（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第23練 解析幾何的綜合問題試題 理.docx

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第23練解析幾何的綜合問題明晰考情1.命題角度：直線與橢圓；定點、定值問題；最值問題.2.題目難度：中高檔難度.考點一直線與橢圓方法技巧對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般要把圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立來處理.(1)設(shè)直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，或者將直線方程設(shè)成xmyb(斜率不為0)的形式.(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用方程根的判別式或求根公式得到交點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo).(3)一般涉及弦長的問題，要用到弦長公式AB|x1x2|或AB|y1y2|.1.(2018江蘇省南京外國語學(xué)校檢測)已知橢圓E：1(ab0)過點M，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，過點P(0,2)的直線l與橢圓E相交于兩個不同的點A，B，求的取值范圍.解(1)由題意得所以a24，b21.所以橢圓E的方程為y21. (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，A(0,1)，B(0，1)，所以1.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y整理得(14k2)x216kx120，由0，可得4k23，因為x1,2，所以x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)41，所以10.因為x1,2，所以|x1x2|，于是，PQ|x1x2|，點O到直線l的距離d.由SOPQ，得，化簡得，k42k210，解得k1，且滿足0，即k1符合題意.因此，所求直線的方程為xy20或xy20.考點二定點、定值問題方法技巧(1)定點問題的常見解法假設(shè)定點坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求定點.從特殊位置入手，找出定點，再證明該點符合題意.(2)定值問題的常見解法從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.5.(2018蘇州調(diào)研)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：1(ab0)的離心率為，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，P為橢圓C上位于第一象限內(nèi)的一點，PA交y軸于點E，PB交x軸于點D.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求的值；(3)求證：四邊形ABDE的面積為定值.(1)解設(shè)右焦點F(c,0)，因為橢圓C的離心率為，所以，又因為右焦點F到右準(zhǔn)線的距離為，所以c，由得，a2，c，b1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是y21.(2)解因為，所以E，直線AE的方程為y(x2)，由得x2(x2)24，解得x2(舍)或x，故P，直線PB的方程為yx1，令y0，得D，所以.(3)證明設(shè)P(x0，y0)(x00，y00)，則y1，即x4y4.直線AP的方程為y(x2)，令x0，得y.直線BP的方程為y1x，令y0，得x.所以四邊形ABDE的面積S2.所以四邊形ABDE的面積為定值.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，離心率為的橢圓C：1(ab0)的左頂點為A，過原點O的直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA，QA分別與y軸交于M，N兩點.當(dāng)直線PQ的斜率為時，PQ2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)試問以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(與直線PQ的斜率無關(guān))？請證明你的結(jié)論.解(1)設(shè)P，因為當(dāng)直線PQ的斜率為時，PQ2，所以x23，所以x2.所以1.因為e，所以a24，b22.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)以MN為直徑的圓過定點(，0).設(shè)P(x0，y0)，則Q(x0，y0)，且1，即x2y4.因為A(2,0)，所以直線PA的方程為y(x2)，所以M，直線QA的方程為y(x2)，所以N.以MN為直徑的圓為(x0)(x0)0，即x2y2y0.因為x42y，所以x2y2y20.令y0，解得x，所以以MN為直徑的圓過定點(，0).7.已知橢圓C：1的上頂點為A，直線l：ykxm交橢圓于P，Q兩點，設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2.(1)當(dāng)m0時，求k1k2的值；(2)當(dāng)k1k21時，證明：直線l：ykxm過定點.(1)解當(dāng)m0時，直線l：ykx.代入橢圓C：1，得x22k2x24，解得P，Q.因為A為橢圓的上頂點，所以A(0，)，所以k1，k2，所以k1k2.(2)證明設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線l：ykxm代入橢圓C：1，并整理得(12k2)x24kmx2m240，則16k2m28(m22)(12k2)8(4k2m22)0，因為x1,2，所以x1x2，x1x2.