2019高考數(shù)學二輪復習 第一篇 微型專題 專題5 概率與統(tǒng)計知識整合學案 理.docx

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專題5概率與統(tǒng)計一、計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別是什么?分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題,各個步驟相互依存,只有各個步驟都完成了才算完成這件事.2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)是什么?公式(1)Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!(n-m)!(2)Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!(n,mN+,且mn)特別地,Cn0=1性質(zhì)(1)0!=1;Ann=n!(2)Cnm=Cnn-m;Cn+1m=Cnm+Cnm-13.二項式系數(shù)的性質(zhì)是什么?性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,即Cnk=Cnn-k增減性二項式系數(shù)Cnk當kn+12(nN+)時,二項式系數(shù)是遞減的二項式系數(shù)的最大值當n為偶數(shù)時,中間的一項Cnn2取得最大值當n為奇數(shù)時,中間的兩項Cnn-12與Cnn+12取得最大值并且相等4.各二項式系數(shù)的和是什么?(1)(a+b)n展開式的各項二項式系數(shù)的和為Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n.(2)偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1.二、概率1.互斥事件與對立事件有什么區(qū)別與聯(lián)系?互斥與對立都是兩個事件的關(guān)系,互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件,而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外,還要求二者之一必須有一個發(fā)生.因此,對立事件是互斥事件的特殊情況,而互斥事件不一定是對立事件.2.基本事件的三個特點是什么?(1)每一個基本事件發(fā)生的可能性都是相等的;(2)任何兩個基本事件都是互斥的;(3)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.3.古典概型、幾何概型的概率公式分別是什么?古典概型的概率公式:P(A)=事件A包含的基本事件的個數(shù)(m)基本事件的總數(shù)(n).幾何概型的概率公式:P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積).三、統(tǒng)計初步與統(tǒng)計案例1.分層抽樣的適用范圍是什么?當總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層抽樣的方法.2.如何作頻率分布直方圖?(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差).(2)決定組距與組數(shù).(3)將數(shù)據(jù)分組.(4)列頻率分布表.(5)畫頻率分布直方圖.3.頻率分布直方圖的特點是什么?(1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距,縱坐標表示頻率組距,頻率=組距頻率組距.(2)在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積總和等于1.因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值,所以各小長方形高的比也就是頻率比.(3)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)頻率分布的兩種形式,前者準確,后者直觀.4.如何進行回歸分析?(1)定義:對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中(x-,y-)稱為樣本點的中心.(3)相關(guān)系數(shù)當r0時,表明兩個變量正相關(guān);當r0,-+.(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)曲線位于x軸上方,與x軸不相交,與x軸之間的面積為1;曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=對稱;曲線在x=處達到峰值12;當一定時,曲線的形狀由確定,越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P(-X+)=0.6826;P(-2X+2)=0.9544;P(-3P2B.P1100,D正確.故選C.答案C13.(2017全國卷理T3)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是().A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)解析對于選項A,由圖易知,月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份,故A錯誤;對于選項B,觀察折線圖的變化趨勢可知,年接待游客量逐年增加,故B正確;對于選項C,D,由圖可知顯然正確.答案A(八)考查離散型隨機變量分布列、超幾何分布、條件概率、正態(tài)分布、數(shù)學期望與方差,求離散型隨機變量的數(shù)學期望是全國卷高考重點考查的內(nèi)容,在選擇題、填空題中有時會出現(xiàn).主要考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、正態(tài)分布等.14.(2018全國卷理T8改編)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立,設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),D(X)=2.1,P(X=4)P(X=6),則p=().A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3解析因為XB(n,p),所以D(X)=np(1-p)=2.1,所以p=0.3或p=0.7.因為P(X=4)=C104p4(1-p)6P(X=6)=C106p6(1-p)4,所以(1-p)20.5.故p=0.7.答案A15.(2017全國卷理T13改編)一批產(chǎn)品的二等品率為0.08,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)=.解析有放回地抽取,是一個二項分布模型,其中p=0.08,n=100,則D(X)=np(1-p)=1000.080.92=7.36.答案7.36二、解答題的命題特點概率與統(tǒng)計綜合試題的題干閱讀量大,容易造成考生在數(shù)學模型轉(zhuǎn)化過程中失誤,得分率不高.這些試題主要考查古典概型,用樣本估計總體,利用回歸方程進行預測,獨立性檢驗的應用,離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望,正態(tài)分布等.概率、隨機變量的數(shù)學期望交匯命題,高考對此類題目的要求是能根據(jù)給出的或通過統(tǒng)計圖表給出的相關(guān)數(shù)據(jù)求線性回歸方程.1.(2018全國卷理T18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線圖.為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,17)建立模型:y=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,7)建立模型:y=99+17.5t.(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值.(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由.解析(1)利用模型,從2000年開始算起,2018年即t=19,所以該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值為y=-30.4+13.519=226.1(億元).利用模型,從2010年開始算起,2018年即t=9,所以該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預測值為y=99+17.59=256.5(億元).(2)利用模型得到的預測值更可靠.理由如下:(i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型得到的預測值更可靠.