鄭忠喜量子力學(xué)課件.ppt

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QuantumMechanics QuantumMechanics 電話 13503503927 E mail zbdx 目錄 第一章量子力學(xué)的誕生 第二章波函數(shù)和Schrodinger方程 第三章一維定態(tài)問題 第四章量子力學(xué)中的力學(xué)量 第五章態(tài)和力學(xué)量表象 第六章近似方法 第七章量子躍遷 第八章自旋與全同粒子 1一維無限深勢阱 求解S 方程分四步 1 列出各勢域的一維S 方程 2 解方程 3 使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 4 定歸一化系數(shù) 第三章一維定態(tài)問題 1 列出各勢域的S 方程 方程可簡化為 3 使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件 1 2 2 1 兩種情況 討論 狀態(tài)不存在 描寫同一狀態(tài) 所以n只取正整數(shù) 即 于是 或 于是波函數(shù) 類似I中關(guān)于n m的討論可知 綜合I II結(jié)果 最后得 能量最低的態(tài)稱為基態(tài) 其上為第一激發(fā)態(tài) 第二激發(fā)態(tài)依次類推 由此可見 對于一維無限深方勢阱 粒子束縛于有限空間范圍 在無限遠處 0 這樣的狀態(tài) 稱為束縛態(tài) 一維有限運動能量本征值是分立能級 組成分立譜 作業(yè) 周世勛 量子力學(xué)教程 第二章2 3 2 4 2 8 一 引言 1 何謂諧振子 量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子 在經(jīng)典力學(xué)中 當(dāng)質(zhì)量為 的粒子 受彈性力F kx作用 由牛頓第二定律可以寫出運動方程為 其解為x Asin t 這種運動稱為簡諧振動 作這種運動的粒子叫諧振子 若取V0 0 即平衡位置處于勢V 0點 則 2線性諧振子 2 為什么研究線性諧振子 自然界廣泛碰到簡諧振動 任何體系在平衡位置附近的小振動 例如分子振動 晶格振動 原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動 簡諧振動往往還作為復(fù)雜運動的初步近似 所以簡諧振動的研究 無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的 例如雙原子分子 兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數(shù) 如圖所示 在x a處 V有一極小值V0 在x a附近勢可以展開成泰勒級數(shù) 取新坐標(biāo)原點為 a V0 則勢可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢的形式 可見 一些復(fù)雜的勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動來近似描述 1 方程的建立 線性諧振子的Hamilton量 則Schrodinger方程可寫為 為簡單計 引入無量綱變量 代替x 二 線性諧振子 2 求解 為求解方程 我們先看一下它的漸近解 即當(dāng) 時波函數(shù) 的行為 在此情況下 2 于是方程變?yōu)?其解為 exp 2 2 1 漸近解 欲驗證解的正確性 可將其代回方程 波函數(shù)有限性條件 當(dāng) 時 應(yīng)有c2 0 因整個波函數(shù)尚未歸一化 所以c1可以令其等于1 最后漸近波函數(shù)為 2 1 其中H 必須滿足波函數(shù)的單值 有限 連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件 即 當(dāng) 有限時 H 有限 當(dāng) 時 H 的行為要保證 0 將 表達式代入方程得關(guān)于待求函數(shù)H 所滿足的方程 2 H 滿足的方程 3 級數(shù)解 我們以級數(shù)形式來求解 為此令 該式對任意 都成立 故 同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零 即 bk 2 k 2 k 1 bk2k bk 1 0從而導(dǎo)出系數(shù)bk的遞推公式 為了滿足波函數(shù)有限性要求 冪級數(shù)H 必須從某一項截斷變成一個多項式 換言之 要求H 從某一項 比如第n項 起以后各項的系數(shù)均為零 即bn 0 bn 2 0 代入遞推關(guān)系 得 3 厄密多項式 厄密多項式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系 可導(dǎo)出厄密多項式的遞推關(guān)系 應(yīng)用實例 例 已知H0 1 H1 2 則根據(jù)上述遞推關(guān)系得出 H2 2 H1 2nH0 4 2 2 下面給出前幾個厄密多項式具體表達式 H0 1H2 4 2 2H4 16 4 48 2 12H1 2 H3 8 3 12 H5 32 5 160 3 120 基于厄密多項式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù) x 的遞推關(guān)系 4 討論 1 對應(yīng)一個諧振子能級只有一個本征函數(shù) 即一個狀態(tài) 所以能級是非簡并的 值得注意的是 基態(tài)能量E0 1 2 0 稱為零點能 