解。 這一環(huán)節(jié)重在設(shè)疑、答疑和析疑上。如內(nèi)容較多時(shí)，可以分類、分專項(xiàng)進(jìn)行分析、對(duì)比。第38頁(yè)/共109頁(yè)練： 選擇有針對(duì)性、典型性、啟發(fā)性和系統(tǒng)性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行練習(xí)。 練習(xí)時(shí)，可通過(guò)題組的形式呈現(xiàn)練習(xí)內(nèi)容。 練習(xí)的內(nèi)容要注意算理、規(guī)律或知識(shí)技能、知識(shí)的縱橫聯(lián)系，抓一題多解或一題多變，做到舉一反三，使學(xué)生通過(guò)練習(xí)不斷受到啟發(fā)，在練習(xí)中進(jìn)一步形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。 在練習(xí)設(shè)計(jì)中，可通過(guò)典型多樣的練習(xí)，幫助系統(tǒng)整理；設(shè)計(jì)對(duì)比練習(xí)，幫助溝通與辯析；設(shè)計(jì)綜合發(fā)展練習(xí)，提高學(xué)生的解題能力。第39頁(yè)/共109頁(yè)測(cè)： 讓學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)的結(jié)果進(jìn)行檢測(cè)、評(píng)價(jià)與反饋。 復(fù)習(xí)完成時(shí)，可選取數(shù)量適當(dāng)?shù)念}目進(jìn)行當(dāng)堂

16、檢測(cè)。 第40頁(yè)/共109頁(yè) 復(fù)習(xí)課教學(xué)的特征：（1）重復(fù)性：不是簡(jiǎn)單地、原地踏步式的“重復(fù)”，而是在原有的基礎(chǔ)上更高一層次的“重復(fù)” ；（2）系統(tǒng)性：知識(shí)層面、方法層面第41頁(yè)/共109頁(yè) 數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念概述 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理分析 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本要求和教法概念教學(xué)的基本要求和教法概念教學(xué)的基本要求和教法概念教學(xué)的基本要求和教法概念教學(xué)的基本要求和教法概念教學(xué)的基本要求和教法探討探討探討探討探討探討第42頁(yè)

17、/共109頁(yè)數(shù)學(xué)概念概述數(shù)學(xué)概念概述 反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式叫做“數(shù)學(xué)概念”。 “屬性”與“本質(zhì)屬性” ；概念及其名稱和符號(hào) （1）從現(xiàn)實(shí)模型直接得來(lái)； （2）經(jīng)過(guò)多級(jí)抽象概括得來(lái)； （3）從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要產(chǎn)生出來(lái)；第43頁(yè)/共109頁(yè) 概念的概念的內(nèi)涵內(nèi)涵亦稱內(nèi)包，指概念所反映的對(duì)象的亦稱內(nèi)包，指概念所反映的對(duì)象的特特有屬性、本質(zhì)屬性有屬性、本質(zhì)屬性。 概念的概念的外延外延亦稱外包，指概念所反映的對(duì)象的亦稱外包，指概念所反映的對(duì)象的總總和和。 例：“ABCABC的頂點(diǎn)” 內(nèi)涵是指點(diǎn)的性質(zhì)和其中任一點(diǎn)同在這個(gè)三角形兩邊之上這個(gè)性質(zhì)； 外延是指 A A、B B、C C三點(diǎn)的集合。注：（1

18、1）數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延是在一定的數(shù)學(xué)科學(xué)體系中來(lái)認(rèn)識(shí)的。例如，角的概念在平面幾何中和在平面三角中的內(nèi)涵和外延均不同。 （2 2）概念的內(nèi)涵和外延是發(fā)展的第44頁(yè)/共109頁(yè)概念間的關(guān)系（概念外延間的同異關(guān)系）概念間的關(guān)系（概念外延間的同異關(guān)系）1、相容關(guān)系、相容關(guān)系（1）同一關(guān)系（全同關(guān)系或重合關(guān)系） 外延完全重合，內(nèi)涵可以不同。 例如：數(shù)0是擴(kuò)大的自然數(shù)集中最小的數(shù)，又是正數(shù) 與負(fù)數(shù)的分界數(shù)，在數(shù)的運(yùn)算中它又是兩個(gè)相等數(shù) 的差等； 等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角的平分線 的外延都是同一條線段，而內(nèi)涵也各不相同。 注：研究概念間的同一關(guān)系，可以對(duì)概念所反映的對(duì) 象得到較深刻、較全面的認(rèn)