由k1k21知，1，即y1y2(y1y2)2x1x20，所以(kx1m)(kx2m)(kx1mkx2m)x1x220，所以k2x1x2mk(x1x2)m2k(x1x2)2mx1x220，即(k21)k(m)m22m20，所以(k21)(2m24)k(m)(4km)(m22m2)(12k2)0，所以3m22m20，解得m(舍去)或m，所以直線l：ykx.所以直線l過定點.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)中心在坐標(biāo)原點的橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右準(zhǔn)線l：xm1與x軸的交點為B，BF2m.(1)已知點在橢圓C上，求實數(shù)m的值；(2)已知定點A(2,0).若橢圓C上存在點T，使得，求橢圓C的離心率的取值范圍；當(dāng)m1時，記M為橢圓C上的動點，直線AM，BM分別與橢圓C交于另一點P，Q，若，求證：為定值.(1)解設(shè)橢圓C的方程為1(ab0).由題意，得解得所以橢圓方程為1.因為橢圓C過點，所以1，解得m2或m(舍去).所以m2.(2)解設(shè)點T(x，y)，由，得(x2)2y22(x1)2y2，即x2y22.由得y2m2m.因此0m2mm，解得1m2.所以橢圓C的離心率e.證明設(shè)M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x02，y0)，(x12，y1).由，得從而因為y1，所以(y1)21，即22(1)x12(1)210.因為y1，代入得2(1)x132410.由題意知，1且0，故x1，所以x0.同理可得x0.因此，所以6.考點三范圍、最值問題方法技巧圓錐曲線的最值和范圍問題解題常見思路(1)利用判別式來構(gòu)造不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的取值范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立相關(guān)關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.9.已知橢圓的右焦點F(m,0)，左、右準(zhǔn)線分別為l1：xm1，l2：xm1，且l1，l2分別與直線yx相交于A，B兩點.(1)若離心率為，求橢圓的方程；(2)當(dāng)7時，求橢圓離心率的取值范圍.解(1)由已知得橢圓的中心在坐標(biāo)原點，cm，m1，從而a2m(m1)，b2m.由e得bc，從而m1，故a，b1，得橢圓方程為y21.(2)易得A(m1，m1)，B(m1，m1)，從而(2m1，m1)，(1，m1)，故2m1(m1)2m24m27，得0mb0)的短軸位于x軸下方的端點，過A作斜率為1的直線l交橢圓于B點，點P在y軸上，且BPx軸，9.(1)若點P的坐標(biāo)為(0,1)，求橢圓C的方程；(2)若點P的坐標(biāo)為(0，t)，求實數(shù)t的取值范圍.解(1)由題意得A(0，b)，l的方程為yxb，由P(0,1)，得B(1b,1)，所以(1b,1b)，(0,1b)，由9，即(1b,1b)(0,1b)9，所以(1b)29，即b2，所以B(3,1)，又B在橢圓上，得1，解得a212, 所以橢圓C的方程為1.(2)由A(0，b), P(0，t)，得B(tb，t)，所以(tb，tb)，(0，tb)，因為9，所以(tb)29，因為A點是短軸頂點，所以t0，tb3，則B(3，t)，代入橢圓方程得1，得a2.因為a2b2，所以(3t)2，解得0tb0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點.(1)求E的方程；(2)設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)OPQ的面積最大時，求l的方程.解(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).將ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)0，即k2時，x1,2.從而PQ|x1x2|.又點O到直線PQ的距離d.所以O(shè)PQ的面積SOPQdPQ|x1x2|.設(shè)t，則t0，SOPQ1.當(dāng)且僅當(dāng)t2，即k時等號成立，且滿足0.所以當(dāng)OPQ的面積最大時，l的方程為2yx40.12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab1)過點P(2,1)，且離心率e.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點，求PAB面積的最大值.解(1)e2，a24b2.又1，a28，b22.故所求橢圓C的方程為1.(2)設(shè)l的方程為yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y，得x22mx2m240，判別式164m20，即m20，故PAB面積的最大值為2.例(16分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且點在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓E：1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線ykxm交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.求的值；求ABQ面積的最大值.審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)解(1)由題意知1.又，解得a24，b21.所以橢圓C的方程為y21.4分(2)由(1)知橢圓E的方程為1.設(shè)P(x0，y0)，(0)，由題意知Q(x0，y0).因為y1，又1，即1，所以2，即2.7分設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).