2018屆高考數(shù)學中檔大題規(guī)范練（第02期）（打包10套）理.zip

2018屆高考數(shù)學中檔大題規(guī)范練（第02期）（打包10套）理.zip,2018,高考,數(shù)學,中檔,規(guī)范,02,打包,10 專題2.10 中檔大題規(guī)范練10（數(shù)列 概率 立體幾何 選講） 類型 試 題 亮 點 解題方法/思想/素養(yǎng) 數(shù)列大題 等差中項的應(yīng)用 累加法求通項公式 累加法求通項公式 概率大題 非線性回歸分析方程的求解及應(yīng)用 換元法求解非線性回歸方程 數(shù)據(jù)的處理和運算能力 立體幾何 二面角、線面角的求解 存在性問題 利用空間向量解決二面角、線面角 空間想象力和運算能力的考查 選講1（極坐標參數(shù)方程） 參數(shù)方程與普通方程的互化 直線與橢圓的位置關(guān)系 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用 選講2（不等式） 由等量關(guān)系證明不等式 基本不等式的靈活應(yīng)用 1.數(shù)列大題 已知數(shù)列， 滿足，記的前項和為，已知， . （1）若，求； （2）若，求的通項公式. 【答案】（1）；（2）. 2.概率大題 大連市某企業(yè)為確定下一年投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：千元）對年銷售量（單位：）和年利潤（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費和年銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值. 46.6 573 6.8 289.8 1.6 215083.4 31280 表中，. 根據(jù)散點圖判斷，與哪一個適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由） 根據(jù)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程； 已知這種產(chǎn)品的年利潤與、的關(guān)系為.根據(jù)的結(jié)果回答下列問題： 年宣傳費時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？ 年宣傳費為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？ 附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： ，. 【答案】（1）（2）（3）年銷售量，年利潤.年宣傳費為46.24千元時，年利潤預(yù)報值最大. 試題解析： 解：由散點圖可以判斷適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費的回歸方程類型. 令，先建立關(guān)于的線性回歸方程 ， ， 所以關(guān)于的線性回歸方程為， 所以關(guān)于的線性回歸方程為. 由知，當時，年銷售量的預(yù)報值為， 年利潤的預(yù)報值為. 根據(jù)的結(jié)果知，年利潤的預(yù)報值 ， 當，即時，年利潤的預(yù)報值最大， 故年宣傳費為46.24千元時，年利潤預(yù)報值最大. 3.立體幾何 在四棱錐中， 平面， ， ， ， ， ， 是的中點， 在線段上，且滿足. （1）求證： 平面； （2）求二面角的余弦值； （3）在線段上是否存在點，使得與平面所成角的余弦值是，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）見解析；（2）；（3） （1）由題意可得， ， 兩兩互相垂直，如果，以為原點， ， ， 分別是， ， 軸建立空間直角坐標系，則， ， ， ， 設(shè)平面的法向量為 ， ∴，令∴ 又，∴，∴ 平面 ∴ 平面 （3）設(shè)， ，∴ ∴ ∴ ∵與平面所成角的余弦值是∴其正弦值為 ∴，整理得： ，解得： ， （舍） ∴存在滿足條件的點， ，且 點睛：在解決立體幾何問題時，尤其空間關(guān)系的時候，可以有兩種方法，一是常規(guī)法，二是空間向量法，在應(yīng)用面的法向量所成角來求二面角的時候，一定需要分清楚是其補角還是其本身，在涉及到是否存在類問題時，都是先假設(shè)存在，最后求出來就是有，推出矛盾就是沒有. 4.選講1（極坐標參數(shù)方程） 在平面直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實數(shù)），直線與曲線交于兩點. （1）若，求的長度； （2）當面積取得最大值時（為原點），求的值. 【答案】(1)；(2)0. 故， 所以的長度. 5.選講2（不等式） 已知實數(shù)滿足，證明： （1）； （2）. 【答案】(1)見解析;(2)見解析. 【解析】試題分析：（1）由，化簡得，再由，即可作出證明； （2）因為，所以，利用基本不等式，得，進而證的結(jié)論. 試題解析： （1）由，得， 所以， 即. 