2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 理.doc

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xx-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試卷 理 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知集合，，則( ) A. B. C. D. 2.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，表示復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則( ) A. B. C. D. 3.如圖所示的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2，寬為1，在長(zhǎng)方形內(nèi)撒一把豆子(豆子大小忽略不計(jì))，然后統(tǒng)計(jì)知豆子的總數(shù)為粒，其中落在飛鳥圖案中的豆子有粒，據(jù)此請(qǐng)你估計(jì)圖中飛鳥圖案的面積約為( ) A. B. C. D. 4. 按照程序框圖(如右圖)執(zhí)行，第4個(gè)輸出的數(shù)是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5.設(shè)，若，則( ) A. B. C. D. 6．在三棱柱中，若，，，則　　 A． B． C． D． 7.已知三棱錐中，與是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為( ) A. B. C. D. 8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖(其中表示等于除以10的余數(shù))，則輸出的為( ) A.2 B.4 C.6 D.8 9.某幾何體是由一個(gè)三棱柱和一個(gè)三棱錐構(gòu)成的，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ) A. B. C. D. 10.已知雙曲線，是左焦點(diǎn)，，是右支上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是( ) A.4 B.6 C.8 D.16 11.已知，，且.若恒成立，則的取值范圍為（ ） A． B． C. D． 12.已知且，若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的最小值是( ) A. B. C. D. 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13.正三角形的邊長(zhǎng)為1，是其重心，則 . 14.14.命題“當(dāng)時(shí)，若，則.”的逆命題是 ． 15.已知橢圓，和是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓半徑為1，，，則橢圓離心率為 . 16.如圖，在三棱錐，為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為 ． 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 18.為創(chuàng)建國(guó)家級(jí)文明城市，某城市號(hào)召出租車司機(jī)在高考期間至少參加一次“愛心送考”，該城市某出租車公司共200名司機(jī)，他們參加“愛心送考”的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示. (1)求該出租車公司的司機(jī)參加“愛心送考”的人均次數(shù)； (2)從這200名司機(jī)中任選兩人，設(shè)這兩人參加送考次數(shù)之差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 19.（12分）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)P（1,2），且在處取得極值 （1）求的值； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）求函數(shù)在上的最值 20.已知點(diǎn)在拋物線上，是拋物線上異于的兩點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn). (1)證明：直線過定點(diǎn)； (2)過點(diǎn)作直線的垂線，求垂足的軌跡方程. 21.（本大題滿分12分） 如圖，在五面體中，棱底面，.底面是菱形，. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求二面角的余弦值. 22.（本大題滿分12分） 已知橢圓過點(diǎn),且離心率 （I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （II）是否存在過點(diǎn)的直線交橢圓與不同的兩點(diǎn),且滿足 (其中為坐標(biāo)原點(diǎn))。若存在,求出直線的方程；若不存在,請(qǐng)說明理由。 23.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為中點(diǎn)．（1）求證：平面； （2）求異面直線與所成角的余弦值； （3）求點(diǎn)到平面的距離． 1-5:CABDB 6-10:BDDAC 11、12：CA 13. 14.當(dāng)時(shí)，若，則 15. 16. 17.解：(1)由題意得，所以， 時(shí)，，公差，所以，時(shí)，，公差，所以. (2)若數(shù)列為遞增數(shù)列，則，所以，，， 所以 ， ， 所以 ，所以. 18.解：由圖可知，參加送考次數(shù)為1次，2次，3次的司機(jī)人數(shù)分別為20，100，80. (1)該出租車公司司機(jī)參加送考的人均次數(shù)為： . (2)從該公司任選兩名司機(jī)，記“這兩人中一人參加1次，另一個(gè)參加2次送考”為事件，“這兩人中一人參加2次，另一人參加3次送考”為事件，“這兩人中一人參加1次，另一人參加3次送考”為事件，“這兩人參加次數(shù)相同”為事件. 則，， . 的分布列： 0 1 2 的數(shù)學(xué)期望. 19. （12分）【解析】 （1）∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)P（1,2）， （1分） 又∵函數(shù)在處取得極值， 因 解得， （3分） 經(jīng)檢驗(yàn)是的極值點(diǎn) （4分） （2）由（1）得， 令＞0，得＜-3或＞， 令＜0，得-3＜＜， （6分） 所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， 單調(diào)減區(qū)間為 （8分） （3）由（2）知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù) 所以在上的最小值為， （10分） 又 所以在上的最大值為 所以，函數(shù)在上的最小值為，最大值為 （12分） 20.解：(1)點(diǎn)在拋物線上，代入得，所以拋物線的方程為， 由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，， 聯(lián)立得，得，， 由于，所以，即， 即.(*) 又因?yàn)?，? 代入(*)式得，即， 所以或，即或. 當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過定點(diǎn)，經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)，符合題意； 當(dāng)時(shí)，直線方程為，恒過定點(diǎn)，不合題意， 所以直線恒過定點(diǎn). (2)由(1)，設(shè)直線恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓且去掉，方程為. 21.解：（Ⅰ）在菱形中，， ∵，，∴. 又，面，∴. （Ⅱ）作的中點(diǎn)，則由題意知， ∵，∴. 如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則，，，， ∴，，. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則由，，得， 令，則，，即， 同理，設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 由，，得， 令，則，，即， ∴，即二面角的余弦值為. 22.（1）∵橢圓過點(diǎn),且離心率 解得, ∴橢圓的方程為 （2）假設(shè)存在過點(diǎn)的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn),且滿足 若直線的斜率不存在,且直線過點(diǎn),則直線即為軸所在直線 ∴直線與橢圓的兩不同交點(diǎn)就是橢圓短軸的端點(diǎn), ∴直線的斜率必存在,不妨設(shè)為, ∴可設(shè)直線的方程為,即 聯(lián)立,消得, ∵直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) 得: 或① 設(shè), 又, 化簡(jiǎn)得, 或,經(jīng)檢驗(yàn)均滿足①式 ∴直線的方程為: 或 ∴存在直線或滿足題意 23.解：（1）在中，為中點(diǎn)，所以． 又側(cè)面底面，平面平面，平面， 所以平面． （4分） （2）連結(jié)，在直角梯形中，, ，有且，所以四邊形是平行四邊形，所以． 由（1）知，為銳角，所以是異面直線與所成的角． 因?yàn)?，在中?，，所以， 在中，因?yàn)椋?，所以? 在中，，， 所以異面直線與所成的角的余弦值為 （8分） （3）由（2）得，在中，， 所以，．又 設(shè)點(diǎn)到平面的距離，由 得，即，解得． （12分）