2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題5.1 解直角三角形高效演練學(xué)案.doc

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第1講 解直角三角形 三角形是最重要的基本平面圖形，它包含了豐富的知識(shí)，也蘊(yùn)含了深刻的思想，很多較復(fù)雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系，因而扎實(shí)掌握三角形的相關(guān)知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。 【知識(shí)梳理】 知識(shí)點(diǎn)1. 三角形及其性質(zhì) （1）由不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形，稱為三角形； （2）三角形的內(nèi)角和是180，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； （3）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊． 知識(shí)點(diǎn)2. 解直角三角形 在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c. (1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2； (2)兩個(gè)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90； (3)邊角之間的關(guān)系：sin A＝，cos A＝，tan A＝； sin B＝，cos B＝，tan B＝. （4）三角函數(shù)值之間的關(guān)系 ①同角三角函數(shù)之間的關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝. ②互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：若∠A＋∠B＝90，則sin A＝cos B或sin B＝cos A. （5）特殊銳角的三角函數(shù)值 α sin α cos α tan α 30 45 1 60 直角三角形是一種特殊的三角形，因?yàn)橛泄垂啥ɡ砑颁J角三角函數(shù)的運(yùn)用，使它的邊角關(guān)系更加豐富，同時(shí)也為高中學(xué)習(xí)解三角形和三角函數(shù)，提供了很好的階梯。 【高效演練】 1. 在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位置如圖所示，則cosB的值為(　　) A. B. C. D. 【解析】分析：根據(jù)格點(diǎn)的特征及勾股定理結(jié)合余弦的定義即可求得結(jié)果. 由圖可得，故選B. 【答案】B 2.如圖，已知l1∥l2∥l3，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在這三條平行直線上，則sin α的值是(　 ) A. B. C. D. 【答案】D 【解題反思】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，代入邊的長度求出三角函數(shù)值，最好用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形幫助分析求解決此類問題的關(guān)鍵是將所求的角放在直角三角形中，并求出直角三角形的邊長. 3. 如圖，AB是電線桿BC的一根拉線，測得BC＝6米，∠ABC＝42，則拉線AB的長為(　　) A. 6cos42米 B. 米 C. 米 D. 米 【解析】分析：首先根據(jù)電線桿一定與地面垂直可知△ABC是直角三角形，然后再根據(jù)cos∠ABC＝，代入相關(guān)數(shù)值即可得出結(jié)論. 在Rt△ABC中，BC=6，∠ABC=42， ∴cos∠ABC=， 即cos42=， ∴AB= m. 故選：D. 【答案】D 4．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，則tan C等于(　　) A. B. C. D. 【解析】：如圖所示， 連結(jié)BD.由三角形中位線定理，得BD＝2EF＝22＝4. 又∵BC＝5，CD＝3，∴CD2＋BD2＝BC2， ∴△BDC是直角三角形且∠BDC＝90， ∴tan C＝＝.故選B. 【答案】B 5．在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝2BC，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①sinA＝；②cos B＝；③tan A＝；④tanB＝，其中正確的結(jié)論是 (只需填上正確結(jié)論的序號(hào))． 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝2BC，∴∠A＝30，∠B＝60， ∴sin A＝，cos B＝，tan A＝，tan B＝，故②③④正確． 【答案】②③④ 6．如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊AD的F處，如果＝，那么tan∠DCF的值 是 ； 7． 