九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二十七章 相似課件 （新版）新人教版.ppt

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第二十七章相似 27 1圖形的相似 課前預(yù)習(xí)1 下列各組圖形中 能夠相似的一組圖形是 A 1 B 2 C 3 D 4 2 下列說法正確的是 A 所有的平行四邊形都相似B 所有的矩形都相似C 所有的菱形都相似D 所有的正方形都相似 B D 3 下列各組中的四條線段a b c d成比例的是 A a b 3 c 2 d B a 4 b 6 c 5 d 10C a 2 b c d D a 2 b 3 c 4 d 14 已知2x 3y 則 5 如上圖所示 兩個(gè)四邊形相似 求的值 C 解 四邊形ABCD與四邊形A B C D 相似 B B 60 D D 95 A B C D 360 360 125 60 95 80 課堂精講知識(shí)點(diǎn)1圖形相似的定義定義 我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形 1 兩個(gè)圖形相似 其中一個(gè)圖形可以看做是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的 2 全等圖形可以看成是一種特殊的相似圖形 即不僅形狀相同 大小也相同 3 判斷兩個(gè)圖形是否相似 就是看兩個(gè)圖形是不是相同 與圖形的大小 位置無關(guān) 這也是相似圖形的本質(zhì) 例1 下列圖形不是相似圖形的是 A 同一張底片沖洗出來的兩張不同尺寸的照片B 用放大鏡將一個(gè)細(xì)小物體圖案放大過程中原有圖案 C 某人的側(cè)身照片和正面照片D 大小不同的兩張同版本中國(guó)地圖 解析 依據(jù)圖形相似的定義 某人的側(cè)身照片和正面照片是兩個(gè)不同角度的照片 它們的形狀不同 因此不是相似圖形 答案 C 變式拓展1 如圖 下面右邊的四個(gè)圖形中 與左邊的圖形相似的是 C 知識(shí)點(diǎn)2線段成比例 注意 在 b c時(shí) 我們把b叫做a d的比例中項(xiàng) 此時(shí)b2 ad 例2 已知線段a b c d成比例線段 其中a 2m b 4m c 5m 則d A 1mB 10mC mD m 解析 根據(jù)比例線段的定義得到a b c d 然后把a(bǔ) 2m b 4m c 5m代入進(jìn)行計(jì)算即可 線段a b c d是成比例線段 a b c d而a 2m b 4m c 5m d 10m答案 B 例3 已知 0 求代數(shù)式的值 解析 根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積用表示出2 然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解 解 0 2b 3a 變式拓展2 下列各組線段中 成比例的是 A 5cm 6cm 7cm 8cmB 3cm 6cm 2cm 5cmC 2cm 4cm 6cm 8cmD 12cm 8cm 15cm 10cm D 3 2014秋 松江區(qū)校級(jí)期中 已知 求的值 解 由 得 則 知識(shí)點(diǎn)3相似多邊形及其性質(zhì)定義 兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形 如果它們的角分別相等 邊成比例 那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形 相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比 性質(zhì) 相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊成比例 注意 1 僅有角相等 或僅有對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形不一定相似 2 相似比的值與兩個(gè)多邊形的前后順序有關(guān) 例3 如圖 四邊形ABCD和四邊形EFGH相似 求 的大小和EH的長(zhǎng)度 解析 觀察圖形 根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等可得出 B 83 D H 118 再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360 可計(jì)算求出的大小 然后根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出EH的長(zhǎng)度 解 四邊形ABCD和四邊形EFGH相似 B 83 D H 118 360 83 78 118 81 EH AD HG DC EH 28 cm 答 83 81 EH 28cm 變式拓展4 如圖所示的兩個(gè)五邊形相似 求未知邊的長(zhǎng)度 解 因?yàn)橄嗨莆暹呅螌?duì)應(yīng)邊成比例 所以 解得 3 4 5 4 6 隨堂檢測(cè)1 2013秋 涉縣校級(jí)期中 下列圖形中 屬于相似圖形的是 A B C D 2 2014 江北區(qū)模擬 下面給出了一些關(guān)于相似的命題 其中真命題有 1 菱形都相似 2 等腰直角三角形都相似 3 正方形都相似 4 矩形都相似 5 正六邊形都相似 A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 4個(gè) D C 3 2014秋 黔東南州期末 如果 那么的值是 A B C D 4 如果在比例尺為1 1000000的地圖上 A B兩地的圖上距離是3 4厘米 那么A B兩地的實(shí)際距離是千米 5 如圖 若兩個(gè)多邊形相似 則x C 34 31 5 27 2相似三角形27 2 1相似三角形的判定 1 課前預(yù)習(xí)1 2015 三亞三模 如圖所示 在 ABC中 DE BC 若AD 1 DB 2 則的值為 A B C D 2 如圖 已知AB CD AD與BC相交于點(diǎn)O