19、識(shí)。另外，在推理證明中 具有全同關(guān)系的概念可以互相代換，使得論證簡(jiǎn)明。)(BA第45頁(yè)/共109頁(yè) 如果甲概念的外延 真包含乙概念的外延 ，如下圖所示，那么，這兩個(gè)概念具有從屬關(guān)系。其中，外延較大的那個(gè)概念叫做屬概念，外延較小的那個(gè)概念叫做種概念。這兩個(gè)概念的外延 和 的關(guān)系可以寫成BAABABBA注：內(nèi)涵和外延的反比關(guān)系正方形內(nèi)涵 矩形內(nèi)涵 平行四邊形內(nèi)涵 四邊形內(nèi)涵正方形外延 矩形外延 平行四邊形外延四邊形外延第46頁(yè)/共109頁(yè) 如果兩個(gè)概念的外延有且只有部分重合，那么這兩個(gè)概念具有交叉關(guān)系或者叫做部分重合關(guān)系，如下圖。用集合符號(hào)表示概念的交叉關(guān)系，可設(shè)兩個(gè)概念的外延分別是集合 和集合

20、，如果 是非空集合而且不是 ，那么這兩個(gè)概念具有交叉關(guān)系。ABBABA或AB第47頁(yè)/共109頁(yè) 如果兩個(gè)概念的外延間沒(méi)有任何一部分重合的關(guān)系，那么這兩個(gè)概念具有全異關(guān)系，這種關(guān)系又叫做“拳異關(guān)系”或“排斥關(guān)系”。 全異關(guān)系又分為反對(duì)關(guān)系和矛盾關(guān)系。AB矛盾關(guān)系A(chǔ)B反對(duì)關(guān)系CBABACBABA第48頁(yè)/共109頁(yè) 把概念的內(nèi)涵用語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，就是給概念下定義。原始概念原始概念 點(diǎn)、線、面、空間、集合、元素、對(duì)應(yīng)等。數(shù)學(xué)中常用的幾種定義方式數(shù)學(xué)中常用的幾種定義方式（1）屬概念加種差的定義方式 四邊形+兩組對(duì)邊分別平行=平行四邊形（2）發(fā)生定義方式 在平面上，射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形叫做角。第

21、49頁(yè)/共109頁(yè)（3）揭示外延的定義方式 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。（4）約定式定義 我們規(guī)定“ ” 。)0( 10aa第50頁(yè)/共109頁(yè)下定義的基本要求下定義的基本要求 （1）定義應(yīng)當(dāng)相稱 無(wú)理數(shù)：有理數(shù)開(kāi)不盡的方根。 平行線：兩條不相交的直線。 （2）定義不能惡性循環(huán)（直線垂直和直角） （3）定義一般不用否定形式 不是有理數(shù)的數(shù)是無(wú)理數(shù)。 （4）定義應(yīng)當(dāng)簡(jiǎn)明 兩組對(duì)邊平行的平面四邊形是平行四邊形。 四個(gè)角都是直角的平行四邊形叫做矩形。 （5）定義一般不用比喻說(shuō)法第51頁(yè)/共109頁(yè)概念教學(xué)的基本要求和教法探概念教學(xué)的基本要求和教法探討討概念的引入概念的引入概念的明確概念的明確概念的系統(tǒng)化

22、概念的系統(tǒng)化概念的運(yùn)用概念的運(yùn)用1、概念的引入、概念的引入（1）原始概念 一般采用描述法和抽象化法或用直觀說(shuō)明或指明對(duì)象的方法來(lái)明確。 “針尖刺木板”的痕跡引入“點(diǎn)”、用“拉緊的繩”或“小孔中射入的光線”來(lái)引入“直線”的方法是直觀說(shuō)明法，“1，2，3，叫做自然數(shù)”是指明對(duì)象法。第52頁(yè)/共109頁(yè)（2）對(duì)于用概念的形成來(lái)學(xué)習(xí)的概念 一般可通過(guò)觀察實(shí)例，啟發(fā)學(xué)生抽象出本質(zhì)屬性，師生共同進(jìn)行討論，最后再準(zhǔn)確定義。（3）對(duì)于用概念的同化來(lái)學(xué)習(xí)的概念（a）用屬加種差定義的概念 新概念是已知概念的特例，新概念可以從認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的具有較高概括性的概念中繁衍出來(lái)。（b）由概念的推廣引入的概念 講清三點(diǎn)：推

23、廣的目的和意義； 推廣的合理性； 推廣后更加廣泛的含義。第53頁(yè)/共109頁(yè)（c）采用對(duì)比方法引入新概念 當(dāng)新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有概念不能產(chǎn)生從屬關(guān)系，但與已有的舊概念有相似之處時(shí)可采用此法。 關(guān)鍵是講清不同之處，防止概念的負(fù)遷移。（d）根據(jù)逆反關(guān)系引入新概念 多項(xiàng)式的乘法引入多項(xiàng)式的因式分解、由乘方引入開(kāi)方、由指數(shù)引入對(duì)數(shù)等。 關(guān)鍵是講清逆反關(guān)系。第54頁(yè)/共109頁(yè)(4)發(fā)生式定義 通過(guò)觀察實(shí)例或引導(dǎo)學(xué)生思考，進(jìn)行討論，自然得出構(gòu)造過(guò)程，即揭示出定義的合理性。2、概念的明確、概念的明確 定義的必要理解； 表示概念的名稱或符號(hào)的正確使用； 抓住掌握概念的關(guān)鍵； 舉出肯定例證和否定例證； 充分

