2018-2019學年高中數學 第四章 導數應用 4.2.1 實際問題中導數的意義作業(yè) 北師大版選修1 -1.doc

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4.2.1 實際問題中導數的意義 [基礎達標] 1.做直線運動的物體，從時刻t到t＋Δt時，物體的位移為Δs，那么 為(　　) A．從時刻t到t＋Δt時，物體的平均速度 B．該物體在t時刻的瞬時速度 C．Δt時刻時，該物體的速度 D．從時刻t到t＋Δt時，位移的平均變化率 解析：選B. 表示運動的物體在t時刻位移的導數，也即該時刻的瞬時速度． 2.自由落體的運動公式是s＝gt2(g為重力加速度)，則物體在下落3 s到4 s之間的平均變化率是(取g＝10 m/s2)(　　) A．30 B．32 C．35 D．40 解析：選C.v＝＝＝g＝35. 3.李華在參加一次同學聚會時，他用如圖所示的圓口杯喝飲料，李華想：如果向杯子中倒飲料的速度一定(即單位時間內倒入的飲料量相同)，那么杯子中飲料的高度h是關于時間t的函數h(t)，則函數h(t)的圖像可能是(　　) 解析：選B.由于圓口杯的形狀是“下細上粗”，則開始階段飲料的高度增加較快，以后高度增加得越來越慢，僅有B符合． 4.國際環(huán)保局在規(guī)定的排污達標的日期前，對甲、乙兩家企業(yè)進行檢查，其連續(xù)檢測結果如圖，(其中W1、W2分別表示甲、乙的排污量)． 下列說法正確的是(　　) A．甲企業(yè)治污效果好 B．乙企業(yè)治污效果好 C．甲、乙兩企業(yè)治污效果相同 D．無法判定 解析：選A.由圖可知甲企業(yè)治污快，效果好． 5.細桿AB的長為20 cm，M為細桿AB上的一點，AM段的質量與A到M的距離的平方成正比，當AM＝2 cm時，AM的質量為8 g，那么當AM＝x cm時，M處的細桿線密度ρ(x)為(　　) A．2x B．3x C．4x D．5x 解析：選C.當AM＝x cm時，設AM的質量為f(x)＝kx2，因為f(2)＝8，所以k＝2，即f(x)＝2x2，故細桿線密度ρ(x)＝f′(x)＝4x，故選C. 6.人體血液中藥物的質量濃度c＝f(t)(單位：mg/mL)隨時間t(單位：min)變化，若f′(2)＝0.3，則f′(2)表示________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案：服藥2 min時血液中藥物的質量濃度以每分鐘0.3 mg/mL的速度增加 7.將1 kg鐵從0 ℃加熱到t ℃需要的熱量為Q(單位：J)：Q(t)＝0.000 297t2＋0.440 9t. (1)當t從10變到20時函數值Q關于t的平均變化率是________，它的實際意義是________________________________________________________________________． (2)Q′(100)＝________，它的實際意義是________________________________________________________________________． 解析：(1)當t從10變到20時，函數值Q關于t的平均變化率為≈0.449 8，它表示在鐵塊的溫度從10 ℃增加到20 ℃的過程中，平均每增加1 ℃，需要吸收熱量約為0.449 8 J. (2)Q′(t)＝0.000 594t＋0.440 9，則Q′(100)＝0.500 3，它表示在鐵塊的溫度為100 ℃這一時刻每增加1 ℃，需要吸收熱量0.500 3 J. 答案：(1)0.449 8　它表示在鐵塊的溫度從10 ℃增加到20 ℃的過程中，平均每增加1 ℃，需要吸收熱量約為0.449 8 J (2)0.500 3　它表示在鐵塊的溫度為100 ℃這一時刻每增加1 ℃，需要吸收熱量0.500 3 J 8.已知氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)，將半徑r表示為體積V的函數，有r(V)＝，則當空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率為________． 