2019-2020年高三數(shù)學 知識點精析精練18 直線與圓錐曲線.doc

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2019-2020年高三數(shù)學 知識點精析精練18 直線與圓錐曲線【復習要點】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.1.直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結合的思想方法.2.當直線與圓錐曲線相交時：涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“差分法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化.同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍.【例題】【例1】 已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程.解：設橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)0,即m+nmn0,由OPOQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,+1=0,m+n=2又22,將m+n=2,代入得mn=由、式得m=,n=或m=,n=故橢圓方程為+y2=1或x2+y2=1.【例2】 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求AMN面積最大時直線l的方程，并求AMN的最大面積.解：由題意，可設l的方程為y=x+m,5m0.由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0直線l與拋物線有兩個不同交點M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4.點A到直線l的距離為d=.S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128.S8,當且僅當22m=5+m,即m=1時取等號.故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8.【例3】 已知雙曲線C：2x2y2=2與點P(1，2)。(1)求過P(1，2)點的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個交點，兩個交點，沒有交點。(2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點的弦是否存在.解：(1)當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=1,與曲線C有一個交點.當l的斜率存在時，設直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0(*)()當2k2=0,即k=時，方程(*)有一個根，l與C有一個交點()當2k20,即k時=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當=0,即32k=0,k=時，方程(*)有一個實根，l與C有一個交點.當0,即k,又k,故當k或k或k時，方程(*)有兩不等實根，l與C有兩個交點.當0，即k時，方程(*)無解，l與C無交點.綜上知：當k=,或k=，或k不存在時，l與C只有一個交點；當k,或k,或k時，l與C有兩個交點；當k時，l與C沒有交點.(2)假設以Q為中點的弦存在，設為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線斜率為,結合圖形知直線AB與C無交點，所以假設不正確，即以Q為中點的弦不存在.【例4】 如圖，已知某橢圓的焦點是F1(4，0)、F2(4，0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F1B|+|F2B|=10，橢圓上不同的兩點A(x1,y1),C(x2,y2)滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標；(3)設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m，求m的取值范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故橢圓方程為=1.(2)由點B(4,yB)在橢圓上，得|F2B|=|yB|=.因為橢圓右準線方程為x=,離心率為，根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列，得(x1)+(x2)=2,由此得出：x1+x2=8.設弦AC的中點為P(x0,y0),則x0=4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在橢圓上.得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2)將 (k0)代入上式，得94+25y0()=0(k0)即k=y0(當k=0時也成立).由點P(4，y0)在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由點P(4，y0)在線段BB(B與B關于x軸對稱)的內(nèi)部，得y0,所以m.解法二：因為弦AC的中點為P(4,y0)，所以直線AC的方程為yy0=(x4)(k0)將代入橢圓方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0所以x1+x2=8,解得k=y0.(當k=0時也成立)(以下同解法一).【例5】 已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓相切過點作斜率為的直線，使得和交于兩點，和軸交于點，并且點在線段上，又滿足（1）求雙曲線的漸近線的方程；（2）求雙曲線的方程；（3）橢圓的中心在原點，它的短軸是的實軸如果中垂直于的平行弦的中點的軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，求橢圓的方程解：（1）設雙曲線的漸近線的方程為：，則由漸近線與圓相切可得：所以，雙曲線的漸近線的方程為：（2）由（1）可設雙曲線的方程為：把直線的方程代入雙曲線方程，整理得則 （） ，共線且在線段上， ，即：，整理得：將（）代入上式可解得：所以，雙曲線的方程為（3）由題可設橢圓的方程為：下面我們來求出中垂直于的平行弦中點的軌跡設弦的兩個端點分別為，的中點為，則兩式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中點的軌跡為直線截在橢圓S內(nèi)的部分又由題，這個軌跡恰好是的漸近線截在內(nèi)的部分，所以，所以，橢圓S的方程為：點評：解決直線與圓錐曲線的問題時，把直線投影到坐標軸上（也即化線段的關系為橫坐標（或縱坐標）之間的關系）是常用的簡化問題的手段；有關弦中點的問題，常常用到“設而不求”的方法；判別式和韋達定理是解決直線與圓錐曲線問題的常用工具）【例6】 