AO DO 1 2 那么下列式子正確的是 A BO BC 1 2B CD AB 2 1C CO BC 1 2D AD DO 3 1 C B 3 如圖 已知D E分別是 ABC的邊BC和AC上的點(diǎn) AE 2 CE 3 要使DE AB 那么BC CD應(yīng)等于 課堂精講知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的認(rèn)識(shí) 例1 2015 寶山區(qū)一模 已知 ABC的三邊之比為2 3 4 若 DEF與 ABC相似 且 DEF的最大邊長(zhǎng)為20 則 DEF的周長(zhǎng)為 解析 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得 DEF的三邊比 再結(jié)合條件可分別求得 DEF的三邊長(zhǎng) 可求得答案 解 DEF ABC ABC的三邊之比為2 3 4 DEF的三邊之比為2 3 4又 DEF的最大邊長(zhǎng)為20 DEF的另外兩邊分別為10 15 DEF的周長(zhǎng)為10 15 20 45答案 45 變式拓展1 如圖所示 已知 ABC ADE 則 ABC ADE 且 A ACB A AED 知識(shí)點(diǎn)2平行線分線段成比例 1 平行線分線段成比例的基本事實(shí) 兩條直線被一組平行線所截 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 如圖所示 直線 被 所截 那么 注意 對(duì)應(yīng)線段是指兩條平行線所截的線段 如AB與DE是對(duì)應(yīng)線段 BC與EF是對(duì)應(yīng)線段 AC與DF是對(duì)應(yīng)線段 對(duì)應(yīng)線段成比例是指同一直線上的兩條線段的比 等于另一條直線上與它們對(duì)應(yīng)的線段的比 2 平行線分線段成比例的基本事實(shí)應(yīng)用在三角形上的結(jié)論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 或兩邊的延長(zhǎng)線 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 如圖所示 若DE BC 則有 例2 2015 寶山區(qū)一模 如圖 ABC中 D E分別為邊AB AC上的點(diǎn) 且DE BC 下列判斷錯(cuò)誤的是 A B C D 解析 如圖 證明 ADE ABC 得到 證明 即可解決問題 DE BC ADE ABC C D正確 DE BC 答案 B 變式拓展2 已知在 ABC中 點(diǎn)D E F分別在邊AB AC和BC上 且DE BC DF AC 那么下列比例式中 正確的是 A B C D B 隨堂檢測(cè)1 2014重慶 如圖所示 相似比為1 2 若BC 1 則EF的長(zhǎng)為 A 1B 2C 3D 4 B 2 2015 黃浦區(qū)一模 在 ABC中 點(diǎn)D E分別在AB AC上 如果AD 2 BD 3 那么由下列條件能夠判定DE BC的是 A B C D 3 如圖 如果 則下列各式不正確的是 A B C D 4 如圖 在 ABC中 第3題點(diǎn)D E分別在邊AB AC上 DE BC 已知AE 6 則EC的長(zhǎng)是 第4題 D B 8 5 如下圖所示 已知 ABC ADE AD 8cm BD 4cm BC 15cm EC 7cm 1 求DE AE的長(zhǎng) 2 你還發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例 解 1 ABC ADE AD 8cm BD 4cm BC 15cm EC 7cm設(shè)DE xcm 則 12x 8 15 x 10 設(shè)AE acm 則 a 14 2 27 2 2相似三角形的判定 2 課前預(yù)習(xí)1 如圖所示 已知DE FG BC 則圖中相似三角形共有 A 4對(duì)B 3對(duì)C 2對(duì)D 1對(duì)2 如圖 在大小為4 4的正方形網(wǎng)格中 是相似三角形的是 A 和 B 和 C 和 D 和 B C 3 如圖 在 ABC中 DE BC 求證 ADE ABC 證明 DE BC B ADF C AED ABC ADE 課堂精講知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的判定定理1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 因?yàn)镈E BC 所以圖中 ABC ADE 注意 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊的延長(zhǎng)線相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形也相似 在用此定理判定兩個(gè)三角形相似時(shí) 只需DE BC這一條件就能確定 ABC ADE 不必再用定義進(jìn)行判定 其推理形式 DE BC ABC ADE 例1 如圖所示 已知在中 E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn) AB 3BE DE與BC相交于點(diǎn)F 請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形 并求出相應(yīng)的相似比 解析 由可知AB CD AD BC 再根據(jù)平行線找相似三角形 解 四邊形ABCD是平行四邊形 AB CD AD BC BEF CDF BEF AED BEF CDF AED 當(dāng) BEF CDF時(shí) 相似比 當(dāng) BEF AED時(shí) 相似比 當(dāng) CDF AED時(shí) 相似比 變式拓展1 如圖 E是平行四邊形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn) 連接AE交CD于F 求證 AFD EFC 證明 E是平行四邊形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn) 