這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的 是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn) 能量為零的 靜止的 波是沒有意義的 零點能是量子效應(yīng) 2 波函數(shù) 以基態(tài)為例 在經(jīng)典情形下 粒子將被限制在 x 1范圍中運動 這是因為振子在這一點 x 1 處 其勢能V x 1 2 2x2 1 2 E0 即勢能等于總能量 動能為零 粒子被限制在阱內(nèi) 然而 量子情況與此不同對于基態(tài) 其幾率密度是 0 0 2 N02exp 2 分析上式可知 一方面表明在 0處找到粒子的幾率最大 另一方面 在 1處 即在阱外找到粒子的幾率不為零 與經(jīng)典情況完全不同 分析波函數(shù)可知量子力學(xué)的諧振子波函數(shù) n有n個節(jié)點 在節(jié)點處找到粒子的幾率為零 而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在 a a 區(qū)間每一點上都能找到粒子 沒有節(jié)點 3 幾率分布 作業(yè) 周世勛 量子力學(xué)教程 2 5曾謹言3 8 3 9 3 12 3一維勢散射問題 一 引言 二 方程求解 三 討論 四 應(yīng)用實例 一 引言 勢壘穿透是粒子入射被勢壘散射的一維運動問題 典型勢壘是方勢壘 其定義如下 現(xiàn)在的問題是已知粒子以能量E沿x正向入射 二 方程求解 1 E V0情況 因為E 0 E V0 所以k1 0 k2 0 上面的方程可改寫為 上述三個區(qū)域的Schrodinger方程可寫為 定態(tài)波函數(shù) 1 2 3分別乘以含時因子exp iEt 即可看出 式中第一項是沿x正向傳播的平面波 第二項是沿x負向傳播的平面波 由于在x a的III區(qū)沒有反射波 所以C 0 于是解為 利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件來定系數(shù) 首先 解單值 有限條件滿足 1 波函數(shù)連續(xù) 綜合整理記之 2 波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù) 波函數(shù)意義 3 求解線性方程組 4 透射系數(shù)和反射系數(shù) 求解方程組得 為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率 定義透射系數(shù)和反射系數(shù) I透射系數(shù) 透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為透射系數(shù)D JD JI II反射系數(shù) 反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為反射系數(shù)R JR JI 其物理意義是 描述貫穿到x a的III區(qū)中的粒子在單位時間內(nèi)流過垂直x方向的單位面積的數(shù)目與入射粒子 在x 0的I區(qū) 在單位時間內(nèi)流過垂直于x方向單位面積的數(shù)目之比 下面求D和R 幾率流密度矢量 對一維定態(tài)問題 J與時間無關(guān) 所以入射波 Aexp ik1x A exp ik1x 對透射波 Cexp ik1x 所以透射波幾率流密度 反射波 A exp ik1x 所以反射波幾率流密度 其中負號表示與入射波方向相反 則入射波幾率流密度 于是透射系數(shù)為 由以上二式顯然有D R 1 說明入射粒子一部分貫穿勢壘到x a的III區(qū) 另一部分則被勢壘反射回來 同理得反射系數(shù) 2 E V0情況 故可令 k2 ik3 其中k3 2 V0 E 1 2 這樣把前面公式中的k2換成ik3并注意到 sinhik3a isinhk3a 即使E V0 在一般情況下 透射系數(shù)D并不等于零 入射波 反射波 透射波 因k2 2 E V0 1 2 當(dāng)E V0時 k2是虛數(shù) 隧道效應(yīng) tunneleffect 粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象 它是粒子具有波動性的生動表現(xiàn) 當(dāng)然 這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著 下圖給出了勢壘穿透的波動圖象 三 討論 1 當(dāng)k3a 1時 故4可略 透射系數(shù)則變?yōu)?粗略估計 認為k1 k3 相當(dāng)于E V0 2 則D0 4是一常數(shù) 下面通過實例來說明透射系數(shù)的量級大小 于是 例1 入射粒子為電子 設(shè)E 1eV V0 2eV a 2 10 8cm 2 算得D 0 51 若a 5 10 8cm 5 則D 0 024 可見透射系數(shù)迅速減小 質(zhì)子與電子質(zhì)量比 p e 1840 對于a 2 則D 2 10 38 可見透射系數(shù)明顯的依賴于粒子的質(zhì)量和勢壘的寬度 量子力學(xué)提出后 Gamow首先用勢壘穿透成功的說明了放射性元素的 衰變現(xiàn)象 例2 入射粒子換成質(zhì)子 2 任意形狀的勢壘 則x1 x2貫穿勢壘V x 的透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢壘透射系數(shù)之積 即 此式的推導(dǎo)是不太嚴格的 但該式與嚴格推導(dǎo)的結(jié)果一致 對每一小方勢壘透射系數(shù) 可把任意形狀的勢壘分割成許多小勢壘 這些小勢壘可以近似用方勢壘處理