2018高中數(shù)學 初高中銜接讀本 專題5.1 解直角三角形高效演練學案.doc

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第1講 解直角三角形 三角形是最重要的基本平面圖形，它包含了豐富的知識，也蘊含了深刻的思想，很多較復雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系，因而扎實掌握三角形的相關知識是進一步學習的基礎。 【知識梳理】 知識點1. 三角形及其性質 （1）由不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形，稱為三角形； （2）三角形的內角和是180，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和； （3）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊． 知識點2. 解直角三角形 在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c. (1)三邊之間的關系：a2＋b2＝c2； (2)兩個銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90； (3)邊角之間的關系：sin A＝，cos A＝，tan A＝； sin B＝，cos B＝，tan B＝. （4）三角函數(shù)值之間的關系 ①同角三角函數(shù)之間的關系：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝. ②互余兩角的三角函數(shù)關系：若∠A＋∠B＝90，則sin A＝cos B或sin B＝cos A. （5）特殊銳角的三角函數(shù)值 α sin α cos α tan α 30 45 1 60 直角三角形是一種特殊的三角形，因為有勾股定理及銳角三角函數(shù)的運用，使它的邊角關系更加豐富，同時也為高中學習解三角形和三角函數(shù)，提供了很好的階梯。 【高效演練】 1. 在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cosB的值為(　　) A. B. C. D. 【解析】分析：根據(jù)格點的特征及勾股定理結合余弦的定義即可求得結果. 由圖可得，故選B. 【答案】B 2.如圖，已知l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角△ABC的三個頂點分別在這三條平行直線上，則sin α的值是(　 ) A. B. C. D. 【答案】D 【解題反思】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，代入邊的長度求出三角函數(shù)值，最好用數(shù)形結合的思想畫出圖形幫助分析求解決此類問題的關鍵是將所求的角放在直角三角形中，并求出直角三角形的邊長. 3. 如圖，AB是電線桿BC的一根拉線，測得BC＝6米，∠ABC＝42，則拉線AB的長為(　　) A. 6cos42米 B. 米 C. 米 D. 米 【解析】分析：首先根據(jù)電線桿一定與地面垂直可知△ABC是直角三角形，然后再根據(jù)cos∠ABC＝，代入相關數(shù)值即可得出結論. 在Rt△ABC中，BC=6，∠ABC=42， ∴cos∠ABC=， 即cos42=， ∴AB= m. 故選：D. 【答案】D 4．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，則tan C等于(　　) A. B. C. D. 【解析】：如圖所示， 連結BD.由三角形中位線定理，得BD＝2EF＝22＝4. 又∵BC＝5，CD＝3，∴CD2＋BD2＝BC2， ∴△BDC是直角三角形且∠BDC＝90， ∴tan C＝＝.故選B. 【答案】B 5．在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝2BC，現(xiàn)給出下列結論：①sinA＝；②cos B＝；③tan A＝；④tanB＝，其中正確的結論是 (只需填上正確結論的序號)． 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝2BC，∴∠A＝30，∠B＝60， ∴sin A＝，cos B＝，tan A＝，tan B＝，故②③④正確． 【答案】②③④ 6．如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點B恰好落在邊AD的F處，如果＝，那么tan∠DCF的值 是 ； 7． 如圖，在小山的東側A點有一個熱氣球，由于受西風的影響，以30米/分的速度沿與地面成75角的方向飛行，25分鐘后到達C處，此時熱氣球上的人測得小山西側B點的俯角為30，則小山東西兩側A，B兩點間的距離為 米． 【解析】：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D， 在Rt△ACD中，∠ACD＝75－30＝45，AC＝3025＝750(米)， ∴AD＝ACsin 45＝375(米)． 在Rt△ABD中，∵∠B＝30，∴AB＝2AD＝750(米)． 【答案】750 8. 如圖所示，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連結CD，若AD＝3，AC＝2，則cosB的值為________． 【解析】分析：根據(jù)圓周角定理的推論，得∠B=∠D．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠ACD=90．在直角三角形ACD中，根據(jù)勾股定理，得CD=，則cosD==，由同弧所對的圓周角相等即可求得cosB的值． 解：∵AD是⊙O的直徑， ∴∠ACD=90. ∵AD=3，AC=2， ∴CD=. ∴cosD== ∴cosB=，故答案為：. 【答案】 【解題反思】：本題考查了圓周角定理：再同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑，也考查了勾股定理和銳角三角函數(shù).. 9. 如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥AC交AB于點E.若BC＝4，△AOE的面積為5，則sin∠BOE的值為________． 【解析】如圖，過點O作OH⊥AE于點H，連接CE。 ∵矩形ABCD中，AO=BO，AB⊥BC，BC=4， ∴由三角形的中位線定理，得OH=2。 ∵△AOE的面積為5，∴AE=5。 ∵AO=OC，OE⊥AC，即EO是AC的垂直平分線，∴CE= AE=5。 在Rt△EBC中，BC=4，CE="5," 由勾股定理得EB=3。 ∵OE⊥AC，AB⊥BC，即∠EBC=∠EOC=900， ∴點O，C，B，E在以CE為直徑的圓上，∴∠BOE=∠BCE。 ∴sin∠BOE=sin∠BCE=。 【答案】 10. 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠B＝90，AB＝5，點E在AB上，∠AED＝45，DE＝6，CE＝7. 求（1）AE的長； （2）sin∠BCE的值． 【解析】分析：已知Rt△DAE中，∠AED=45，DE=6，利用∠AED的余弦，即可求出AE的長度；由圖形中的隱含條件BE=AB-AE可求出BE的長，接下來在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義，即可得到sin∠BCE的值. 11．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C＝45，sin B＝，AD＝1. (1)求BC的長； (2)求tan∠DAE的值． 【解析】 (1)在△ABC中，∵AD是BC邊上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90.在△ADC中， ∵∠ADC＝90，∠C＝45，AD＝1， ∴DC＝AD＝1.在△ADB中， ∵∠ADB＝90，sin B＝，AD＝1， ∴AB＝＝3，∴BD＝＝2， ∴BC＝BD＋DC＝2＋1. (2)∵AE是BC邊上的中線， ∴CE＝BC＝＋， ∴DE＝CE－CD＝－， ∴tan∠DAE＝＝－. 12． 如圖是某地下商業(yè)街的入口，數(shù)學課外興趣小組的同學打算運用所學的知識測量側面支架的最高點E到地面的距離EF.經(jīng)測量，支架的立柱BC與地面垂直，即∠BCA＝90，且BC＝1.5 m，點F，A，C在同一條水平線上， 斜桿AB與水平線AC的夾角∠BAC＝30，支撐桿DE⊥AB于點D，該支架的邊BE與AB的夾角∠EBD＝60，又測得AD＝1 m．請你求出該支架的邊BE及頂端E到地面的距離EF的長度． 【解析】如圖，過點B作BH⊥EF于點H，∴四邊形BCFH為矩形，BC＝HF＝1.5 m， ∠HBA＝∠BAC＝30. 在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30，BC＝1.5 m，∴AB＝3 m．∵AD＝1 m， ∴BD＝2 m．在Rt△EDB中，∵∠EBD＝60，∴∠BED＝90－60＝30，∴EB＝2BD＝22＝4(m)．又∵∠HBA＝∠BAC＝30， ∴∠EBH＝∠EBD－∠HBD＝30， ∴EH＝EB＝2(m)， ∴EF＝EH＋HF＝2＋1.5＝3.5(m)． 答：該支架的邊BE為4 m，頂端E到地面的距離EF的長度為3.5 m.