連接AE交CD于F AD CE AFD EFC 知識(shí)點(diǎn)2相似三角形的判定定理2三邊成比例的兩個(gè)三角形相似 這種判定方法是常用的判定方法 也就是說兩個(gè)三角形只要三條對(duì)應(yīng)邊的比相等 就可判定這兩個(gè)三角形相似 如圖所示 如果 那么 ABC DEF 注意 在兩個(gè)直角三角形中 若斜邊的比等于一組直角邊的比 則這兩個(gè)直角三角形相似 例2 2015 茂名校級(jí)一模 如圖 小正方形的邊長(zhǎng)均為1 則下列圖中的三角形 陰影部分 與 ABC相似的是 A B C D 解析 根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB AC BC的長(zhǎng) 求出三邊之比 利用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似判斷即可 根據(jù)題意得 AB AC BC 2 AC BC AB 2 1 A 三邊之比為1 圖中的三角形 陰影部分 與 ABC不相似 B 三邊之比為 3 圖中的三角形 陰影部分 與 ABC不相似 C 三邊之比為1 圖中的三角形 陰影部分 與 ABC相似 D 三邊之比為2 圖中的三角形 陰影部分 與 ABC不相似 答案 C 變式拓展2 下列4 4的正方形網(wǎng)格中 小正方形的邊長(zhǎng)均為1 三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上 則與 ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是圖 隨堂檢測(cè)1 如圖 ABCD中 E是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn) BE交AC于點(diǎn)F 交DC于點(diǎn)G 則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 A ABE DGEB CGB DGEC BCF EAFD ACD GCF D 2 2014 邵陽 如圖 在ABCD中 F是BC上的一點(diǎn) 直線DF與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E BP DF 且與AD相交于點(diǎn)P 請(qǐng)從圖中找出一組相似的三角形 3 如圖 在 ABC中 AB 8 AC 6 D是AB邊上的一點(diǎn) 當(dāng)AD 時(shí) ABC ACD 4 如圖 在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中有點(diǎn)P A B C 則圖中所形成的三角形中 相似的三角形是 ABP AED 4 5 APB CPA 5 如圖 已知 ABC中 D為邊AC上一點(diǎn) P為邊AB上一點(diǎn) AB 12 AC 8 AD 6 當(dāng)AP的長(zhǎng)度為時(shí) ADP和 ABC相似 4或9 27 2 3相似三角形的判定 3 課前預(yù)習(xí)1 如圖 在 ABC中 點(diǎn)D在AB上 下列條件能使 BCD和 ABC相似的是 A ACD BB ADC BDCC AC2 AD ABD BC2 BD BA2 如圖 無法保證 ADE與 ABC相似的條件是 A 1 CB A CC 2 BD 3 如圖 D為 ABC的邊AB上的點(diǎn) 請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件 使 ADC ACB D B ADC ACB 4 已知40 和50 分別為兩個(gè)直角三角形中的一個(gè)銳角 這兩個(gè)直角三角形 選填 是 或 不是 相似的 是 課堂精講知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的判定定理3兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似 如圖所示 在 ABC與 DEF中 B E 可判定 ABC DEF 注意在利用該方法時(shí) 相等的角必須是已知兩對(duì)應(yīng)邊的夾角 才能使這兩個(gè)三角形相似 不要錯(cuò)誤地認(rèn)為是任意一角對(duì)應(yīng)相等 兩個(gè)三角形就相似 注意 在兩個(gè)直角三角形中 若兩組直角邊的比相等 則這兩個(gè)直角三角形相似 例1 如圖 在正方形ABCD中 E為邊AD的中點(diǎn) 點(diǎn)F在邊CD上 且CF 3FD ABE與 DEF相似嗎 為什么 解析 先根據(jù)正方形的性質(zhì)得 A D 90 AB AD CD 設(shè)AB AD CD 4a 利用E為邊AD的中點(diǎn) CF 3FD 得到AE DE 2a DF a 則可計(jì)算出 2 加上 A D 于是根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到 ABE DEF 解 ABE與 DEF相似 理由如下 四邊形ABCD為正方形 A D 90 AB AD CD設(shè)AB AD CD 4a E為邊AD的中點(diǎn) CF 3FD AE DE 2a DF a 2 2 而 A D ABE DEF 變式拓展1 已知 如圖 在 ABC中 C 90 點(diǎn)D E分別AB CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn) CE 9 AD 15 連接DE 若BC 6 AC 8 求證 ABC DBE 證明 在RT ABC中 C 90 BC 6 AC 8 AB 10 DB AD AB 15 10 5 DB AB 1 2又 EB CE BC 9 6 3 EB BC 1 2 EB BC DB AB又 DBE ABC ABC DBE 知識(shí)點(diǎn)2相似三角形的判定定理4兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似 如圖所示 如果 A A B B 那么 ABC 注意 在兩個(gè)直角三角形中 