2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)9 雙曲線的幾何性質(zhì) 蘇教版必修4.doc

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課時(shí)分層作業(yè)(九)　雙曲線的幾何性質(zhì) (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、填空題 1．設(shè)雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為(－，0)，(，0)，一個(gè)頂點(diǎn)是(1,0)，則C的方程為_(kāi)_______． [解析]　由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上， 且c＝，a＝1，則b2＝c2－a2＝1， 所以雙曲線C的方程為x2－y2＝1. [答案]　x2－y2＝1 2．雙曲線的漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______． [解析]　e＝＝， 當(dāng)＝時(shí)，e＝；當(dāng)＝時(shí)，e＝. [答案]　或 3．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則m的值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392085】 [解析]　方程可化為y2－＝1. 由條件知2＝22，解得m＝－. [答案]?。? 4．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______． [解析]　由2a＋2c＝4b，得a＋c＝2b＝2，即a2＋2ac＋c2＝4c2－4a2，得5a2＋2ac－3c2＝0，(5a－3c)(a＋c)＝0，即5a＝3c，e＝＝. [答案]　 5．已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，且焦距與虛軸長(zhǎng)之比為5∶4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． [解析]　雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)，則焦點(diǎn)在x軸上，且a＝3，焦距與虛軸長(zhǎng)之比為5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1. [答案]?。? 6．已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為_(kāi)_______． [解析]　由題意知e1＝，e2＝， ∴e1e2＝＝＝. 又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2， ∴＝＝1－，即1－＝， 解得＝，∴＝. 令－＝0，解得bxay＝0，∴xy＝0. [答案]　xy＝0 7．雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則C的焦距等于________． [解析]　雙曲線的一條漸近線方程為－＝0，即bx－ay＝0，焦點(diǎn)(c,0)到該漸近線的距離為＝＝，故b＝，結(jié)合＝2，c2＝a2＋b2得c＝2，則雙曲線C的焦距為2c＝4. [答案]　4 8．y＝kx＋2與雙曲線－＝1右支交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392086】 [解析]　由消去y得(1－4k2)x2－16kx－25＝0， ∴∴－0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|的長(zhǎng)為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______． 圖232 [解析]　連接AF1(圖略)， ∵|F1F2|＝2c，且△AF2B為等邊三角形， 又|OF1|＝|OA|＝|OF2|，∴△AF1F2為直角三角形， 又∵∠AF2F1＝60＝30， ∴|AF2|＝c，|AF1|＝c. 由雙曲線的定義知c－c＝2a，∴e＝＝＝＋1. [答案]?。? 2．過(guò)雙曲線C：－＝1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的方程為_(kāi)_______． [解析]　由直線方程x＝a和漸近線方程y＝x聯(lián)立解得A(a，b)．由以C的右焦點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，可得c＝4，即右焦點(diǎn)F(4,0)．由該圓過(guò)A點(diǎn)，可得|FA|2＝(a－4)2＋b2＝a2＋b2－8a＋16＝c2－8a＋16＝c2，所以8a＝16，則a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12. 故雙曲線C的方程為－＝1. [答案]?。? 3．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，則AP＋AF2的最小值為_(kāi)_______． [解析]　首先根據(jù)定義，得AF2＝AF1－2a. ∵AP＋AF2＝AP＋AF1－2a＝AP＋AF1－2， ∴要求AP＋AF2的最小值，只需求AP＋AF1的最小值．由圖可知， 當(dāng)F1，A，P三點(diǎn)共線時(shí)，AP＋AF1＝PF1取得最小值，最小值為，∴AP＋AF2的最小值為－2. [答案]?。? 4．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1的左，右焦點(diǎn). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392088】 (1)若雙曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為10，求點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離； (2)若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且PF1PF2＝32.試求△F1PF2的面積． [解]　由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程－＝1可知a＝3，b＝4，c＝＝5. (1)由雙曲線的定義，得|PF2－PF1|＝2a＝6，則|PF2－10|＝6，解得PF2＝4或PF2＝16. (2)由P在雙曲線左支上得PF2－PF1＝6，兩邊平方得 PF＋PF－2PF1PF2＝36，∴PF＋PF＝36＋2PF1PF2＝36＋232＝100，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0， ∴∠F1PF2＝90，∴S＝PF1PF2＝32＝16.