高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 第二講 數(shù)形結(jié)合思想課件.ppt

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專(zhuān)題一 第二講 思想方法概述 應(yīng)用角度例析 通法歸納領(lǐng)悟 專(zhuān)題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 角度一 角度二 角度三 1 數(shù)形結(jié)合的含義 1 數(shù)形結(jié)合 就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法 數(shù)形結(jié)合思想通過(guò) 以形助數(shù) 以數(shù)輔形 使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化 抽象問(wèn)題具體化 能夠變抽象思維為形象思維 有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì) 它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合 2 數(shù)形結(jié)合包含 以形助數(shù) 和 以數(shù)輔形 兩個(gè)方面 其應(yīng)用大致可以分為兩種情形 一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)形之間的聯(lián)系 即以形作為手段 數(shù)作為目的 比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì) 二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性 即以數(shù)作為手段 形作為目的 如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì) 2 數(shù)形結(jié)合的途徑 1 通過(guò)坐標(biāo)系 形題數(shù)解 借助于直角坐標(biāo)系 復(fù)平面 可以將幾何問(wèn)題代數(shù)化 這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分 在高考中主要也是以解析幾何作為知識(shí)載體來(lái)考查的 值得強(qiáng)調(diào)的是 形題數(shù)解 時(shí) 通過(guò)輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧 這是因?yàn)槿枪降氖褂?可以大大縮短代數(shù)推理 實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合 常與以下內(nèi)容有關(guān) 實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系 曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系 以幾何元素和幾何條件為背景 建立起來(lái)的概念 如復(fù)數(shù) 三角函數(shù)等 所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義 如等式 x 2 2 y 1 2 4 表示坐標(biāo)平面內(nèi)以 2 1 為圓心 以2為半徑的圓 2 通過(guò)轉(zhuǎn)化構(gòu)造 數(shù)題形解 許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著相應(yīng)的幾何意義 據(jù)此 可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化 例如 將a a 0 與距離互化 將a2與面積互化 將a2 b2 ab a2 b2 2 a b cos 60 或 120 與余弦定理溝通 將a b c 0且b c a中的a b c與三角形的三邊溝通 將有序?qū)崝?shù)對(duì) 或復(fù)數(shù) 和點(diǎn)溝通 將二元一次方程與直線 將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對(duì)應(yīng)等等 這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個(gè)圖形 平面的或立體的 另外 函數(shù)的圖像也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一 正是基于此 函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常相互滲透 演繹出解題捷徑 利用數(shù)形結(jié)合討論方程的解或圖像交點(diǎn) 圖1 圖2 答案 1 B 2 0 1 1 4 1 討論方程的解 或函數(shù)的零點(diǎn) 可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù) 使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題 但用此法討論方程的解一定要注意圖像的準(zhǔn)確性 全面性 否則會(huì)得到錯(cuò)解 2 正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖像是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵 數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準(zhǔn)為原則而采用 不要刻意去數(shù)形結(jié)合 解析 選依題意得 函數(shù)f x 是以2為周期的函數(shù) 在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)y f x 與函數(shù)y g x 的圖像 結(jié)合圖像得 當(dāng)x 5 5 時(shí) 它們的圖像的公共點(diǎn)共有8個(gè) 即函數(shù)h x f x g x 在區(qū)間 5 5 內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是8 C 利用數(shù)形結(jié)合解不等式或求參數(shù)問(wèn)題 解析 1 在同一坐標(biāo)系中 分別作出y log2 x y x 1的圖像 由圖可知 x的取值范圍是 1 0 解含參數(shù)的不等式時(shí) 由于涉及到參數(shù) 往往需要討論 導(dǎo)致運(yùn)算過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng) 如果題設(shè)與幾何圖形有聯(lián)系 那么利用數(shù)形結(jié)合的方法 問(wèn)題將會(huì)順利地得到解決 2 當(dāng)x 1 2 時(shí) 不等式 x 1 2 logax恒成立 則a的取值范圍為 A 2 3 B 4 C 1 2 D 2 4 解析 選設(shè)y1 x 1 2 y2 logax 則y1的圖像為如右圖所示的拋物線 要使對(duì)一切x 1 2 y11 并且只需當(dāng)x 2時(shí) logax 1 所以a 2 所以1 a 2 C 答案 6 3 2012 安徽高考 若函數(shù)f x 2x a 的單調(diào)遞增區(qū)間是 3 則a 利用數(shù)形結(jié)合求最值 思路點(diǎn)撥 1 根據(jù)a b 0 可化簡(jiǎn) a c b c a b c 1 可根據(jù)向量加法的幾何意義作圖 利用向量a b與c的位置關(guān)系尋找問(wèn)題的結(jié)論 2 分式形式的函數(shù)的最值問(wèn)題常考慮構(gòu)造斜率模型求解 常常是過(guò)一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的直線斜率 答案 1 D 2 D 1 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化 1 集合的運(yùn)算及韋恩圖 2 函數(shù)及其圖像 3 數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖像 4 方程 多指二元方程 及方程的曲線 5 對(duì)于研究距離 角或面積的問(wèn)題 直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可 6 對(duì)于研究函數(shù) 方程或不等式 最值 的問(wèn)題 可通過(guò)函數(shù)的圖像求解 函數(shù)的零點(diǎn) 頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn) 做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用 2 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問(wèn)題時(shí) 應(yīng)把握以下三個(gè)原則 1 等價(jià)性原則 在數(shù)形結(jié)合時(shí) 代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的 否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞 有時(shí) 由于圖形的局限性 不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性 這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明 但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo) 2 雙向性原則 在數(shù)形結(jié)合時(shí) 既要進(jìn)行幾何直觀的分析 又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索 兩方面相輔相成 僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析 或僅對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)分析 在許多時(shí)候是很難行得通的 例如 在解析幾何中 我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題 但是在許多時(shí)候 若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征 將會(huì)使得復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化 3 簡(jiǎn)單性原則 就是找到解題思路之后 至于用幾何方法還是用代數(shù)方法或者兼用兩種方法來(lái)敘述解題過(guò)程 則取決于哪種方法更為簡(jiǎn)單 而不是去刻意追求代數(shù)問(wèn)題運(yùn)用幾何方法 幾何問(wèn)題運(yùn)用代數(shù)方法