若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 則這兩個(gè)直角三角形相似 例2 如圖 點(diǎn)D在等邊 ABC的BC邊上 ADE為等邊三角形 DE與AC交于點(diǎn)F 1 證明 ABD DCF 2 除了 ABD DCF外 請(qǐng)寫出圖中其他所有的相似三角形 解析 1 利用等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定方法兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似得出即可 2 利用對(duì)頂角的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)而判斷得出即可 1 證明 ABC ADE為等邊三角形 B C 3 60 1 2 DFC 2 1 DFC ABD DCF 2 解 C E AFE DFC AEF DCF ABD AEF故除了 ABD DCF外 圖中相似三角形還有 AEF DCF ABD AEF ABC ADE ADF ACD 變式拓展2 如上圖 要使 ADB ABC 還需增添的條件是 寫一個(gè)即可 ABD C 知識(shí)點(diǎn)3相似三角形的判定定理的綜合運(yùn)用判定三角形相似的幾種基本思路 1 條件中若有平行線 可采用相似三角形基本定理 2 條件中若有一對(duì)等角 可再找一對(duì)等角或再找夾邊成比例 3 條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例 可找夾角相等 4 條件中若有一對(duì)直角 可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊 直角邊對(duì)應(yīng)成比例 5 條件中若有等腰關(guān)系 可找頂角相等或一對(duì)底角相等 也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例 例3 如圖 在 ABC 點(diǎn)D E分別在AB AC上 連結(jié)DE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 連結(jié)DC BE 若 BDE BCE 180 請(qǐng)寫出圖中的兩對(duì)相似三角形 不另外添加字母和線 并選擇其中的一對(duì)進(jìn)行證明 解析 由于 BDE BCE 180 BDE ADE 180 根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得到 ADE BCE 加上 DAE CAB 根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可判斷ADE ACB 用同樣的方法可證明 FCE FDB 解 ADE ACB FCE FDB 對(duì) ADE ACB進(jìn)行證明 BDE BCE 180 而 BDE ADE 180 ADE BCE即 ADE ACB而 DAE CAB ADE ACB 變式拓展3 如圖 在平行四邊形ABCD中 過點(diǎn)A作AE BC 垂足為E 連接DE F為線段DE上一點(diǎn) 且 AFE B 1 求證 ADF DEC 2 若AB 8 AD AF 求AE的長(zhǎng) 1 證明 在ABCD中 AB CD AD BC C B 180 ADF DEC AFD AFE 180 AFE B AFD C 而在 ADF與 DEC中 AFD C ADF DEC ADF DEC 2 解 在ABCD中 CD AB 8 由 1 知 ADF DEC DE 12 在Rt ADE中 由勾股定理得AE 隨堂檢測(cè)1 如圖所示 給出下列條件 ACD ADC ADC ACB 其中單獨(dú)能夠判定 ABC ACD的個(gè)數(shù)為 A 1B 2C 3D 42 已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是30 70 另一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是70 80 則這兩個(gè)三角形 A 一定相似B 不一定相似C 一定不相似D 不能確定 B A 3 如圖 在 ABC于 ADE中 要使 ABC于 ADE相似 還需要添加一個(gè)條件 這個(gè)條件是 4 如圖 ABC中 AD是 BAC的平分線 AD的垂直平分線AD交于點(diǎn)E 交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 試說明 ABF CAF 證明 AD是 BAC的平分線 BAD CAD 設(shè)為 EF AD 且EF平分AD AF DF ADF DAF ACF ADF DAF BAC而 AFC AFB ABF CAF B E 5 如圖 在等邊 ABC中 D為BC邊上一點(diǎn) E為AC邊上一點(diǎn) 且 ADE 60 1 求證 ABD DCE 2 若BD 3 CE 2 求 ABC的邊長(zhǎng) 1 證明 ABC是等邊三角形 BAC B C 60 CDE CED 180 C 120 ADE 60 ADB CED 180 ADE 120 ADB CED ABD DCE 2 解 設(shè)等邊 ABC的邊長(zhǎng)為x則CD BC BD x 3由 1 知 ABD DCE 即解得x 9 ABC的邊長(zhǎng)為9 27 2 4相似三角形的性質(zhì) 課前預(yù)習(xí)1 ABC DEF 對(duì)應(yīng)邊中線的比為1 2 則相似比為 對(duì)應(yīng)邊高的比為 2 ABC DEF 相似比為1 2 則它們的周長(zhǎng)之比為 3 兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為2 1 則它們的面積比是 4 兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高之比為1 2 那么他們對(duì)應(yīng)中線之比為 1 2 1 2 1 2 4 1 1 2 