鄭忠喜量子力學(xué)課件.ppt

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QuantumMechanics QuantumMechanics 電話 13503503927 E mail zbdx 目錄 第一章量子力學(xué)的誕生 第二章波函數(shù)和Schrodinger方程 第三章一維定態(tài)問題 第四章量子力學(xué)中的力學(xué)量 第五章態(tài)和力學(xué)量表象 第六章近似方法 第七章量子躍遷 第八章自旋與全同粒子 1一維無限深勢阱 求解S 方程分四步 1 列出各勢域的一維S 方程 2 解方程 3 使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 4 定歸一化系數(shù) 第三章一維定態(tài)問題 1 列出各勢域的S 方程 方程可簡化為 3 使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件 1 2 2 1 兩種情況 討論 狀態(tài)不存在 描寫同一狀態(tài) 所以n只取正整數(shù) 即 于是 或 于是波函數(shù) 類似I中關(guān)于n m的討論可知 綜合I II結(jié)果 最后得 能量最低的態(tài)稱為基態(tài) 其上為第一激發(fā)態(tài) 第二激發(fā)態(tài)依次類推 由此可見 對于一維無限深方勢阱 粒子束縛于有限空間范圍 在無限遠(yuǎn)處 0 這樣的狀態(tài) 稱為束縛態(tài) 一維有限運(yùn)動能量本征值是分立能級 組成分立譜 作業(yè) 周世勛 量子力學(xué)教程 第二章2 3 2 4 2 8 一 引言 1 何謂諧振子 量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運(yùn)動的粒子 在經(jīng)典力學(xué)中 當(dāng)質(zhì)量為 的粒子 受彈性力F kx作用 由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動方程為 其解為x Asin t 這種運(yùn)動稱為簡諧振動 作這種運(yùn)動的粒子叫諧振子 若取V0 0 即平衡位置處于勢V 0點(diǎn) 則 2線性諧振子 2 為什么研究線性諧振子 自然界廣泛碰到簡諧振動 任何體系在平衡位置附近的小振動 例如分子振動 晶格振動 原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡諧振動 簡諧振動往往還作為復(fù)雜運(yùn)動的初步近似 所以簡諧振動的研究 無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的 例如雙原子分子 兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數(shù) 如圖所示 在x a處 V有一極小值V0 在x a附近勢可以展開成泰勒級數(shù) 取新坐標(biāo)原點(diǎn)為 a V0 則勢可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢的形式 可見 一些復(fù)雜的勢場下粒子的運(yùn)動往往可以用線性諧振動來近似描述 1 方程的建立 線性諧振子的Hamilton量 則Schrodinger方程可寫為 為簡單計 引入無量綱變量 代替x 二 線性諧振子 2 求解 為求解方程 我們先看一下它的漸近解 即當(dāng) 時波函數(shù) 的行為 在此情況下 2 于是方程變?yōu)?其解為 exp 2 2 1 漸近解 欲驗證解的正確性 可將其代回方程 波函數(shù)有限性條件 當(dāng) 時 應(yīng)有c2 0 因整個波函數(shù)尚未歸一化 所以c1可以令其等于1 最后漸近波函數(shù)為 2 1 其中H 必須滿足波函數(shù)的單值 有限 連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件 即 當(dāng) 有限時 H 有限 當(dāng) 時 H 的行為要保證 0 將 表達(dá)式代入方程得關(guān)于待求函數(shù)H 所滿足的方程 2 H 滿足的方程 3 級數(shù)解 我們以級數(shù)形式來求解 為此令 該式對任意 都成立 故 同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零 即 bk 2 k 2 k 1 bk2k bk 1 0從而導(dǎo)出系數(shù)bk的遞推公式 為了滿足波函數(shù)有限性要求 冪級數(shù)H 必須從某一項截斷變成一個多項式 換言之 要求H 從某一項 比如第n項 起以后各項的系數(shù)均為零 即bn 0 bn 2 0 代入遞推關(guān)系 得 3 厄密多項式 厄密多項式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系 可導(dǎo)出厄密多項式的遞推關(guān)系 應(yīng)用實例 例 已知H0 1 H1 2 則根據(jù)上述遞推關(guān)系得出 H2 2 H1 2nH0 4 2 2 下面給出前幾個厄密多項式具體表達(dá)式 H0 1H2 4 2 2H4 16 4 48 2 12H1 2 H3 8 3 12 H5 32 5 160 3 120 基于厄密多項式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù) x 的遞推關(guān)系 4 討論 1 對應(yīng)一個諧振子能級只有一個本征函數(shù) 即一個狀態(tài) 所以能級是非簡并的 值得注意的是 基態(tài)能量E0 1 2 0 稱為零點(diǎn)能 這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的 