(ii)從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型得到的預測值的增幅比較合理,說明利用模型得到的預測值更可靠.2.(2018全國卷,理T20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求E(X).(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗?解析(1)由題意可知,獨立重復試驗符合二項分布,20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)C=202p2(1-p)18=190p2(1-p)18,對上式求導得f(p)=190p2(1-p)18=1902p(1-p)18-18p2(1-p)17=190p(1-p)172(1-p)-18p=380p(1-p)17(1-10p).當f(p)=0時,有p(1-p)17(1-10p)=0,由0p0,f(p)單調(diào)遞增;當p110,1時,f(p)400,所以需要對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗.3.(2018全國卷理T18)某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說明理由.(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解析(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下:(i)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多79分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(ii)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(iii)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間高于80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間低于80分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(iv)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.(2)由莖葉圖知m=79+812=80.列聯(lián)表如下:超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)因為K2的觀測值k=40(1515-55)220202020=106.635,所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.4.(2017全國卷理T19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件數(shù),求P(X1)及X的數(shù)學期望.(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性.(ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x-=116i=116xi=9.97,s=116i=116(xi-x-)2=116(i=116xi2-16x-2)0.212,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,16.用樣本平均數(shù)x-作為的估計值,用樣本標準差s作為的估計值,利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查?剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計和(精確到0.01).附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(,2),則P(-3Z+3)=0.9974,0.9974160.9592,0.0080.09.解析(1)由題可知抽取的一個零件的尺寸落在(-3,+3)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸落在(-3,+3)之外的概率為0.0026,故XB(16,0.0026).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.9974161-0.9592=0.0408,X的數(shù)學期望E(X)=160.0026=0.0416.(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小,因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.(ii)由x-=9.97,s0.212,得的估計值為=9.97,的估計值為=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為115(169.97-9.22)=10.02,因此的估計值為10.02.i=116xi2=160.2122+169.9721591.134,剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為115(1591.134-9.222-1510.022)0.008,因此的估計值為0.0080.09.1.樣本數(shù)據(jù)(1)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量,平均數(shù)是最重要的量,與每個樣本數(shù)據(jù)有關(guān),這是中位數(shù)、眾數(shù)所不具有的性質(zhì).(2)標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度就越大.(3)莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用圖表直觀描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律的.2.頻率分布直方圖(1)用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想,而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計總體則是用樣本的頻率分布去估計總體分布的兩種主要方法.頻率分布表在數(shù)量表示上比較準確,頻率分布直方圖比較直觀.(2)頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組中的頻率之和等于1;在頻率分布直方圖中,各小長方形的面積表示相應各組的頻率,所以所有小長方形的面積的和等于1;平均數(shù)是頻率分布直方圖各個小矩形的面積底邊中點的橫坐標之和.3.排列與組合(1)解決“在”與“不在”的有限制條件的排列問題,既可以從元素入手,也可以從位置入手,原則是誰“特殊”誰優(yōu)先.不管是從元素考慮還是從位置考慮,都要貫徹到底,不能既考慮元素又考慮位置.解決相鄰問題的方法是“捆綁法”,即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起排列,同時要注意捆綁元素的內(nèi)部排列.解決不相鄰問題的方法是“插空法”,即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中.對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列.若某些問題從正面考慮比較復雜,可從其反面入手,即采用“間接法”.(2)組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出元素中“含”或“不含”某些元素,或者“至少”或“最多”含有幾個元素:“含有”或“不含有”某些元素的組合題型.“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中去選取.“至少”或“最多”含有幾個元素的題型.考慮逆向思維,用間接法處理.(3)分組分配問題是排列、組合問題的綜合運用,解決這類問題的一個基本指導思想就是先分組后分配.關(guān)于分組問題,有整體均分、部分均分和不等分三種,無論分成幾組,都應注意只要有一些組中元素的個數(shù)相等,就存在均分現(xiàn)象.4.隨機變量的均值與方差一般計算步驟:(1)理解X的意義,寫出X的所有可能取的值.(2)求X取各個值的概率,寫出分布列.(3)根據(jù)分布列,由均值的定義求出均值E(X),進一步由公式D(X)=i=1n(xi-E(X)2pi=E(X2)-(E(X)2求出D(X).(4)以特殊分布(兩點分布、二項分布、超幾何分布)為背景的均值與方差的計算:先根據(jù)隨機變量的特點判斷出隨機變量服從什么特殊分布;可以根據(jù)特殊分布的概率公式列出分布列,根據(jù)計算公式計算出均值和方差,也可以直接應用離散型隨機變量服從特殊分布時的均值與方差公式來計算,若X=a+b不服從特殊分布,但服從特殊分布,可利用有關(guān)性質(zhì)及E(),D()公式求均值和方差.