課堂精講知識(shí)點(diǎn)1性質(zhì)一 相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于似比相似三角形對(duì)應(yīng)高的比 對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 一般地 我們有 相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比 例1 已知一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)為8 6 12 另一個(gè)三角形有一條邊為4 要使這兩個(gè)三角形相似 則另外兩邊長(zhǎng)分別為 解析 設(shè)另外兩邊為 題中沒有指明邊長(zhǎng)為4的邊與原三角形的哪條邊對(duì)應(yīng) 所以應(yīng)分別討論 1 若邊長(zhǎng)為4的邊與邊長(zhǎng)為8的邊相對(duì)應(yīng) 則另兩邊為3和6 2 若邊長(zhǎng)為4的邊與邊長(zhǎng)為6的邊相對(duì)應(yīng) 則另兩邊為和8 3 若邊長(zhǎng)為4的邊與邊長(zhǎng)為12的邊相對(duì)應(yīng) 則另兩邊為和2 故三角形框架的兩邊長(zhǎng)可以是3和6或和8或和2答案 3和6或和8或和2 變式拓展1 2015衡陽縣一模 ABC中 AB 12 BC 18 CA 24 另一個(gè)和它相似的三角形最長(zhǎng)的一邊是36 則最短的一邊是 A 27B 12C 18D 20 C 知識(shí)點(diǎn)2性質(zhì)二 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比如果 ABC 相似比為 則 因此 所以 即 由此我們得到 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 用類似的方法可以得到 相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比 例2 兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比為1 4 它們的周長(zhǎng)之差為27cm 則較大的三角形的周長(zhǎng)為cm 解析 利用相似三角形的對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)比等于相似比 對(duì)應(yīng)中線比等于相似比即可得出 解 令較大的三角形的周長(zhǎng)為xcm小三角形的周長(zhǎng)為 x 27 cm由兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比為1 4得1 4 x 27 x 解得x 36cm答案 36 5 6 知識(shí)點(diǎn)3相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖 ABC 且相似比為 由性質(zhì)一知 所以 所以相似三角形面積的比等于相似比的平方 用類似的方法 可以把相似多邊形分成若干對(duì)相似三角形 便可以得出 相似多邊形面積比等于相似比的平方 例3 兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)是2 3 它們的面積之差是60cm2 那么它們的面積之和是 解析 根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比求出相似比 再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平分求出面積的比 然后根據(jù)比例設(shè)出兩個(gè)三角形的面積 再求解即可 解 兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)是2 3 它們的相似比為2 3 面積的比為4 9設(shè)兩個(gè)三角形的面積分別為4k 9k由題意得 9k 4k 60 解得k 12 兩個(gè)三角形的面積分別為48cm2 108cm2 它們的面積之和是48 108 156cm2答案 156cm2 變式拓展3 兩個(gè)相似三角形的相似比為2 3 它們的面積之差為25cm2 則較大三角形的面積是 A 75cm2B 65cm2C 50cm2D 45cm2 D 隨堂檢測(cè)1 如圖 ABC中 BC 3 AC 4 若 ABC BDC 則CD A 2B C D 2 2015 海珠區(qū)一模 若 ABC DEF 且AB DE 1 3 則S ABC S DEF A 1 3B 1 9C 1 3D 1 1 5 B B 3 2015 江都市一模 如圖 ABC中 點(diǎn)D在線段BC上 且 ABC DBA 則下列結(jié)論一定正確的是 A AB2 BC BDB AB2 AC BDC AB AD BC BDD AB AC BD BC4 如果兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比是3 7 其中一個(gè)三角形的一條角平分線長(zhǎng)為2 則另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角平分線的長(zhǎng)為 5 已知 ABC A B C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是 且 ABC的周長(zhǎng)是25 AB 5 4 那么 的周長(zhǎng)等于 A 或 20 6 已知 ABC 相似比為3 4 且兩個(gè)三角形的面積之差為28 則 ABC的面積為 36 27 2 5相似三角形的應(yīng)用 課前預(yù)習(xí)1 如圖 A B兩點(diǎn)被池塘隔開 在AB外取一點(diǎn)C 連結(jié)AC BC 在AC上取點(diǎn)E 使AE 3EC 作EF AB交BC于點(diǎn)F 量得EF 6m 則AB的長(zhǎng)為 A 30mB 24mC 18mD 12m第1題第2題2 如圖 鐵路道口的欄桿短臂長(zhǎng)1m 長(zhǎng)臂長(zhǎng)16m 