2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 解三角形 課時跟蹤訓(xùn)練24 解三角形應(yīng)用舉例 文.doc

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課時跟蹤訓(xùn)練(二十四) 解三角形應(yīng)用舉例 [基礎(chǔ)鞏固] 一、選擇題 1．已知兩座燈塔A、B與C的距離都是a，燈塔A在C的北偏東20，燈塔B在C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn) B.a C.a D．2a [解析]　如圖所示，由余弦定理可知，AB2＝a2＋a2－2aacos120＝3a2得AB＝a.故選B. [答案]　B 2．如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計算出A、B兩點的距離為(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m [解析]　由題意得∠B＝180－45－105＝30， 由正弦定理得＝， ∴AB＝＝＝50(m)． [答案]　A 3．兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的(　　) A．北偏東10 B．北偏西10 C．南偏東10 D．南偏西10 [解析]　燈塔A、B的相對位置如圖所示，由已知得∠ACB＝80， ∠CAB＝∠CBA＝50， 則α＝60－50＝10，即北偏西10. [答案]　B 4．在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30，測得湖中之影的俯角為45，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)(　　) A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m [解析]　依題意畫出示意圖． 則＝ ∴CM＝10 ≈37.3. [答案]　C 5．張曉華同學(xué)騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30方向上，15 min后到點B處望見電視塔在電動車的北偏東75方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是(　　) A．2 km B．3 km C．3 km D．2 km [解析]　畫出示意圖如圖， 由條件知AB＝24＝6.在△ABS中，∠BAS＝30，AB＝6，∠ABS＝180－75＝105，所以∠ASB＝45.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3. [答案]　B 6．在200米高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別為30，60，則塔高為(　　) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 [解析]　作出示意圖如右圖， 由已知，在Rt△OAC中，OA＝200，∠OAC＝30，則OC＝OAtan∠OAC＝200tan30＝. 在Rt△ABD中，AD＝，∠BAD＝30， 則BD＝ADtan∠BAD＝tan30＝， ∴BC＝CD－BD＝200－＝. [答案]　A 二、填空題 7．一船以每小時15 km的速度向正東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為________km. [解析]　 如圖所示，依題意有： AB＝154＝60，∠MAB＝30， ∠AMB＝45， 在△AMB中， 由正弦定理得＝， 解得BM＝30(km)． [答案]　30 8．(2017廣東廣州市高三綜合測試)江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距________m. [解析]　如圖，由題意知，OA＝30， ∠OAM＝45，∠OAN＝30， ∠MON＝30. 在Rt△AOM中，OM＝OA tan∠OAM＝30tan45＝30. 在Rt△AON中，ON＝OAtan∠OAN＝30tan30＝10. 在△MON中，由余弦定理得 MN＝ ＝ ＝＝10(m)． [答案]　10 9．(2018山西大學(xué)附中檢測)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于________m. [解析]　如圖，∠ACD＝30， ∠ABD＝75，AD＝60 m, 在Rt△ACD中，CD＝＝＝60(m)， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝ ＝60(2－)(m)， ∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)． [答案]　120(－1) 三、解答題 10.港口A北偏東30方向的C處有一檢查站，港口正東方向的B處有一輪船，距離檢查站為31海里，該輪船從B處沿正西方向航行20海里后到達D處觀測站，已知觀測站與檢查站距離21海里，問此時輪船離港口A還有多遠？ [解]　在△BDC中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理知，cos∠CDB＝＝－， ∴sin∠CDB＝. ∴sin∠ACD＝sin＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin ＝. 在△ACD中，由正弦定理知＝?AD＝21＝15. ∴此時輪船距港口還有15海里． [能力提升] 11．(2017山西太原模擬)某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45，沿傾斜角為30的斜坡前進1000 m后到達D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0 ，則山的高度BC為(　　) A．500(＋1)m B．500 m C．500(＋1)m D．1000 m [解析]　 過點D作DE∥AC交BC于E，因為∠DAC＝30，故∠ADE＝150.于是∠ADB＝360－150－60＝150.又∠BAD＝45－30＝15，故∠ABD＝15，由正弦定理，得AB＝＝＝500(＋)(m) 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45＝500(＋1)(m)． [答案]　A 12．某人在C點測得某塔在南偏西80，塔頂仰角為45，此人沿南偏東40方向前進10米到D，測得塔頂A的仰角為30，則塔高為(　　) A．15米 B．5米 C．10米 D．12米 [解析]　如圖，設(shè)塔高為h， 在Rt△AOC中，∠ACO＝45，則OC＝OA＝h. 在Rt△AOD中，∠ADO＝30， 則OD＝h， 在△OCD中，∠OCD＝120， CD＝10， 由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OCCDcos∠OCD， 即(h)2＝h2＋102－2h10cos120， ∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)． [答案]　C 13．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，則甲船應(yīng)取方向________才能追上乙船；追上時甲船行駛了________海里． [解析]　如圖所示，設(shè)到C點甲船追上乙船，乙到C地用的時間為t，乙船速度為v， 則BC＝tv，AC＝tv，B＝120， 由正弦定理知＝， ∴＝， ∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30，∴∠ACB＝30， ∴BC＝AB＝a， ∴AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcos120 ＝a2＋a2－2a2＝3a2，∴AC＝a. [答案]　北偏東30　a 14. (2017廣東省五校協(xié)作體高三一診)如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC＝15，沿山坡前進50 m到達B處，又測得∠DBC＝45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ＝________. [解析]　由∠DAC＝15，∠DBC＝45可得∠BDA＝30，∠DBA＝135，∠BDC＝90－(15＋θ)－30＝45－θ，由內(nèi)角和定理可得∠DCB＝180－(45－θ)－45＝90＋θ，根據(jù)正弦定理可得＝，即DB＝100sin15＝100sin(45－30)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cosθ＝－1. [答案]?。? 15.海島B上有一座高為10米的塔，塔頂有一個觀測站A，上午11時測得一游船位于島北偏東15方向上，且俯角為30的C處，一分鐘后測得該游船位于島北偏西75方向上，且俯角為45的D處．(假設(shè)游船勻速行駛) (1)求該船行駛的速度(單位：米/分鐘)； (2)又經(jīng)過一段時間后，游船到達海島B的正西方向E處，問此時游船距離海島B多遠？ [解]　(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60，AB＝10， 則BC＝10米； 在Rt△ABD中，∠BAD＝45，AB＝10，則BD＝10米； 在△BCD中，∠DBC＝75＋15＝90， 則CD＝ ＝20米． 所以速度v＝＝20米/分鐘． (2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30， 又因為∠DBE＝15，所以∠CBE＝105，所以∠CEB＝45. 在△BCE中，由正弦定理可知＝， 所以EB＝＝5米． [延伸拓展] 　(2017江西宜春段考)某工廠實施煤改電工程防治霧霾，欲拆除高為AB的煙囪，測繪人員取與煙囪底部B在同一水平面內(nèi)的兩個觀測點C，D，測得∠BCD＝75，∠BDC＝60，CD＝40米，并在點C處的正上方E處觀測頂部A的仰角為30，且CE＝1米，則煙囪高AB＝________米． [解析]　∠CBD＝180－∠BCD－∠BDC＝45， 在△CBD中，根據(jù)正弦定理得BC＝＝20， ∴AB＝1＋tan30CB＝1＋20(米)． [答案]　1＋20