如圖，在小山的東側(cè)A點(diǎn)有一個(gè)熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30米/分的速度沿與地面成75角的方向飛行，25分鐘后到達(dá)C處，此時(shí)熱氣球上的人測得小山西側(cè)B點(diǎn)的俯角為30，則小山東西兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離為 米． 【解析】：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D， 在Rt△ACD中，∠ACD＝75－30＝45，AC＝3025＝750(米)， ∴AD＝ACsin 45＝375(米)． 在Rt△ABD中，∵∠B＝30，∴AB＝2AD＝750(米)． 【答案】750 8. 如圖所示，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連結(jié)CD，若AD＝3，AC＝2，則cosB的值為________． 【解析】分析：根據(jù)圓周角定理的推論，得∠B=∠D．根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得∠ACD=90．在直角三角形ACD中，根據(jù)勾股定理，得CD=，則cosD==，由同弧所對(duì)的圓周角相等即可求得cosB的值． 解：∵AD是⊙O的直徑， ∴∠ACD=90. ∵AD=3，AC=2， ∴CD=. ∴cosD== ∴cosB=，故答案為：. 【答案】 【解題反思】：本題考查了圓周角定理：再同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑，也考查了勾股定理和銳角三角函數(shù).. 9. 如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AB于點(diǎn)E.若BC＝4，△AOE的面積為5，則sin∠BOE的值為________． 【解析】如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AE于點(diǎn)H，連接CE。 ∵矩形ABCD中，AO=BO，AB⊥BC，BC=4， ∴由三角形的中位線定理，得OH=2。 ∵△AOE的面積為5，∴AE=5。 ∵AO=OC，OE⊥AC，即EO是AC的垂直平分線，∴CE= AE=5。 在Rt△EBC中，BC=4，CE="5," 由勾股定理得EB=3。 ∵OE⊥AC，AB⊥BC，即∠EBC=∠EOC=900， ∴點(diǎn)O，C，B，E在以CE為直徑的圓上，∴∠BOE=∠BCE。 ∴sin∠BOE=sin∠BCE=。 【答案】 10. 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠B＝90，AB＝5，點(diǎn)E在AB上，∠AED＝45，DE＝6，CE＝7. 求（1）AE的長； （2）sin∠BCE的值． 【解析】分析：已知Rt△DAE中，∠AED=45，DE=6，利用∠AED的余弦，即可求出AE的長度；由圖形中的隱含條件BE=AB-AE可求出BE的長，接下來在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)的定義，即可得到sin∠BCE的值. 11．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C＝45，sin B＝，AD＝1. (1)求BC的長； (2)求tan∠DAE的值． 【解析】 (1)在△ABC中，∵AD是BC邊上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90.在△ADC中， ∵∠ADC＝90，∠C＝45，AD＝1， ∴DC＝AD＝1.在△ADB中， ∵∠ADB＝90，sin B＝，AD＝1， ∴AB＝＝3，∴BD＝＝2， ∴BC＝BD＋DC＝2＋1. (2)∵AE是BC邊上的中線， ∴CE＝BC＝＋， ∴DE＝CE－CD＝－， ∴tan∠DAE＝＝－. 12． 如圖是某地下商業(yè)街的入口，數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)打算運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)測量側(cè)面支架的最高點(diǎn)E到地面的距離EF.經(jīng)測量，支架的立柱BC與地面垂直，即∠BCA＝90，且BC＝1.5 m，點(diǎn)F，A，C在同一條水平線上， 斜桿AB與水平線AC的夾角∠BAC＝30，支撐桿DE⊥AB于點(diǎn)D，該支架的邊BE與AB的夾角∠EBD＝60，又測得AD＝1 m．請(qǐng)你求出該支架的邊BE及頂端E到地面的距離EF的長度． 【解析】如圖，過點(diǎn)B作BH⊥EF于點(diǎn)H，∴四邊形BCFH為矩形，BC＝HF＝1.5 m， ∠HBA＝∠BAC＝30. 在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30，BC＝1.5 m，∴AB＝3 m．∵AD＝1 m， ∴BD＝2 m．在Rt△EDB中，∵∠EBD＝60，∴∠BED＝90－60＝30，∴EB＝2BD＝22＝4(m)．又∵∠HBA＝∠BAC＝30， ∴∠EBH＝∠EBD－∠HBD＝30， ∴EH＝EB＝2(m)， ∴EF＝EH＋HF＝2＋1.5＝3.5(m)． 答：該支架的邊BE為4 m，頂端E到地面的距離EF的長度為3.5 m.