當(dāng)短臂端點(diǎn)下降0 5m時(shí) 長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高 桿的寬度忽略不計(jì) A 4mB 6mC 8mD 12m B C 3 小明身高是1 5米 他的影長(zhǎng)是2米 同一時(shí)刻一電線桿的影長(zhǎng)是20米 則電線桿的高度是米 4 已知蠟燭與成像板之間的距離為24cm 使?fàn)T焰的像A B 是燭焰AB的2倍 則蠟燭與成像板之間的小孔紙應(yīng)放在離蠟燭cm的地方 15 12 課堂精講知識(shí)點(diǎn)1利用相似測(cè)量高度 例1 如圖所示 某測(cè)量工作人員的眼睛A與標(biāo)桿頂端F 電視塔頂端E在同一直線上 已知此人眼睛距地面1 6m 標(biāo)桿為3 2m 且BC 1m CD 19m 求電視塔的高ED 解析 此題考查了相似三角形的性質(zhì) 通過構(gòu)造相似三角形 利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可 解 過A點(diǎn)作AH ED 交FC于G 交ED于H 由題意可得 AFG AEH 即解得EH 32m ED 32 1 6 33 6m 變式拓展1 小紅用下面的方法來測(cè)量學(xué)校教學(xué)大樓AB的高度 如圖 在水平地面點(diǎn)E處放一面平面鏡 鏡子與教學(xué)大樓的距離AE 20米 當(dāng)她與鏡子的距離CE 2 5米時(shí) 她剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端B 已知她的眼睛距地面高度DC 1 6米 請(qǐng)你幫助小紅測(cè)量出大樓AB的高度 注 入射角 反射角 解 根據(jù)反射定律知 FEB FED BEA DEC BAE DCE 90 BAE DCE CE 2 5米 DC 1 6米 AB 12 8 大樓AB的高為12 8米 知識(shí)點(diǎn)2利用相似比測(cè)量寬度 解析 首先根據(jù)題意畫出圖形 可通過兩步相似來判斷她的做法是否正確 由 CGH CBA 得到CG HG CB AB的比例關(guān)系 根據(jù) CEF CBA 得到CE EF CB BA的比例關(guān)系 兩式相加 利用BE CG的條件即可判斷出所求的結(jié)論是否正確 例2 如圖 張雨同學(xué)想出了一個(gè)測(cè)量池塘兩端A B長(zhǎng)度的方法 過點(diǎn)A B引兩條直線AC BC相交于點(diǎn)C 在BC上取點(diǎn)E G 使BE CG 再別分別過點(diǎn)E G作EF AB GH AB交AC于點(diǎn)F H 測(cè)得EF 11m GH 5m 她就得出了結(jié)論 池塘的寬AB為16m 你認(rèn)為她說的對(duì)嗎 請(qǐng)說明理由 解 我認(rèn)為她說的對(duì) 理由如下 如圖 BE CG GH 5m EF 11m 根據(jù)題意可知 CHG CAB CFE CAB 則有 設(shè)BE CG BC 得 兩式相加 得 即AB 16m 所以她的做法是正確的 變式拓展2 夾文件或試卷用的鐵夾子在常態(tài)下的側(cè)面示意圖如圖所示 它是軸對(duì)稱圖形 AC BC表示鐵夾子的兩個(gè)面 點(diǎn)O是軸 OD AC于點(diǎn)D 已知OD 10mm OC 26mm AD 15mm 求A B之間的距離 解 如圖 連接AB 與CO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E 夾子是軸對(duì)稱圖形 對(duì)稱軸是CE A B為一組對(duì)稱點(diǎn) CE AB AE EB 在Rt AEC Rt ODC中 AEC ODC 90 OCD是公共角 Rt AEC Rt ODC 又 DC 24 AC AD DC 39 AE 15 AB 2AE 30 mm 隨堂檢測(cè)1 某同學(xué)想利用影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度 如圖 他在某一時(shí)刻立1米長(zhǎng)的標(biāo)桿測(cè)得其影長(zhǎng)為1 2米 同時(shí)旗桿的投影一部分在地面上 另一部分在某一建筑的墻上 分別測(cè)得其長(zhǎng)度為9 6米和2米 則學(xué)校旗桿的高度為 米 A 2B 11 6C 1 2D 10 D B 80 4 要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A B間的距離 先從B處出發(fā) 向與AB成90 角的方向走50m到C處 在C處立一根標(biāo)桿 然后方向不變地繼續(xù)朝前走10m到D處 在D處轉(zhuǎn)90 沿DE方向再走17m 到達(dá)E處 使A 目標(biāo)物 C 標(biāo)桿 與E在同一直線上 如圖 那么據(jù)此可測(cè)得A B間的距離是m 25 27 3位似 課前預(yù)習(xí)1 在如圖所示的四個(gè)圖形為兩個(gè)圓或相似的正多邊形 其中位似圖形的個(gè)數(shù)為 A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 4個(gè)2 如圖 正五邊形FGHMN是由正五邊形ABCDE經(jīng)過位似變換得到的 若AB FG 2 3 則下列結(jié)論正確的是 A 2DE 3MNB 3DE 2MNC 3 A 2 FD 2 A 3 F C B A C 課堂精講知識(shí)點(diǎn)1位似圖形的定義兩個(gè)圖形不僅相似 而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn) 對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上 像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形 這點(diǎn)叫做位似中心 這時(shí)我們說這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)位似 