特征值與特征向量ppt課件

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第5章特征值與特征向量 5 1矩陣特征值與特征向量 5 2相似矩陣 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 考研園地 下頁 5 1矩陣特征值與特征向量 1 矩陣的特征值與特征向量的定義 2 矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì) 本章 上頁 下頁 5 1矩陣特征值與特征向量 1 矩陣的特征值與特征向量的定義 定義1 設(shè)A為n階方陣 是一個(gè)數(shù) 若存在非零列向量x 使得 則稱 是A的一個(gè)特征值 非零列向量x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 是一個(gè)關(guān)于 的n次多項(xiàng)式 記作f 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 定義2 是一個(gè)未知量 則矩陣 E A稱為A的 特征矩陣 其行列式 稱為A的特征多項(xiàng)式 稱為的特征方程 其根即為A的特征值 又稱為特征根 設(shè)n階矩陣A特征方程 的n個(gè)特征根為 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 定義3 是階方陣 則 A的跡 記作tr A 為方陣的一個(gè)特征值 則由方程 可求得非零解 特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 例1 求矩陣 解 5 1矩陣特征值與特征向量 的特征值與特征向量 對(duì)應(yīng)的全部特征向量為 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 對(duì)應(yīng)的全部特征向量為 上頁 下頁 本節(jié) 例2 求矩陣 解 5 1矩陣特征值與特征向量 的特征值與特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 對(duì)應(yīng)的全部特征向量為 對(duì)應(yīng)的全部特征向量為 上頁 下頁 本節(jié) 例3 求矩陣 解 5 1矩陣特征值與特征向量 的特征值與特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 對(duì)應(yīng)的全部特征向量為 對(duì)應(yīng)的全部特征向量為 上頁 下頁 本節(jié) 例4 求n階數(shù)量矩陣 解 5 1矩陣特征值與特征向量 的特征值與特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 因此任意個(gè)線性無關(guān)的向量都是它的基礎(chǔ)解系 取單位坐標(biāo)向量 作為基礎(chǔ)解系 則矩陣A的全部特征向量為 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 2 矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)A是n階方陣 則A與A 有相同的特征值 證 A與A 有相同的特征多項(xiàng)式 因而有相同的特征值 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 性質(zhì)2 n階方陣A可逆的充分必要條件是的任意一個(gè)特征值 證 若A可逆 則 若A的任意一個(gè)特征值都不等于零 即 都不等于零 設(shè)n階方陣A的n個(gè)特征根為 從而A可逆 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 性質(zhì)3 設(shè)A是n階可逆陣 是A的特征值 則 證 A可逆 是方陣A的特征值 存在非零向量x 使 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 性質(zhì)4 設(shè)A是n階可逆陣 是A的特征值 則 證 是方陣A的特征值 存在非零向量x 使 其中k是一個(gè)非負(fù)整數(shù) 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 性質(zhì)5 設(shè) 證 是階矩陣 若 有一個(gè)成立 則矩陣的所有特征值 的模小于1 即 設(shè) 為A的任意一個(gè)特征值 其對(duì)應(yīng)的特征向量為x 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 對(duì)矩陣A 的所有特征值 定理成立 A與A 有相同的特征值 對(duì)A的所有特征值 定理成立 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 性質(zhì)6 設(shè) 證 是方陣A的s個(gè)互不相同的特征值 依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量 則 線性無關(guān) 用數(shù)學(xué)歸納法證明 特征向量不為零 因此定理成立 設(shè)s 1時(shí) 定理成立 即方陣A的s 1個(gè)不相同的特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量 線性無關(guān) 下面證對(duì)于A的s個(gè)不相同的特征值 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 對(duì)應(yīng)的特征向量 線性無關(guān) 1 2 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 線性無關(guān) 線性無關(guān) 上頁 下頁 本節(jié) 5 1矩陣特征值與特征向量 性質(zhì)7 設(shè) 是方陣A的s個(gè)互不相同的特征值 A的對(duì)應(yīng)于 i的線性無關(guān)的特征向量為 則向量組 線性無關(guān) 上頁 下頁 本節(jié) 例5 設(shè) 1和 2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值 對(duì)應(yīng)的特征向 解 5 1矩陣特征值與特征向量 量依次為 證明 不是A的特征向量 反證法 是A的特征向量 則應(yīng)存在數(shù) 使 矛盾 上頁 下頁 本節(jié) 5 2相似矩陣 定義1 設(shè)A B為n階矩陣 若存在n階可逆矩陣P 使得 則稱矩陣A與B相似 記作 相似變換矩陣 本章 上頁 下頁 例1 設(shè) 5 2相似矩陣 則P可逆 且有 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 相似具有以下性質(zhì) 1 反身性 設(shè)A是n階方陣 則 證 2 對(duì)稱性 3 傳遞性 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 定理1 設(shè)為n階矩陣A與B相似 則 1 A與B有相同的特征多項(xiàng)式 從而有相同的特征值 2 A與B有相同的跡 3 A與B有相同的行列式 4 A與B的秩相等 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 1 存在n階可逆矩陣P 使得 證 故A與B有相同的特征多項(xiàng)式 從而有相同的特征值 A與B有相同的特征值 2 一個(gè)方陣的跡等于它的所有特征值的和 A與B有相同的跡 3 取行列式 本章 上頁 下頁 例如 5 2相似矩陣 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 定理2 設(shè)為n階矩陣A與B相似 則 1 A與B有相同的可逆性 2 若A與B可逆 則 3 若m為正整數(shù) 則 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 1 證 同時(shí)為零或不為零 2 即A與B或都可逆 或都不可逆 且都可逆 則存在可逆矩陣P 使得 定理1 本章 上頁 下頁 例2 設(shè) 5 2相似矩陣 則P Q都可逆 且 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 定理3 n階矩陣A與n階對(duì)角矩陣 相似的充分必要條件是矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 必要性 證 若n階矩陣A與階對(duì)角矩陣 相似 則存在可逆矩陣P使 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 是P的列向量組 則 都是非零向量 都是A的特征向量 且這n個(gè)特征向量線性無關(guān) 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 