設拋物線過定點，且以直線為準線（1）求拋物線頂點的軌跡的方程；（2）若直線與軌跡交于不同的兩點，且線段恰被直線平分，設弦MN的垂直平分線的方程為，試求的取值范圍解：（1）設拋物線的頂點為，則其焦點為由拋物線的定義可知：所以，所以，拋物線頂點的軌跡的方程為： （2）因為是弦MN的垂直平分線與y軸交點的縱坐標，由MN所唯一確定所以，要求的取值范圍，還應該從直線與軌跡相交入手顯然，直線與坐標軸不可能平行，所以，設直線的方程為，代入橢圓方程得：由于與軌跡交于不同的兩點，所以，即：（）又線段恰被直線平分，所以，所以，代入（）可解得：下面，只需找到與的關系，即可求出的取值范圍由于為弦MN的垂直平分線，故可考慮弦MN的中點在中，令，可解得：將點代入，可得：所以，從以上解題過程來看，求的取值范圍，主要有兩個關鍵步驟：一是尋求與其它參數(shù)之間的關系，二是構造一個有關參量的不等式從這兩點出發(fā)，我們可以得到下面的另一種解法：解法二設弦MN的中點為，則由點為橢圓上的點，可知：兩式相減得：BB又由于，代入上式得：又點在弦MN的垂直平分線上，所以，所以，由點在線段BB上（B、B為直線與橢圓的交點，如圖），所以，也即：所以，點評：解決直線和圓錐曲線的位置關系問題時，對于消元后的一元二次方程，必須討論二次項系數(shù)和判別式，有時借助圖形的幾何性質(zhì)更為方便涉及弦中點問題，利用韋達定理或運用平方差法時（設而不求），必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法從構造不等式的角度來說，“將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立所得判別式大于0”與“弦MN的中點在橢圓內(nèi)”是等價的【例7】 設拋物線的焦點為F，經(jīng)過點F的直線與拋物線交于A、B兩點又M是其準線上一點試證：直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列證明依題意直線MA、MB、MF的斜率顯然存在，并分別設為，點A、B、M的坐標分別為A（，），B（，），M（，m）由“AB過點F（，0）”得： 將上式代入拋物線中得：可知又依“及”可知因此而 故即直線MA、MF、MB的斜率成等差數(shù)列【例8】 已知=(x,0)，=(1，y)(1)求點P(x，y)的軌跡C的方程；(2)若直線：y=kx+m(km0)與曲線C交于A、B兩端，D(0，1),且有|AD|=|BD|，試求m的取值范圍。解：（1） =0 得P點的軌跡方程為（2）考慮方程組 消去y，得(13k2)x26kmx3m23=0(*)顯然13k20 =（6km）24(3m23)=12(m2+1)3k20設x1,x2為方程*的兩根，則 故AB中點M的坐標為(，)線段AB的垂直平分線方程為：將D(0，1)坐標代入，化簡得：4m=3k21故m、k滿足，消去k2得：m24m0解得：m4又4m=3k211 m故m.【直線與圓錐曲線練習】一、選擇題1斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為( )A.2B. C.D. 2拋物線y=ax2與直線y=kx+b(k0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標分別為x1,x2,直線與x軸交點的橫坐標是x3,則恒有( )A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空題3已知兩點M(1，)、N(4，)，給出下列曲線方程：4x+2y1=0,x2+y2=3,+y2=1,y2=1,在曲線上存在點P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程是_.4正方形ABCD的邊AB在直線y=x+4上，C、D兩點在拋物線y2=x上，則正方形ABCD的面積為_.5在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點(2，1)且在此點被平分的弦所在直線的方程是_.三、解答題6已知拋物線y2=2px(p0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求NAB面積的最大值.7已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6).(1)求雙曲線方程.(2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問：是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結論.8已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都以點A(，0)為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點A1與A點關于直線y=x對稱.(1)求雙曲線C的方程.(2)設直線l過點A，斜率為k,當0k1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時B點的坐標.直線與圓錐曲線參考答案一、1.解析：弦長|AB|=.答案：C2.解析：解方程組,得ax2kxb=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入驗證即可.答案：B二、3.解析：點P在線段MN的垂直平分線上，判斷MN的垂直平分線于所給曲線是否存在交點.答案：4.解析：設C、D所在直線方程為y=x+b,代入y2=x,利用弦長公式可求出|CD|的長，利用|CD|的長等于兩平行直線y=x+4與y=x+b間的距離，求出b的值，再代入求出|CD|的長.答案：18或505.解析：設所求直線與y2=16x相交于點A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2).即kAB=8.故所求直線方程為y=8x15.答案：8xy15=0三、6.解：(1)設直線l的方程為：y=xa,代入拋物線方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)設A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點 C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p.線段AB的垂直平分線的方程為yp=(xap),從而N點坐標為(a+2p,0）點N到AB的距離為從而SNAB=當a有最大值時，S有最大值為p2.7.解：(1)如圖，設雙曲線方程為=1.由已知得,解得a2=9,b2=12.所以所求雙曲線方程為=1.(2)P、A1、A2的坐標依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標為(2，2）假設存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設M(x1,y1)，N(x2,y2).則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0.=164280,所求直線l不存在.8.解：(1)設雙曲線的漸近線為y=kx,由d=1,解得k=1.即漸近線為y=x,又點A關于y=x對稱點的坐標為(0，).a=b,所求雙曲線C的方程為x2y2=2.(2)設直線l：y=k(x)(0k1,依題意B點在平行的直線l上，且l與l間的距離為.設直線l：y=kx+m,應有,化簡得m2+2km=2.把l代入雙曲線方程得(k21)x2+2mkx+m22=0,由=4m2k24(k21)(m22)=0.可得m2+2k2=2、兩式相減得k=m,代入得m2=,解設m=,k=,此時x=,y=.故B(2,).