24、揭示概念的內(nèi)涵；3、概念的系統(tǒng)化、概念的系統(tǒng)化4、概念的運(yùn)用和深化、概念的運(yùn)用和深化第55頁(yè)/共109頁(yè)對(duì)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的一些思考 實(shí)例的運(yùn)用 公式的推導(dǎo) 公式的呈現(xiàn) 公式的運(yùn)用第56頁(yè)/共109頁(yè)實(shí)例的運(yùn)用 不同的實(shí)例灰太狼與喜羊羊銀行貸款阿凡提光盤行動(dòng)棋盤 實(shí)例之間有何異同？ 運(yùn)用實(shí)例的焦點(diǎn)：數(shù)學(xué)化第57頁(yè)/共109頁(yè) 實(shí)例有什么用？?jī)H用于“引入”；用于“引入”，還用于公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用；第58頁(yè)/共109頁(yè)公式的推導(dǎo) 推導(dǎo)方法的多樣性 孰優(yōu)孰劣？ 教材中使用“錯(cuò)位相減法”，教學(xué)上如何應(yīng)對(duì)？（1）“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的推導(dǎo)有無(wú)借鑒意義？（構(gòu)造另一個(gè)“式子”）（2）如何引導(dǎo)到“同乘以q”

25、？（等比數(shù)列的特征、特殊到一般）（3）此方法的實(shí)質(zhì)是“錯(cuò)位”、“相減”、還是構(gòu)造“相同的項(xiàng)”？第59頁(yè)/共109頁(yè)公式呈現(xiàn) 多個(gè)公式，以何種方式呈現(xiàn)？第60頁(yè)/共109頁(yè) 基于第一個(gè)公式推導(dǎo)出第二個(gè)公式，從教法上來(lái)看，還有其它方法嗎？ 公式呈現(xiàn)出來(lái)就“萬(wàn)事大吉”了嗎？（如何進(jìn)行公式講解？）第61頁(yè)/共109頁(yè)公式運(yùn)用 直接運(yùn)用（有何不同？）第62頁(yè)/共109頁(yè) 靈活運(yùn)用（多種方法、多種變式）第63頁(yè)/共109頁(yè)變式途徑： 前多少項(xiàng)的和是 求第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和 求前2n項(xiàng)中所有偶數(shù)項(xiàng)的和第64頁(yè)/共109頁(yè)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)基本技能訓(xùn)練數(shù)學(xué)課堂教學(xué)基本技能訓(xùn)練第65頁(yè)/共109頁(yè)吸引學(xué)生的基本策略啟

26、發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵與學(xué)生交流要注意的問(wèn)題組織學(xué)生的關(guān)鍵教學(xué)風(fēng)格的基本類型及形成階段第66頁(yè)/共109頁(yè)一、 如何吸引學(xué)生 吸引學(xué)生的主要方式：聯(lián)系、挑戰(zhàn)、變化和魅力。聯(lián)系、挑戰(zhàn)、變化和魅力。 聯(lián)系是指教學(xué)設(shè)計(jì)要聯(lián)系學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，與其已有的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)有聯(lián)系。 挑戰(zhàn)是指教學(xué)任務(wù)對(duì)學(xué)生具有挑戰(zhàn)性，平庸拖沓的教學(xué)安排不可能吸引學(xué)生，教師應(yīng)該盡可能地提高課堂教學(xué)效率，讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)充實(shí)，收獲大。 變化是教師在學(xué)生注意力渙散或情緒低落時(shí)，改變教學(xué)的形式、講授的語(yǔ)速語(yǔ)調(diào)等，重新將學(xué)生的注意力拉回到教學(xué)上來(lái)的手段。 魅力是指增加教師自身的魅力達(dá)到吸引學(xué)生的目的，比如精彩幽默的語(yǔ)言，揮灑自

27、如的教態(tài)，簡(jiǎn)練漂亮的板書板畫，得體的儀表，親切的話語(yǔ)、熱情的鼓勵(lì)、信任的目光、敏捷的思維，嫻熟的解題技巧，都有助于建立良好的師生關(guān)系。第67頁(yè)/共109頁(yè) 教學(xué)內(nèi)容：二次根式的基本公式 閱讀案例，并分析該教師是如何吸引學(xué)生的范例賞析：給公式包上糖衣第68頁(yè)/共109頁(yè)案例點(diǎn)評(píng) L.H.克拉克、I.S.斯塔爾美在他們所著的中學(xué)教學(xué)法中指出：“要讓你教的學(xué)科使人愉快，看起來(lái)是要把它包上糖衣。讓它具有吸引力。”“能夠用來(lái)促進(jìn)學(xué)習(xí)的任何正當(dāng)方法或手段，都是合理的。假如為了促進(jìn)學(xué)習(xí)，必須把要教的東西包上糖衣，那么你不應(yīng)當(dāng)吝惜糖?！?本案例的主觀意圖是創(chuàng)設(shè)一個(gè)幽默的教學(xué)情境，把枯燥且難于理解的數(shù)學(xué)公式包上