是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn) 能量為零的 靜止的 波是沒有意義的 零點(diǎn)能是量子效應(yīng) 2 波函數(shù) 以基態(tài)為例 在經(jīng)典情形下 粒子將被限制在 x 1范圍中運(yùn)動 這是因為振子在這一點(diǎn) x 1 處 其勢能V x 1 2 2x2 1 2 E0 即勢能等于總能量 動能為零 粒子被限制在阱內(nèi) 然而 量子情況與此不同對于基態(tài) 其幾率密度是 0 0 2 N02exp 2 分析上式可知 一方面表明在 0處找到粒子的幾率最大 另一方面 在 1處 即在阱外找到粒子的幾率不為零 與經(jīng)典情況完全不同 分析波函數(shù)可知量子力學(xué)的諧振子波函數(shù) n有n個節(jié)點(diǎn) 在節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零 而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在 a a 區(qū)間每一點(diǎn)上都能找到粒子 沒有節(jié)點(diǎn) 3 幾率分布 作業(yè) 周世勛 量子力學(xué)教程 2 5曾謹(jǐn)言3 8 3 9 3 12 3一維勢散射問題 一 引言 二 方程求解 三 討論 四 應(yīng)用實例 一 引言 勢壘穿透是粒子入射被勢壘散射的一維運(yùn)動問題 典型勢壘是方勢壘 其定義如下 現(xiàn)在的問題是已知粒子以能量E沿x正向入射 二 方程求解 1 E V0情況 因為E 0 E V0 所以k1 0 k2 0 上面的方程可改寫為 上述三個區(qū)域的Schrodinger方程可寫為 定態(tài)波函數(shù) 1 2 3分別乘以含時因子exp iEt 即可看出 式中第一項是沿x正向傳播的平面波 第二項是沿x負(fù)向傳播的平面波 由于在x a的III區(qū)沒有反射波 所以C 0 于是解為 利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件來定系數(shù) 首先 解單值 有限條件滿足 1 波函數(shù)連續(xù) 綜合整理記之 2 波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù) 波函數(shù)意義 3 求解線性方程組 4 透射系數(shù)和反射系數(shù) 求解方程組得 為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率 定義透射系數(shù)和反射系數(shù) I透射系數(shù) 透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為透射系數(shù)D JD JI II反射系數(shù) 反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為反射系數(shù)R JR JI 其物理意義是 描述貫穿到x a的III區(qū)中的粒子在單位時間內(nèi)流過垂直x方向的單位面積的數(shù)目與入射粒子 在x 0的I區(qū) 在單位時間內(nèi)流過垂直于x方向單位面積的數(shù)目之比 下面求D和R 幾率流密度矢量 對一維定態(tài)問題 J與時間無關(guān) 所以入射波 Aexp ik1x A exp ik1x 對透射波 Cexp ik1x 所以透射波幾率流密度 反射波 A exp ik1x 所以反射波幾率流密度 其中負(fù)號表示與入射波方向相反 則入射波幾率流密度 于是透射系數(shù)為 由以上二式顯然有D R 1 說明入射粒子一部分貫穿勢壘到x a的III區(qū) 另一部分則被勢壘反射回來 同理得反射系數(shù) 2 E V0情況 故可令 k2 ik3 其中k3 2 V0 E 1 2 這樣把前面公式中的k2換成ik3并注意到 sinhik3a isinhk3a 即使E V0 在一般情況下 透射系數(shù)D并不等于零 入射波 反射波 透射波 因k2 2 E V0 1 2 當(dāng)E V0時 k2是虛數(shù) 隧道效應(yīng) tunneleffect 粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象 它是粒子具有波動性的生動表現(xiàn) 當(dāng)然 這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著 下圖給出了勢壘穿透的波動圖象 三 討論 1 當(dāng)k3a 1時 故4可略 透射系數(shù)則變?yōu)?粗略估計 認(rèn)為k1 k3 相當(dāng)于E V0 2 則D0 4是一常數(shù) 下面通過實例來說明透射系數(shù)的量級大小 于是 例1 入射粒子為電子 設(shè)E 1eV V0 2eV a 2 10 8cm 2 算得D 0 51 若a 5 10 8cm 5 則D 0 024 可見透射系數(shù)迅速減小 質(zhì)子與電子質(zhì)量比 p e 1840 對于a 2 則D 2 10 38 可見透射系數(shù)明顯的依賴于粒子的質(zhì)量和勢壘的寬度 量子力學(xué)提出后 Gamow首先用勢壘穿透成功的說明了放射性元素的 衰變現(xiàn)象 例2 入射粒子換成質(zhì)子 2 任意形狀的勢壘 則x1 x2貫穿勢壘V x 的透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢壘透射系數(shù)之積 即 此式的推導(dǎo)是不太嚴(yán)格的 但該式與嚴(yán)格推導(dǎo)的結(jié)果一致 對每一小方勢壘透射系數(shù) 可把任意形狀的勢壘分割成許多小勢壘 這些小勢壘可以近似用方勢壘處理