高中數(shù)學(xué) 第4章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1.2 函數(shù)的極值課件 北師大版選修1-1.ppt

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1 2函數(shù)的極值 學(xué)課前預(yù)習(xí)學(xué)案 橫看成嶺側(cè)成峰 遠(yuǎn)近高低各不同 說的是廬山的高低起伏 錯落有致 在群山之中 各個山峰的頂端 雖然不一定是群山的最高處 但它卻是其附近的最高點 同樣 各個谷底雖然不一定是群山之中的最低處 但它卻是附近的最低點 那么 在數(shù)學(xué)上 如何來刻畫這種現(xiàn)象呢 1 在包含x0的一個區(qū)間 a b 內(nèi) 函數(shù)y f x 在 的函數(shù)值都 x0點的函數(shù)值 稱點x0為函數(shù)y f x 的極大值點 其函數(shù)值f x0 為函數(shù)的極大值 2 在包含x0的一個區(qū)間 a b 內(nèi) 函數(shù)y f x 在 的函數(shù)值都 x0點的函數(shù)值 稱點x0為函數(shù)y f x 的極小值點 其函數(shù)值f x0 為函數(shù)的極小值 1 函數(shù)極值的有關(guān)定義 任何一點 不大于 任何一點 不小于 極大值 極小值 極大值點 極小值點 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖像 如圖所示 1 注意區(qū)別極值點與極值概念 如圖 函數(shù)y f x 的極大值點為x1 x3 函數(shù)y f x 的極小值點為x2 x4 函數(shù)y f x 的極大值為f x1 f x3 函數(shù)y f x 的極小值為f x2 f x4 極值點為函數(shù)取極值時函數(shù)的自變量x的值 2 函數(shù)的極值點在函數(shù)定義區(qū)間 a b 內(nèi) 不可能是區(qū)間端點 3 若函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)有多個極值時 極大值點與極小值點一般交替出現(xiàn) 且兩個相鄰極大 小 值點間必有一個極小 大 值點 4 函數(shù)的極大值與極小值間無必然的大小關(guān)系 如圖 盡管x2 x4均為極小值點 但f x2 f x4 有時y f x 的極小值反比極大值大 如圖中f x4 f x1 1 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a x0 上是單調(diào)遞增的 在區(qū)間 x0 b 上是單調(diào)遞減的 則x0是極 值點 f x0 是極 值 2 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a x0 上是單調(diào)遞減的 在區(qū)間 x0 b 上是單調(diào)遞增的 則x0是極 值點 f x0 是極 值 2 函數(shù)的單調(diào)性與極值 大 大 小 小 1 對于可導(dǎo)函數(shù)來說 y f x 在極值點處的導(dǎo)數(shù)為0 但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點 例如 函數(shù)y x3在x 0處 f 0 0 但x 0不是函數(shù)的極值點 2 可導(dǎo)函數(shù)y f x 在x0處取得極值的充要條件是f x 0 且在x0的左側(cè)與右側(cè) f x 的符號不同 3 若函數(shù)y f x 在 a b 上有極值 則y f x 在 a b 上不是單調(diào)函數(shù) 即在區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒有極值 例如 函數(shù)y x2在 2 2 上有極值 其單調(diào)性是先減后增 函數(shù)y x3在R上是遞增的 沒有極值 4 極大值點可以看成函數(shù)遞增區(qū)間到遞減區(qū)間的轉(zhuǎn)折點 極小值點可以看成函數(shù)遞減區(qū)間到遞增區(qū)間的轉(zhuǎn)折點 1 函數(shù)f x x3 3x2 7的極大值是 A 7B 7C 3D 3解析 f x 3x2 6x 由f x 0得x 0或x 2 在x 0附近的左側(cè)f x 0 右側(cè)f x 0 f 0 7為函數(shù)的極大值 答案 B 2 函數(shù)f x ax3 bx在x 1處有極值 2 則a b的值分別為 A 