28、糖衣使之甜甜的，讓學(xué)生在品嘗甜美中受到啟迪，讓學(xué)生在愉快和興趣盎然的心境之中增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果。從客觀上看，案例實(shí)施的過(guò)程達(dá)到了“創(chuàng)造一種學(xué)生容易接受的氣氛”的佳境，使學(xué)生在對(duì)所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生的濃厚興趣的情況下，注意力更為集中，更容易接受新知識(shí)，獲得的新知識(shí)更為牢固。第69頁(yè)/共109頁(yè)二、 如何啟發(fā)學(xué)生 不憤不啟，不悱不發(fā)如何啟發(fā)學(xué)生： 定向：即教師要明確希望學(xué)生解決什么問(wèn)題 架橋：即教師要考慮，希望學(xué)生解決的問(wèn)題與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)之間有多大距離，應(yīng)該設(shè)計(jì)哪些問(wèn)題或進(jìn)行哪些活動(dòng)架橋鋪路化解困難。 置疑：即教師設(shè)置一些疑難問(wèn)題引起學(xué)生思想的交鋒和深層次的思維。 揭曉：即教師要將學(xué)生原先想做而不會(huì)做的正確做法，

29、想說(shuō)而說(shuō)不出的正確想法用精煉而明了的語(yǔ)言重述一遍。第70頁(yè)/共109頁(yè)n介紹“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”時(shí)，設(shè)置問(wèn)題： 與直線方程和圓的方程相對(duì)比，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 有什么特點(diǎn)？ （1）橢圓方程是關(guān)于x，y的幾元幾次方程？ （2）方程的左邊是什么的形式？右邊是什么？ （3）方程中x2和y2的系數(shù)相等嗎？n設(shè)計(jì)意圖： 類比直線方程和圓的方程能夠使學(xué)生容易得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，體現(xiàn)了新舊知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)為利用方程研究橢圓曲線的幾何性質(zhì)做好了準(zhǔn)備.第71頁(yè)/共109頁(yè)n在復(fù)習(xí)三角形全等時(shí)，教師可設(shè)計(jì)下列幾種證題思路加以提問(wèn)： 1、如果有兩邊相等，還應(yīng)尋找什么條件？學(xué)生答：尋找它們的

30、夾角或者第三邊對(duì)應(yīng)相等。 2、如果有一個(gè)角和一條邊對(duì)應(yīng)相等，還應(yīng)尋找什么條件？學(xué)生答：還應(yīng)尋找它們的一個(gè)角或相等角的另一邊。 3、如果有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，還應(yīng)尋找什么條件？學(xué)生答：還應(yīng)尋找一條邊相對(duì)應(yīng)相等。 到此時(shí)，教師可以提問(wèn)，那么證明兩個(gè)三角形全等有哪些方法？ 學(xué)生就能歸納出三角形全等的解法。同時(shí)教師要強(qiáng)調(diào)的是：有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的二個(gè)三角形不一定全等；有兩邊中其中一邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等。第72頁(yè)/共109頁(yè)n 對(duì)于“直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為6和8，那么這個(gè)三角形的外接圓半徑為多少？” 老師提問(wèn)：題目中有沒(méi)有明確指出哪條邊是斜邊？ 通過(guò)老師這一點(diǎn)撥，同學(xué)們積極開(kāi)動(dòng)腦筋，對(duì)這題的

31、討論，解決了問(wèn)題。通過(guò)教師提出的問(wèn)題，使學(xué)生樹(shù)立一些“路標(biāo)”，啟發(fā)學(xué)生循著“路標(biāo)”前進(jìn)，找到解題途徑。第73頁(yè)/共109頁(yè)n在講授新課：“不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”。教師提問(wèn)： 1、過(guò)一點(diǎn)可畫多少個(gè)圓？為什么？ 2、過(guò)兩點(diǎn)可畫多少個(gè)圓？圓心的位置有什么規(guī)律？為什么？ 這些問(wèn)題一一解決后，教師不失時(shí)機(jī)地進(jìn)一步問(wèn)： 3、過(guò)不在同一直線上三點(diǎn)A、B、C畫圓，這樣的圓要經(jīng)過(guò)A、B，圓心在哪里？這樣的圓又要過(guò)B、C，圓心在哪里？若同時(shí)經(jīng)過(guò)A、B、C，圓心又在哪里？ 4、這樣的圓可畫多少個(gè)？n就這樣教師提問(wèn)，學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手，把自己作為“研究者”，步步深入，將已有的知識(shí)、思維方法遷移到新知識(shí)中去，學(xué)得