注意 位似圖形一定是相似圖形 而相似圖形不一定是位似圖形 相似圖形成為位似圖形必須具備兩個(gè)條件 一是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn) 二是對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上 兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè) 位似中心可以在兩圖形內(nèi)部 兩圖形之間 也可以在兩圖形的同一側(cè) 例1 如圖 指出下列各圖中的兩個(gè)圖形是否屬于位似圖形 如果是位似圖形 請(qǐng)指出其位似中心 解析 利用位似圖形的定義 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形 而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn) 對(duì)應(yīng)邊互相平行 那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心 進(jìn)而判斷得出即可 解 是位似圖形 位似中心是A 是位似圖形 位似中心是P 不是位似圖形 是位似圖形 位似中心是O 不是位似圖形 變式拓展1 下列關(guān)于位似圖形的表述 相似圖形一定是位似圖形 位似圖形一定是相似圖形 位似圖形一定有位似中心 如果兩個(gè)圖形是相似圖形 且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn) 那么 這兩個(gè)圖形是位似圖形 位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比 其中正確命題的序號(hào)是 A B C D A 知識(shí)點(diǎn)2位似圖形的性質(zhì)根據(jù)位似的概念 可得到位似圖形的四個(gè)基本性質(zhì) 1 位似圖形對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊成比例 2 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線相交于一點(diǎn) 即經(jīng)過位似中心 3 位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一條直線上 4 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn) 到位似中心的距離之比等于相似比 例2 如圖 ABC和 A1B1C1是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形 若C1為OC的中點(diǎn) AB 4 則A1B1的長(zhǎng)為 A 1B 2C 4D 8 解析 根據(jù)位似變換的性質(zhì)得到 B1C1 BC 再利用平行線分線段成比例定理得到 所以 然后把OC1 OC AB 4代入計(jì)算即可 解 C1為OC的中點(diǎn) OC1 OC ABC和 A1B1C1是以點(diǎn)O為位似中心的位似三角形 B1C1 BC 即 A1B1 2 答案 B 變式拓展2 如圖 ABC與 DEF位似 且E是OB的中點(diǎn) 則的值為 A B C D A 知識(shí)點(diǎn)3位似圖形的畫法利用位似 可以把一個(gè)圖形放大或縮小 若相似比大于1 則通過位似變化把原圖形放大 若相似比小于1 則通過位似變化把原圖形縮小 畫位似圖形的一般步驟 確定位似中心 分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)并延長(zhǎng) 根據(jù)相似比 確定能代表所作位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn) 順次連接上述各點(diǎn) 得到放大或縮小的圖形 例3 如圖 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上 且A 1 3 B 3 1 在網(wǎng)格內(nèi)把 ABC以原點(diǎn)O為位似中心放大 使放大前后對(duì)應(yīng)邊的比為1 2 畫出位似圖形 A1B1C1 解析 由在網(wǎng)格內(nèi)把 ABC以原點(diǎn)O為位似中心放大 使放大前后對(duì)應(yīng)邊的比為1 2 即可得A1 2 6 B1 6 2 C1 0 2 則可畫出圖形 解 如圖 畫出 A1B1C1 把 ABC以原點(diǎn)O為位似中心放大 使放大前后對(duì)應(yīng)邊的比為1 2 對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 2 6 6 2 0 2 或 2 6 6 2 0 2 在網(wǎng)格內(nèi)把 ABC以原點(diǎn)O為位似中心放大 A1 2 6 B1 6 2 C1 0 2 變式拓展3 如圖 已知O是坐標(biāo)原點(diǎn) A B的坐標(biāo)分別為 3 1 2 1 在y軸的左側(cè)以O(shè)為位似中心作 OAB的位似 OCD 使新圖與原圖的相似比為2 1 解 如圖所示 知識(shí)點(diǎn)4位似變換與坐標(biāo)1 位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律一般地 在平面直角坐標(biāo)系中 如果以原點(diǎn)為位似中心 新圖形與原圖形的相似比為k 那么與原圖形上的點(diǎn) x y 對(duì)應(yīng)的位似圖形上的坐標(biāo) kx ky 或 kx ky 2 位似與平移 軸對(duì)稱 旋轉(zhuǎn)之間的聯(lián)系和區(qū)別位似 平移 軸對(duì)稱 旋轉(zhuǎn)都是圖形變化的基本形式 它們本質(zhì)區(qū)別在于 平移 軸對(duì)稱 旋轉(zhuǎn)三種圖形變化都是全等變化 而位似變化是相似 擴(kuò)大 縮小或不變 變化 3 平移 軸對(duì)稱 旋轉(zhuǎn) 位似變化的坐標(biāo)變化規(guī)律 