因為，當且僅當時，取等號， 所以， 所以， 即. 10 專題2.1 中檔大題規(guī)范練01（三角 概率 立體幾何 選講） 類型 試 題 亮 點 解題方法/思想/素養(yǎng) 三角大題 多個三角形的求解問題 線段比等價轉(zhuǎn)化為面積比的思想方法 選取合適的三角形進行正余弦定理的應(yīng)用 概率大題 方案選取的優(yōu)化問題 條件概率 從數(shù)學期望的角度選取方案 條件概率的公式應(yīng)用 立體幾何 面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理 已知二面角求長度 多解問題 建系法解決二面角 方程思想，通過已知關(guān)系建立二面角的方程 選講1（極坐標參數(shù)方程） 參數(shù)方程與普通方程的互化 極坐標與直角坐標的互化 求直線的極坐標方程 極坐標與直角坐標的靈活轉(zhuǎn)化 極坐標系下的線段關(guān)系的方程問題 選講2（不等式） 含兩個絕對值的函數(shù)的最值問題 三元代數(shù)式的最值問題 分段討論求函數(shù)最值的思想 利用基本不等式求最值 1.三角大題 如圖，在中，，，且點在線段上． （Ⅰ）若，求長； （Ⅱ）若，，求的面積． 【答案】（I）；（II）. 【解析】試題分析： （II）由，得，所以, 因為，，所以, 由余弦定理, 可得或（舍去）, 所以：， 所以. 2.概率大題 單位計劃組織55名職工進行一種疾病的篩查,先到本單位醫(yī)務(wù)室進行血檢,血檢呈陽性者再到醫(yī)院進一步檢測．已知隨機一人血檢呈陽性的概率為 1% ,且每個人血檢是否呈陽性相互獨立. (Ⅰ) 根據(jù)經(jīng)驗,采用分組檢測法可有效減少工作量,具體操作如下：將待檢人員隨機等分成若干組,先將每組的血樣混在一起化驗,若結(jié)果呈陰性,則可斷定本組血樣全部為陰性,不必再化驗；若結(jié)果呈陽性,則本組中至少有一人呈陽性,再逐個化驗． 現(xiàn)有兩個分組方案： 方案一: 將 55 人分成 11 組,每組 5 人； 方案二：將 55 人分成5組,每組 11 人； 試分析哪一個方案工作量更少？ (Ⅱ) 若該疾病的患病率為 0.4% ,且患該疾病者血檢呈陽性的概率為99% ,該單位有一職工血檢呈陽性,求該職工確實患該疾病的概率.(參考數(shù)據(jù): ) 【答案】（1）方案二工作量更少.（2）39.6%. 詳解： (Ⅰ)方法1：設(shè)方案一中每組的化驗次數(shù)為，則的取值為1，6. 所以， 所以的分布列為 1 6 0.951 0.049 所以. 故方案一的化驗總次數(shù)的期望為: 次. 設(shè)方案二中每組的化驗次數(shù)為，則的取值為1，12， 所以， 所以的分布列為 1 12 0.895 0.105 所以. 故方案二的化驗總次數(shù)的期望為： 次. 因，所以方案二工作量更少. 3.立體幾何 如圖，在平行四邊形中， °，四邊形是矩形， ，平面平面. （1）若，求證： ； （2）若二面角的正弦值為，求的值. 【答案】(1)見解析；（2）或. (2)以點為原點， 所在的直線分別為軸， 軸，過點與平面垂直的直線軸建立空間直角坐標系，則 設(shè)平面的法向量為，則,即, 取，則，即, 同理可求得平面的法向量為 設(shè)二面角的平面角為，則 則，即，解之得或，又, 所以或 點睛：本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立體幾何中的證明與求解，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解. 4.選講1（極坐標參數(shù)方程） 在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)， ).以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線上一點的極坐標為，曲線的極坐標方程為. (Ⅰ)求曲線的極坐標方程； (Ⅱ)設(shè)點在上，點在上（異于極點），若四點依次在同一條直線上，且成等比數(shù)列,求 的極坐標方程. 【答案】（1）.（2） 代入點得，解得或（舍去）. 所以曲線的極坐標方程為. (Ⅱ) 由題意知,設(shè)直線的極坐標方程為，設(shè)點, 則. 聯(lián)立得， ，所以. 聯(lián)立得， . 因為成等比數(shù)列，所以，即. 所以,解得. 經(jīng)檢驗滿足四點依次在同一條直線上,所以的極坐標方程為. 5.選講2（不等式） 已知函數(shù)的最大值為. （1）求的值； （2）若， ，求的最大值. 【答案】（1）2（2）2 8 專題2.2 中檔大題規(guī)范練02（三角 概率 立體幾何 選講） 類型 試 題 亮 點 解題方法/思想/素養(yǎng) 三角大題 余弦定理和面積公式的應(yīng)用 正弦定理解三角形的個數(shù)問題 三角形面積最值問題 數(shù)形結(jié)合思想解三角形個數(shù) 三角形面積公式的應(yīng)用：邊化角，統(tǒng)一角求最值 概率大題 頻率分布直方圖求中位數(shù)和均值 超幾何分布的應(yīng)用 用頻率分布直方圖估計總體的思想 超幾何分布模型的應(yīng)用 立體幾何 面面垂直的判定定理 椎體體積的求解 線面角的求解 空間向量法求解線面角 椎體的體積公式 選講1（極坐標參數(shù)方程） 直線與圓的位置關(guān)系 直線的參數(shù)方程的應(yīng)用 理解直線參數(shù)的集合意義，并會求解線段的長度問題，理解參數(shù)正負的意義 選講2（不等式） 解含兩個絕對值的不等式 解含絕對值的恒成立問題 解絕對值不等式的分段討論思想 不等式恒成立的常用方法：參變分離 1.