32、輕松，記得也牢。第74頁(yè)/共109頁(yè)n 在講完圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，教師提了這樣幾個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生思考： （1）如果兩個(gè)圓相離，則有幾條公切線？ （2）如果兩個(gè)圓有三條公切線，則兩個(gè)圓的位置關(guān)系如何？ （3）如果兩圓的半徑分別為5cm和3cm，圓心距為4cm，則兩圓的關(guān)系如何？ 這樣的提問(wèn)，使學(xué)生有新鮮感，收到出人意料的教學(xué)效果。第75頁(yè)/共109頁(yè) 引發(fā)“憤悱”狀態(tài)的操作要領(lǐng): 符合內(nèi)容需要及情緒特點(diǎn)； “跳一跳，摘得到”的目標(biāo)難度； 留有想象余地,激發(fā)潛能。第76頁(yè)/共109頁(yè)三、 如何與學(xué)生交流 范例賞析：“直線和平面平行的判定定理” 6個(gè)教學(xué)鏡頭透視(P281-288) 提問(wèn)技能：設(shè)計(jì),含蓄

33、,等待,開(kāi)明第77頁(yè)/共109頁(yè)四、 如何組織學(xué)生 范例賞析：藝術(shù)的回應(yīng)第78頁(yè)/共109頁(yè)五、 形成教學(xué)藝術(shù)風(fēng)格 教學(xué)風(fēng)格的基本類型: 儒雅型 新奇型 理智型 情感型 教學(xué)風(fēng)格的形成:-模仿-探索-超越-成型第79頁(yè)/共109頁(yè)波利亞的怎樣解題表第80頁(yè)/共109頁(yè)波利亞 簡(jiǎn)介 喬治波利亞(George Polya，18871985)是美籍匈牙利數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家 作為一個(gè)數(shù)學(xué)教育家，波利亞的主要貢獻(xiàn)集中體現(xiàn)在怎樣解題(1945年)、數(shù)學(xué)與似真推理(1954年)、數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(1962年)三部世界名著上，涉及“解題理論”、“解題教學(xué)”、“教師培訓(xùn)”三個(gè)領(lǐng)域 第81頁(yè)/共109頁(yè)“怎樣解題”表

34、弄清問(wèn)題 擬定計(jì)劃 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃 回顧 第82頁(yè)/共109頁(yè)第83頁(yè)/共109頁(yè)第84頁(yè)/共109頁(yè)第85頁(yè)/共109頁(yè)第86頁(yè)/共109頁(yè)“怎樣解題”表的實(shí)踐 題目：給定正四棱臺(tái)的高h(yuǎn)，上底的一條邊長(zhǎng)a和下底的一條邊長(zhǎng)b，求正四棱臺(tái)的體積F(學(xué)生已學(xué)過(guò)棱柱、棱錐的體積) n弄清問(wèn)題 問(wèn)題1你要求解的是什么? 要求解的是幾何體的體積，在思維中的位置用一個(gè)單點(diǎn)F象征性地表示出來(lái)(圖1) 第87頁(yè)/共109頁(yè) 問(wèn)題2你有些什么? 一方面是題目條件中給出的3個(gè)已知量a、b、h；另一方面是已學(xué)過(guò)棱柱、棱錐的體積公式，并積累有求體積公式的初步經(jīng)驗(yàn)把已知的三個(gè)量添到圖示處(圖2)，就得到新添的三個(gè)點(diǎn)a、b、h

35、；它們與F之間有一條鴻溝，象征問(wèn)題尚未解決，我們的任務(wù)就是將未知量與已知量聯(lián)系起來(lái) 第88頁(yè)/共109頁(yè)n擬定計(jì)劃 問(wèn)題3怎樣才能求得F? 由于我們已經(jīng)知道棱柱、棱錐的體積公式，而棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)(棱臺(tái)的定義)告訴我們，棱臺(tái)是“用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐”，從一個(gè)大棱錐中截去一個(gè)小棱錐所生成的如果知道了相應(yīng)兩棱錐的體積B和A，我們就能求出棱臺(tái)的體積 我們?cè)趫D示上引進(jìn)兩個(gè)新的點(diǎn)A和B，用斜線把它們與F聯(lián)結(jié)起來(lái)，以此表示這三個(gè)量之間的聯(lián)系(圖3，即式的幾何圖示)這就把求F轉(zhuǎn)化為求A、B 第89頁(yè)/共109頁(yè) 問(wèn)題4怎樣才能求得A與B? 依據(jù)棱錐的體積公式(V )，底面積可由已知條件直接求得，關(guān)鍵