1 平移變化 對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)加上 或減去 平移的單位長(zhǎng)度 2 軸對(duì)稱變化 以x軸為對(duì)稱軸 則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等 縱坐標(biāo)互為相反數(shù) 以y軸為對(duì)稱軸 則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等 橫坐標(biāo)互為相反數(shù) 3 旋轉(zhuǎn)變化 一個(gè)圖形繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180 則旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù) 4 位似變化 當(dāng)以原點(diǎn)為位似中心是 變換前后兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo) 縱坐標(biāo)之比的絕對(duì)值等于相似比 例4 如圖 方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形 我們把以格點(diǎn)間連線為邊的三角形稱為 格點(diǎn)三角形 圖中的 ABC就是格點(diǎn)三角形 在建立平面直角坐標(biāo)系后 點(diǎn)A的坐標(biāo)為 1 1 1 將 ABC沿x軸向左平移3個(gè)單位 得到 A1B1C1 畫出 A1B1C1 2 將 A1B1C1以B1為位似中心 以位似比1 3放大 得到 A2B1C2 畫出 A2B1C2 3 寫出A2 C2坐標(biāo) 解析 1 利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案 2 利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出圖形 3 利用 2 中所求得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即可 解 1 如圖所示 A1B1C1即為所求 2 如圖所示 A2B1C2即為所求 3 A2 4 3 C2 5 0 變式拓展4 如圖 方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形 我們把以格點(diǎn)間連線為邊的三角形稱為 格點(diǎn)三角形 圖中的 ABC就是格點(diǎn)三角形 在建立平面直角坐標(biāo)系后 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 1 1 1 把 ABC向左平移8格后得到 A1B1C1 畫出 A1B1C1的圖形并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo) 2 把 ABC關(guān)于y軸翻折后得到 A2B2C 畫出 A2B2C2的圖形并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo) 3 把 ABC以點(diǎn)A為位似中心放大 使放大前后對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的比為1 2 畫出 AB3C3 解 1 如圖所示 A1B1C1即為所求 點(diǎn)B1的坐標(biāo)為 9 0 2 如圖所示 A2B2C2即為所求 點(diǎn)B2的坐標(biāo)為 5 0 3 如圖所示 AB3C3即為所求 隨堂檢測(cè)1 如圖 線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A 2 2 B 4 2 以原點(diǎn)O為位似中心 將線段AB縮小后得到線段DE 若DE 1 則端點(diǎn)D的坐標(biāo)為 A 2 1 B 2 2 C 1 1 D 1 2 2 下列說法 位似圖形一定不是全等圖形 位似圖形一定是相似圖形 兩個(gè)位似圖形面積的比等于位似比的平方 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上 任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比 其中正確的個(gè)數(shù)有 A 4個(gè)B 3個(gè)C 2個(gè)D 1個(gè) C B 3 ABC和 A B C 是位似圖形 且面積之比為4 1 則 ABC和 A B C 的對(duì)應(yīng)邊AB和A B 的比為 4 2014 營(yíng)口 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A 2 1 B 1 4 C 3 2 1 畫出 ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形 A1B1C1 并直接寫出C1點(diǎn)坐標(biāo) 2 以原點(diǎn)O為位似中心 位似比為1 2 在y軸的左側(cè) 畫出 ABC放大后的圖形 A2B2C2 并直接寫出C2點(diǎn)坐標(biāo) 2 1 解 1 如圖所示 A1B1C1 即為所求 C1點(diǎn)坐標(biāo)為 3 2 2 如圖所示 A2B2C2 即為所求 C2點(diǎn)坐標(biāo)為 6 4 5 如圖 在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中有 ABC 建立平面直角坐標(biāo)系后 點(diǎn)O的坐標(biāo)是 0 0 1 以O(shè)為位似中心 作 A B C ABC 相似比為1 2 且保證 A B C 在第三象限 2 點(diǎn)B 的坐標(biāo)為 3 若線段BC上有一點(diǎn)D 它的坐標(biāo)為 a b 那么它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D 的坐標(biāo)為 2 1 解 1 如圖所示 A B C 即為所求