解析：∵r(V1)－r(V2)＝－ ＝ . ∴平均膨脹率為： ＝. 答案： 9.水以20 m3/min的速度流入一圓錐形容器，設容器深30 m，上底面直徑為12 m，試求當水深為10 m時，水面上升的速度． 解：設經過t min后水深為H，則此時水面半徑為. 由等體積知，20t＝πH. ∴H(t)＝5，H′(t)＝t－. ∴水深10 m時水面上升的速度為H′(10)＝(m/min)． 10.路燈距地平面為8 m，一個身高為1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上行走，從路燈在地面上的射影點C出發(fā)，沿某直線離開路燈，求人影長度的變化速度v. 解：如圖所示，路燈距地面的距離為DC＝8 m，人的身高為EB＝1.6 m. 設人從C處運動到B處的路程CB為x m，時間為t s，AB為人影長度，設為y m. ∵BE∥CD，∴＝. ∴＝，∴y＝x. 又∵84 m/min＝1.4 m/s， ∴y＝x＝t(x＝1.4t)． ∴y′＝，即人影長度的變化速度v為 m/s. [能力提升] 1. 如圖所示，設有定圓C和定點O，當l從l0開始在平面上繞O勻速旋轉(旋轉角度不超過90)時，它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數，則函數的圖像大致是(　　) 解析：選D.由于是勻速旋轉，所以陰影部分的面積在開始和最后時段緩慢增加，而中間時段相對增速較快． 選項A表示面積的增速是常數，與實際不符； 選項B表示最后時段面積的增速較快，與實際不符； 選項C表示開始時段和最后時段面積的增速比中間時段面積的增速快，也與實際不符； 選項D表示開始和最后時段面積的增速緩慢，中間時段增速較快，符合實際． 2.將半徑為R的球加熱，若半徑從R＝1到R＝m(m>1)時球的體積膨脹率為，則m的值為________． 解析：ΔV＝m3－13＝(m3－1)，∴＝＝π.∴m2＋m＋1＝7.∴m＝2或m＝－3(舍)． 答案：2 3.設生產某種產品的總成本函數c(萬元)與產量q(萬件)之間的函數關系為c(q)＝100＋4q－0.2q2＋0.01q3.求生產水平為q＝10萬元時的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看繼續(xù)提高產量是否合算？ 解：當q＝10時，總成本c(10)＝100＋410－0.2102＋0.01103＝100＋40－20＋10＝130(萬元)． 平均成本13010＝13(元/件)， 邊際成本c′(q)＝4－0.4q＋0.03q2， ∴c′(10)＝4－0.410＋0.03102＝4－4＋3＝3(元/件)． 因此在生產水平為10萬元時每增產一個產品，總成本增加3元，比當前的平均成本13元低，從降低成本角度看，應繼續(xù)提高產量． 4．學習曲線是1936年美國康乃爾大學T.P.Wright博士在飛機制造過程中，通過對大量有關資料、案例的觀察、分析、研究，首次發(fā)現并提出來的．已知某類學習任務的學習曲線為：f(t)＝100%(f(t)為該學習任務已掌握的程度，t為學習時間)，且這類學習任務中的某項任務滿足f(2)＝60%. (1)求f(t)的表達式，計算f(0)并說明f(0)的含義； (2)已知2x>xln 2對任意x>0恒成立，現定義為該類學習任務在t時刻的學習效率指數．研究表明，當學習時間t∈(1，2)時，學習效率最佳，則當學習效率最佳時，求學習效率指數相應的取值范圍． 解：(1)∵f(t)＝100%(t為學習時間)，且f(2)＝60%，∴100%＝60%，解得a＝4. ∴f(t)＝100%＝100%(t≥0)， ∴f(0)＝100%＝37.5%，f(0)表示某項學習任務在開始學習時已掌握的程度為37.5%. (2)令學習效率指數＝y，則y＝＝＝(t>0)．現研究函數g(t)＝t＋的單調性，由于g′(t)＝(t>0)，又已知2x>xln 2對任意x>0恒成立，即2t－tln 2>0對任意t>0恒成立，則g′(t)>0恒成立，∴g(t)在(0，＋∞)上為增函數，且g(t)為正數． ∴y＝＝在(0，＋∞)上為減函數，而y＝＝，即當t∈(1，2)時，y＝∈(，)，故所求學習效率指數的取值范圍是(，)．