36、是如何求出兩個(gè)棱錐的高并且，一旦求出小棱錐的高x，大棱錐的高也就求出，為 我們?cè)趫D示上引進(jìn)一個(gè)新的點(diǎn)x，用斜線把A與x、連結(jié)起來(lái)，表示A能由a、得出，A 2；類似地，用斜線把B與b、連結(jié)起來(lái)，表示B可由、得出， 2（）(圖4)，這就把求A、B轉(zhuǎn)化為求x 131313第90頁(yè)/共109頁(yè) 問(wèn)題5怎樣才能求得x？ 為了使未知數(shù)x與已知數(shù)a、聯(lián)系起來(lái)，建立起一個(gè)等量關(guān)系我們調(diào)動(dòng)處理立體幾何問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行“平面化”的思考用一個(gè)通過(guò)高線以及底面一邊上中點(diǎn)(圖5中，點(diǎn)Q)的平面去截兩個(gè)棱錐，在這個(gè)截面上有兩個(gè)相似三角形能把a(bǔ)、b、h、x聯(lián)系起來(lái) (轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題)，由12得 這就將一個(gè)幾何問(wèn)題最

37、終轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解解方程，便可由a、b、h表示x,在圖示中便可用斜線將x與、h連結(jié)起來(lái)至此，我們已在F與已知數(shù)a、b、h之間建立起了一個(gè)不中斷的聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，解題思路全部溝通 xaxhb第91頁(yè)/共109頁(yè)n實(shí)現(xiàn)計(jì)劃 第92頁(yè)/共109頁(yè)n回顧 (1)正面檢驗(yàn)每一步，推理是有效的，演算是準(zhǔn)確的再作特殊性檢驗(yàn)，令，由可得正四棱錐體的體積公式；令，由可得正四棱柱體的體積公式這既反映了新知識(shí)與原有知識(shí)的相容性，又顯示出棱臺(tái)體積公式的一般性；這既溝通了三類幾何體極限狀態(tài)間的知識(shí)聯(lián)系，又可增進(jìn)三個(gè)體積公式的聯(lián)系記憶 第93頁(yè)/共109頁(yè) (2)回顧這個(gè)解題過(guò)程可以看到，解題首先要弄清題意，從中捕捉有用的信

38、息(如圖1所示，有棱臺(tái)，a、b、h、F共5條信息)，同時(shí)又要及時(shí)提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息(如回想：棱臺(tái)的定義、棱錐的體積公式、相似三角形的性質(zhì)定理、反映幾何結(jié)構(gòu)的運(yùn)算、調(diào)動(dòng)求解立體幾何問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)積累等不下6條信息)，并相應(yīng)將兩組信息資源作合乎邏輯的有效組合這當(dāng)中，起調(diào)控作用的關(guān)鍵是如何去構(gòu)思出一個(gè)成功的計(jì)劃(包括解題策略)由這一案例，每一個(gè)解題者還可以根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)各自進(jìn)一步領(lǐng)悟關(guān)于如何制定計(jì)劃的普遍建議或模式 第94頁(yè)/共109頁(yè) (3)在解題方法上，這個(gè)案例是分析法的一次成功應(yīng)用，從結(jié)論出發(fā)由后往前找成立的充分條件為了求F，我們只需求A、B(由棱臺(tái)體積到棱錐體積的轉(zhuǎn)化由未知到已知，化歸

39、)；為了求A、B，我們只需求x(由體積計(jì)算到線段計(jì)算的轉(zhuǎn)化由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，降維)；為了求x，我們只需建立關(guān)于x的方程(由幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合)；最后，解方程求x，解題的思路就暢通了，在當(dāng)初各自孤立而空曠的畫面上(圖1)，形成了一個(gè)聯(lián)接未知與已知間的不中斷網(wǎng)絡(luò)(圖5)，書寫只不過(guò)是循相反次序?qū)⒕W(wǎng)絡(luò)圖作一敘述這個(gè)過(guò)程顯示了分析與綜合的關(guān)系，“分析自然先行，綜合后繼；分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行；分析是制定一個(gè)計(jì)劃，綜合是執(zhí)行這個(gè)計(jì)劃” 第95頁(yè)/共109頁(yè) (4)在思維策略上，這個(gè)案例是“三層次解決”的一次成功應(yīng)用首先是一般性解決(策略水平上的解決)，把F轉(zhuǎn)化為A，B的求解（），就明確了解題的總體方向

40、；其次是功能性解決(方法水平的解決)，發(fā)揮組合與分解、相似形、解方程等方法的解題功能；最后是特殊性解決(技能水平的解決)，比如按照棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)作圖、添輔助線找出相似三角形、求出方程的解、具體演算體積公式等，是對(duì)推理步驟和運(yùn)算細(xì)節(jié)作實(shí)際完成 第96頁(yè)/共109頁(yè) (5)在心理機(jī)制上，這個(gè)案例呈現(xiàn)出“激活擴(kuò)散”的基本過(guò)程首先在正四棱臺(tái)(條件)求體積(結(jié)論)的啟引下，激活了記憶網(wǎng)絡(luò)中棱臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)和棱錐的體積公式，然后，沿著體積計(jì)算的接線向外擴(kuò)散，依次激活截面知識(shí)、相似三角形知識(shí)、解方程知識(shí)(參見(jiàn)圖1圖5)，直到條件與結(jié)論之間的網(wǎng)絡(luò)溝通這種“擴(kuò)散激活”的觀點(diǎn)，正是數(shù)學(xué)證明思維中心理過(guò)程的一種解釋