聯(lián)立可得(14k2)x28kmx4m2160，由0，可得m2416k2，(*)因為x1,2，所以|x1x2|.9分因為直線ykxm與y軸交點的坐標(biāo)為(0，m)，所以O(shè)AB的面積S|m|x1x2|2.11分設(shè)t，將ykxm代入橢圓C的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由0，可得m214k2.(*)由(*)和(*)可知0t1，因此S22，12分故0S2，當(dāng)且僅當(dāng)t1，即m214k2時取得最大值2.14分由知，ABQ的面積為3S，所以ABQ面積的最大值為6.16分構(gòu)建答題模板第一步求曲線方程：根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程.第二步聯(lián)立消元：將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，得到方程Ax2BxC0，然后研究判別式，利用求根公式求出交點坐標(biāo).第三步找關(guān)系：從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系.第四步建函數(shù)：對范圍、最值類問題，要建立關(guān)于目標(biāo)變量的函數(shù)關(guān)系.第五步得范圍：通過求解函數(shù)值域或解不等式得目標(biāo)變量的范圍或最值，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件.1.(2018江蘇省如東高級中學(xué))在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的焦點為F1(4,0), F2(4,0)，且經(jīng)過點P(3,1).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點M在橢圓上，且，求的值.解(1)依題意，設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，2aPF1PF26，a3，又c4，b2a2c22，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)(7，1)(1，1)，點M的坐標(biāo)為，點M在橢圓上，221，即202470，解得或.2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(ab0)過點A(2,1)，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線l：ykxm(k0)與橢圓相交于B，C兩點(異于點A)，線段BC被y軸平分，且ABAC，求直線l的方程.解(1)由條件知橢圓1(ab0)的離心率為e，所以b2a2c2a2.又點A(2,1)在橢圓1(ab0)上，所以1, 解得所以橢圓的方程為1. (2)將ykxm(k0)代入橢圓方程，得x24(kxm)280，整理得(14k2)x28mkx4m280. (*)因為xB，C，所以xBxC.由線段BC被y軸平分，得xBxC0，因為k0，所以m0.因為當(dāng)m0時，B，C關(guān)于原點對稱，設(shè)B(x，kx)，C(x，kx)，由方程(*)，得x2，又因為ABAC，A(2,1)，所以(x2)(x2)(kx1)(kx1)5(1k2)x250，所以k.由于k時，直線yx過點A(2,1)，故k不符合題設(shè).所以直線l的方程為x2y0.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率e，直線l：xmy10(mR)過橢圓C的右焦點F，且交橢圓C于A，B兩點.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點D，連結(jié)BD，過點A作垂直于y軸的直線l1，設(shè)直線l1與直線BD交于點P，試探索當(dāng)m變化時，是否存在一條定直線l2，使得點P恒在直線l2上？若存在，請求出直線l2的方程；若不存在，請說明理由.解(1)在xmy10中，令y0，則x1，所以F(1,0).由題設(shè)，得解得從而b2a2c23，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)令m0，則A，B或A，B.當(dāng)A，B時，P；當(dāng)A，B時，P，所以滿足題意的定直線l2只能是x4.下面證明點P恒在直線x4上.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由于PA垂直于y軸，所以點P的縱坐標(biāo)為y1，從而只要證明P(4，y1)在直線BD上即可.由消去x得(43m2)y26my90.因為144(1m2)0，且y1,2，所以y1y2，y1y2.因為kDBkDP.將式代入上式，得kDBkDP0，所以kDBkDP.所以點P(4，y1)在直線BD上，從而直線l1、直線BD與直線l2：x4三線恒過同一點P，所以存在一條定直線l2：x4，使得點P恒在直線l2上.4.(2018江蘇省溧水七校聯(lián)考)已知橢圓1(ab0)的右焦點F，離心率為，過F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)AB，CD的中點分別為M，N.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線MN必過定點，并求出此定點坐標(biāo)；(3)若弦AB，CD的斜率均存在，求FMN面積的最大值.解(1)由題意得c1, ，a，bc1，橢圓的方程為y21.(2)當(dāng)直線AB，CD有一條斜率不存在時，直線MN即為直線OF，此時直線MN過點P.當(dāng)直線AB，CD的斜率均存在時，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有M，聯(lián)立消去y得(12k2)x24k2x2k220，x1,2，則x1x2，即M，將上式中的k換成，同理可得N，若，解得k1，直線MN斜率不存在，此時直線MN過點P.若直線MN的斜率存在，則k1，則kMN，直線MN為y，令y0，得x.綜上，直線MN過定點.(3)由(2)可知直線MN過定點P，又直線AB的斜率k0，故SFMNSFPMSFPN，令t|k|2，)，SFMNf(t)，f(t)在2，)上單調(diào)遞減，當(dāng)t2時，f(t)取得最大值，即SFMN取得最大值，此時k1.