1 3B 1 3C 1 3D 1 3解析 f x 3ax2 b f 1 3a b 0 a b 2 解得a 1 b 3 答案 A 3 函數(shù)y x3 6x的極大值為 極小值為 講課堂互動講義 求函數(shù)的極值 求函數(shù)極值的一般步驟是 1 確定函數(shù)的定義域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根 順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符號 來判斷f x 在這個根處取極值的情況 如果左正右負(fù) 那么f x 在這個根處取得極大值 如果左負(fù)右正 那么f x 在這個根處取得極小值 解析 1 因為f x x4 4x3 5 所以f x 4x3 12x2 4x2 x 3 令f x 4x2 x 3 0 得x1 0 x2 3 當(dāng)x變化時 f x 與f x 的變化情況如下表 設(shè)函數(shù)f x ax3 bx2 cx在x 1和x 1處有極值 且f 1 1 求a b c 并求其極值 含參數(shù)的函數(shù)的極值 此類問題屬于逆向思維問題 通過對算法過程和原理的分析 發(fā)現(xiàn)題目中蘊含的等量關(guān)系或不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵 2 已知函數(shù)f x x3 3ax2 2bx在點x 1處的極小值為 1 試確定a b的值 并求f x 的單調(diào)區(qū)間 12分 設(shè)a為實數(shù) 函數(shù)f x x3 x2 x a 1 求f x 的極值 2 當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時 曲線y f x 與x軸僅有一個交點 思路導(dǎo)引 1 先求導(dǎo)數(shù)f x 然后按求極值的基本方法求解 2 當(dāng)函數(shù)f x 的極大值小于零或極小值大于零時 曲線y f x 與x軸僅有一個交點 進(jìn)而得關(guān)于a的不等式求解即可 函數(shù)極值的應(yīng)用 極值問題的綜合應(yīng)用主要涉及到極值的正用和逆用 以及與單調(diào)性問題的綜合 題目著重考查已知與未知的轉(zhuǎn)化 以及函數(shù)與方程的思想 分類討論的思想在解題中的應(yīng)用 在解題過程中 要熟練掌握單調(diào)區(qū)間問題以及極值問題的基本解題策略 3 已知a為實數(shù) 函數(shù)f x x3 3x a 1 求函數(shù)f x 的極值 并畫出其圖像 草圖 2 當(dāng)a為何值時 方程f x 0恰好有兩個不同的實數(shù)根 解析 1 由f x x3 3x a 得f x 3x2 3 令f x 0 得x 1或x 1 當(dāng)x 1 時 f x 0 當(dāng)x 1 1 時 f x 0 當(dāng)x 1 時 f x 0 所以函數(shù)f x 的極小值為f 1 a 2 極大值為f 1 a 2 由單調(diào)性 極值可畫出函數(shù)f x 的大致圖像 如圖所示 這里 極大值a 2大于極小值a 2 2 結(jié)合圖像 當(dāng)極大值a 2 0時 有極小值小于0 此時曲線f x 與x軸恰有兩個交點 即方程f x 0恰有兩個不同的實數(shù)根 所以a 2滿足條件 當(dāng)極小值a 2 0時 有極大值大于0 此時曲線f x 與x軸恰有兩個交點 即方程f x 0恰有兩個不同的實數(shù)根 所以a 2也滿足條件 綜上 當(dāng)a 2時 方程恰有兩個不同的實數(shù)根 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1時有極值0 求常數(shù)a b的值 錯因 根據(jù)極值的定義 函數(shù)先減后增為極小值 函數(shù)先增后減為極大值 此題未驗證x 1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性 故求錯 正解 求解過程同上 當(dāng)a 1 b 3時 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在R上為增函數(shù) 無極值 故舍去 當(dāng)a 2 b 9時 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 當(dāng)x 3 1 時 f x 為減函數(shù) 當(dāng)x 1 時 f x 為增函數(shù) 所以f x 在x 1處取得極小值 因此a 2 b 9