41、第97頁(yè)/共109頁(yè) (6)在立體幾何學(xué)科方法上，這是“組合與分解”的一次成功應(yīng)用首先把棱臺(tái)補(bǔ)充(組合)為棱錐，然后再把棱錐截成(分解)棱臺(tái)并作出截面，這種做法在求棱錐體積時(shí)曾經(jīng)用過(guò)(先組合成一個(gè)棱柱、再分解為三個(gè)棱錐)，它又一次向我們展示“能割善補(bǔ)”是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)訣竅，而“平面化”的思考則是溝通立體幾何與平面幾何聯(lián)系的一座重要橋梁這些都可以用于求解其他立體幾何問(wèn)題，并且作為一般化的思想(化歸、降維)還可以用于其他學(xué)科 第98頁(yè)/共109頁(yè) (7)“你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果?”在信念上我們應(yīng)該永遠(yuǎn)而堅(jiān)定地做出肯定的回答，操作上未實(shí)現(xiàn)只是能力問(wèn)題或暫時(shí)現(xiàn)象 (8)“你能不能把這一結(jié)

42、果或方法用于其他問(wèn)題?”能，至少我們可以由正四棱臺(tái)體積公式一般化為棱臺(tái)體積公式(方法是一樣的) 第99頁(yè)/共109頁(yè)用“怎樣解題表”的嘗試 題目：如圖所示，ABC中，AB=m，AC=n，、分別，表示以AB、BC、CA為邊的正方形，求ALD 、BEF 、CGH面積之和S 的最大值第100頁(yè)/共109頁(yè)案例：一元一次方程問(wèn)題設(shè)疑 問(wèn)題問(wèn)題1 1：甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)，相對(duì)而行，距離是50千米，甲每小時(shí)3千米，乙每小時(shí)走2千米，問(wèn)他們幾小時(shí)可以碰到？ 問(wèn)題問(wèn)題2 2：甲帶一只小狗經(jīng)過(guò)，它每小時(shí)走5千米，同甲一起出發(fā)，碰到乙時(shí)它又往甲這邊走，碰到甲又往乙這邊走，問(wèn)小狗在甲乙相遇時(shí)一共走了多少千米？ 問(wèn)題

43、問(wèn)題3 3：如果乙?guī)」?，而小狗也?千米每小時(shí)的速度向甲跑，遇甲后往乙跑，遇已后，又往甲跑，當(dāng)兩人最終相遇時(shí)，小狗跑的路程又為多少呢？ 問(wèn)題問(wèn)題4 4：如果甲、乙、小狗都從一點(diǎn)出發(fā)同向而行，其速度皆不變，乙和小狗先出發(fā)三小時(shí)，甲再出發(fā)追趕乙，當(dāng)甲追上乙時(shí)，小狗跑了多少米？第101頁(yè)/共109頁(yè)案例：探究平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差的定義 教師先是給每個(gè)學(xué)習(xí)小組一張寫有一組數(shù)據(jù)（5-8個(gè)不超過(guò)30的自然數(shù)）并標(biāo)明該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差各是什么的卡片，讓學(xué)生自己通過(guò)制作圖表、歸納、再用其他卡片（共8張）檢驗(yàn)的辦法，得出這幾個(gè)量的定義。 課一開(kāi)始，教師用了約5分鐘的時(shí)間與學(xué)生討論什么是

44、“發(fā)現(xiàn)”，怎樣發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)。然后要求各組學(xué)生做兩件事：一是用方格紙畫出每組數(shù)據(jù)，寫下自己的發(fā)現(xiàn)；二是根據(jù)其他卡片上的數(shù)據(jù)傳達(dá)的信息，修改完善自己的發(fā)現(xiàn)，寫下這四個(gè)概念的定義或者有根據(jù)的推測(cè)。然后教師再次提醒學(xué)生尋找線索和模式。可是卻出現(xiàn)了學(xué)生不知道要做什么的情況，學(xué)生不清楚既然卡片上已經(jīng)寫著這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差，為什么還不知道什么是平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差，而要他們給出猜想。于是教師不得不一個(gè)一個(gè)組去說(shuō)明任務(wù)，影響了教學(xué)進(jìn)度，每個(gè)組也因?yàn)樵诘谝粡埧ㄆ匣ㄙM(fèi)了過(guò)多的時(shí)間，無(wú)法分析完所有的8張卡片，影響了歸納的準(zhǔn)確性。（選自美國(guó)匹茲堡大學(xué)有一本用于師資培訓(xùn)的教學(xué)案例集 ）第102頁(yè)/