充分性 是A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 它們所對(duì)應(yīng) 的特征值依次為 線性無關(guān) 可逆 且 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 推論 若n階矩陣A有n個(gè)相異的特征值 則A與對(duì)角矩陣 相似 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 注意 A有n個(gè)相異特征值只是A與對(duì)角矩陣相似的充分條件 而非必要條件 定義2 若n階方陣A與對(duì)角矩陣相似 則稱矩陣A可以對(duì)角化 例3 則P可逆 且 本章 上頁 下頁 例4 5 2相似矩陣 對(duì)應(yīng)的特征向量為 則P可逆 且 本章 上頁 下頁 5 2相似矩陣 定理4 n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是對(duì)于每 例如 因此 矩陣A不能對(duì)角化 本章 上頁 下頁 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 1 向量的內(nèi)積 2 正交向量組 3 正交矩陣 本章 上頁 下頁 4 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 1 向量的內(nèi)積 的夾角的余弦為 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 定義1 稱為向量 的內(nèi)積 記作 都是列向量時(shí) 有 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 內(nèi)積有下列性質(zhì) 1 對(duì)稱性 2 線性性 3 非負(fù)性 上頁 下頁 本節(jié) 對(duì)于 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 定理1 柯西 許瓦茨不等式 中的任意兩個(gè)向量 證 其中等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng) 先證不等式成立 定理顯然成立 對(duì)任意實(shí)數(shù)t 有 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 再證等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng) 存在k 使得 即對(duì)任意實(shí)數(shù)k 反之 若 矛盾 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 定義2 向量的長(zhǎng)度具有下列性質(zhì) 1 非負(fù)性 2 齊次性 3 三角不等式 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 證 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量 單位化 定義3 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 2 正交向量組 定義4 記作 零向量與任意一個(gè)向量都正交 上頁 下頁 本節(jié) 例1 中求與這兩個(gè)向量都正交 解 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 的單位向量 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 定義5 則稱該組向量為正交向量組 則稱該組向量為正交單位向量組 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 定理2 證 同理可證 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 定義6 V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 坐標(biāo)的計(jì)算公式 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 施密特 Schimidt 正交化方法 正交化 單位化 上頁 下頁 本節(jié) 例2 解 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 設(shè)線性無關(guān)的向量組 試將這組向量標(biāo)準(zhǔn)正交化 施密特正交化方法 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 3 正交矩陣 定義7 則稱為正交矩陣 簡(jiǎn)稱正交陣 正交矩陣具有下述性質(zhì) 1 若Q為正交矩陣 則其行列式的值為1或 1 即 2 若Q為正交矩陣 則Q可逆 且 3 若P Q都是正交矩陣 則PQ也是正交矩陣 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 定理3 證 其列 行 向量組是正交單位向量組 設(shè)Q為n階實(shí)矩陣 則Q為正交矩陣的充分必要條件是 Q為正交矩陣 上頁 下頁 本節(jié) 例3 解 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 驗(yàn)證下面的矩陣是正交矩陣 Q的每個(gè)列向量都是單位向量 且兩兩正交 所以Q是正交矩陣 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 4 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值與特征向量 定理4 實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù) 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣 是A的特征值 x是A對(duì)應(yīng)于 證 的特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 定理5 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣 是A的兩個(gè)不同的特征值 分別是對(duì)應(yīng)的特征向量 證 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 定理6 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣 則存在正交矩陣Q 使 為對(duì)角矩陣 例4 設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣 求一個(gè)正交矩陣Q 使 為對(duì)角矩陣 解 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 正交化 令 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 例5 解 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 A為實(shí)對(duì)稱矩陣 A可對(duì)角化 即存在可逆矩陣Q及對(duì)角矩陣 使 上頁 下頁 本節(jié) 5 3實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量 上頁 下頁 本節(jié) 特征值與特征向量問題 例1 解 考研園地 設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣 P是n階可逆矩陣 已知n維列向量 向量是 A為實(shí)對(duì)稱矩陣 本章 上頁 下頁 例2 設(shè)n階矩陣 1 求A的特征值和特征向量 2 求可逆矩陣P 使得 解 1 觀察矩陣 可知 本章 上頁 下頁 若設(shè)B的列向量為 矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值 k為任意非零常數(shù) 本章 上頁 下頁 A對(duì)應(yīng)于特征值 的全部特征向量為 A的特征值 任意n維非零列向量均為特征向量 本章 上頁 下頁 A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 對(duì)任意可逆矩陣P 均有 本章 上頁 下頁 例3 設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣 且滿足條件 的秩 已知A 解 求A的全部特征值 設(shè) 是矩陣A的任一特征值 是對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量 A是實(shí)對(duì)稱矩陣 必可對(duì)角化 且 本章 上頁 下頁