45、共109頁(yè)學(xué)生在學(xué)習(xí)學(xué)生在學(xué)習(xí)用“十字相乘法”分解因式的時(shí)候，常常對(duì)怎樣分常數(shù)項(xiàng)湊一次項(xiàng)感到困難，有一位教師就給學(xué)生先布置了這樣兩道習(xí)題：“（）內(nèi)填哪些整數(shù)，便可以用十字相乘法分解因式？x2 + ( )x + 3; x2 + 3x + ( ). ”因?yàn)閷W(xué)生在每道習(xí)題中只需要先注意常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)中的一個(gè)，分別體會(huì)“分”和“湊”的含義，所以化解了原先的困難，明白了“十字相乘法”的思想方法，其教學(xué)效果明顯優(yōu)于教師將“十字相乘法”再重復(fù)教一遍。案例：“十字相乘法”分解因式的難點(diǎn)突破第103頁(yè)/共109頁(yè)范例賞析：車輪為什么做成圓的？ 教學(xué)內(nèi)容：圓的特性 教師：車輪為什么做成圓的？ 學(xué)生：能滾動(dòng)。 教師

46、：（畫出正方形和長(zhǎng)方形）看來(lái)大家說(shuō)的是對(duì)的，不做成這里畫出的形狀，就是因?yàn)樗鼈儾荒軡L動(dòng)那么，為什么不做成這種可以滾動(dòng)的形狀呢？（畫“扁圓形”） 學(xué)生：（感到問(wèn)題的幽默感，活躍）滾起來(lái)不平穩(wěn)。 教師：為什么不平穩(wěn)呢？ 學(xué)生：“ ” 這就引發(fā)了具有生機(jī)的“憤悱”狀態(tài)，同學(xué)們都知道問(wèn)題所在，但卻找不到恰當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言表達(dá)。第104頁(yè)/共109頁(yè)“不憤不啟，不悱不發(fā)” “悱”是經(jīng)過(guò)積極思考，想弄明白而還沒(méi)有弄通的抑郁的心理狀態(tài)，孔子認(rèn)為在這樣的條件下教師才去引導(dǎo)學(xué)生把問(wèn)題弄通，即去“啟”；“悱”是經(jīng)過(guò)思考，想要表達(dá)而又表達(dá)不出來(lái)的困難境地，孔子建議在這樣的條件下教師才去指導(dǎo)學(xué)生把想法表示出來(lái)，即去“發(fā)” 第

47、105頁(yè)/共109頁(yè)案例：“圓的面積”教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題（展示課件創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題（展示課件小羊吃草）小羊吃草） 師：一只小羊被它的主人用一根繩子（無(wú)彈性）拴在大樹(shù)上，小師：一只小羊被它的主人用一根繩子（無(wú)彈性）拴在大樹(shù)上，小羊能在什么范圍內(nèi)活動(dòng)？羊能在什么范圍內(nèi)活動(dòng)？ 生：在一個(gè)圓內(nèi)生：在一個(gè)圓內(nèi). . 師：在怎樣的一個(gè)圓內(nèi)活動(dòng)？師：在怎樣的一個(gè)圓內(nèi)活動(dòng)？ 生：在以大樹(shù)為圓心，繩長(zhǎng)為半徑的圓內(nèi)活動(dòng)生：在以大樹(shù)為圓心，繩長(zhǎng)為半徑的圓內(nèi)活動(dòng). . 師：小羊能夠吃到草的最大范圍有多大？師：小羊能夠吃到草的最大范圍有多大？ 教師引導(dǎo)學(xué)生回答：小羊能夠吃到草的最大范圍可以

48、用以這根繩教師引導(dǎo)學(xué)生回答：小羊能夠吃到草的最大范圍可以用以這根繩長(zhǎng)為半徑的圓的面積來(lái)表示長(zhǎng)為半徑的圓的面積來(lái)表示. . 動(dòng)手操作，探索新知?jiǎng)邮植僮鳎剿餍轮?（展示課件（展示課件由實(shí)際問(wèn)題抽象出圓的圖形，老師介紹圓面積的由實(shí)際問(wèn)題抽象出圓的圖形，老師介紹圓面積的概念概念. .） 師：誰(shuí)能說(shuō)出圓面積的概念？師：誰(shuí)能說(shuō)出圓面積的概念？ 生：圓所占平面的大小叫做圓的面積生：圓所占平面的大小叫做圓的面積. .（老師板書圓面積概念）（老師板書圓面積概念） （老師讓學(xué)生（老師讓學(xué)生1 1摸一下靜態(tài)圓的面積）摸一下靜態(tài)圓的面積） 師：哪位同學(xué)還愿意上來(lái)摸一下圓的面積？師：哪位同學(xué)還愿意上來(lái)摸一下圓的面積？ （在學(xué)生（在學(xué)生2 2摸的同時(shí)老師改變圓半徑的長(zhǎng)度，學(xué)生摸的同時(shí)老師改變圓半徑的長(zhǎng)度，學(xué)生2 2不斷改變觸摸不斷改變觸摸的范圍的范圍. .）第106頁(yè)/共109頁(yè)第107頁(yè)/共109頁(yè)第108頁(yè)/共109頁(yè)感謝您的觀看！第109頁(yè)/共109頁(yè)