三角大題 已知的內(nèi)角的對邊分別為其面積為,且. （Ⅰ）求角； （II）若,當有且只有一解時,求實數(shù)的范圍及的最大值. 【答案】(Ⅰ).(Ⅱ). (Ⅱ)由己知，當有且只有一解時， 或,所以； 當時，為直角三角形， 當時， 由正弦定理， ， 所以，當時， 綜上所述，. 點睛：本題在轉(zhuǎn)化有且只有一解時,容易漏掉m=2這一種情況.此時要通過正弦定理和正弦函數(shù)的圖像分析，不能死記硬背.先由正弦定理得再畫正弦函數(shù)的圖像得到或. 2.概率大題 某大型商場去年國慶期間累計生成萬張購物單，從中隨機抽出張，對每單消費金額進行統(tǒng)計得到下表： 消費金額（單位：元） 購物單張數(shù) 25 25 30 由于工作人員失誤，后兩欄數(shù)據(jù)無法辨識，但當時記錄表明，根據(jù)由以上數(shù)據(jù)繪制成的頻率分布直方圖所估計出的每單消費額的中位數(shù)與平均數(shù)恰好相等.用頻率估計概率，完成下列問題： （1）估計去年國慶期間該商場累計生成的購物單中，單筆消費額超過元的概率； （2）為鼓勵顧客消費，該商場計劃在今年國慶期間進行促銷活動，凡單筆消費超過元者，可抽獎一次.抽獎規(guī)則為：從裝有大小材質(zhì)完全相同的個紅球和個黑球的不透明口袋中，隨機摸出個小球，并記錄兩種顏色小球的數(shù)量差的絕對值，當時，消費者可分別獲得價值元、元和元的購物券.求參與抽獎的消費者獲得購物券的價值的數(shù)學期望. 【答案】(1) ;(2)見解析. （2）根據(jù)題意，，. 設(shè)抽獎顧客獲得的購物券價值為，則的分布列為 4 2 0 500 200 100 故（元）. 點睛：本題主要考查頻率分布直方圖和隨機變量的分布列和數(shù)學期望等知識，考查學生的分析能力和計算能力，屬于中檔題. 3.立體幾何 如圖，在四棱錐. （1）當PB=2時，證明：平面平面ABCD. （2）當四棱錐的體積為，且二面角為鈍角時，求直線PA與平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1）見解析. （2）. (2)解：如圖，取的中點，連接，， 平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以過點作平面，垂足一定落在平面與平面的交線上. ∵四棱錐的體積為， ∴， ∴. ∵ ∴ 以為坐標原點，所在直線為軸、軸，在平面內(nèi)過點作垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系.由題意可知，故 ，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以. 設(shè)直線與平面所成的角為，則. 故直線與平面所成角的正弦值為. 點睛：本題主要考查的知識點是面面垂直的判定，直線與平面所成的角.面面垂直的證明，往往利用線面垂直判定定理；解決有關(guān)線面角的問題，一般利用空間向量數(shù)量積進行處理比較方便，先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設(shè)立各點坐標，利用方程組解出面的法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求出直線向量與法向量夾角余弦值. 4.選講1（極坐標參數(shù)方程） 以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，已知直線的極坐標方程是，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）. （1）若直線與圓有公共點，求實數(shù)的取值范圍； （2）當時，過點且與直線平行的直線交圓于兩點，求的值. 【答案】（1）（2） 詳解：（1）由， 得， 即， 故直線的直角坐標方程為. 由 得 所以圓的普通方程為. 若直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離，即， 故實數(shù)的取值范圍為. 5.選講2（不等式） 已知函數(shù). （1）當，解不等式； （2）若，且當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）（2） （2），即，又且 所以，且 所以即 令，則， 所以時， ， 所以，解得， 所以實數(shù)的取值范圍是. 9 專題2.3 中檔大題規(guī)范練03（三角 概率 立體幾何 選講） 類型 試 題 亮 點 解題方法/思想/素養(yǎng) 三角大題 由三角函數(shù)的部分圖像求解析式 給值求值問題 “五點作圖”思想的應(yīng)用 兩角和差公式的靈活應(yīng)用——配湊角 概率大題 古典概型 最優(yōu)方案問題 古典概型的求解常用思想：求解對立事件的概率 方案選取的思想方法：比較期望或方程 立體幾何 線面角 二面角 傳統(tǒng)方法找線面角 空間向量法求解二面角 選講1（極坐標參數(shù)方程） 直線與圓的位置關(guān)系 直線一側(cè)點的不等式關(guān)系 三角不等式恒成立求解 點在直線一側(cè)的不等轉(zhuǎn)化 選講2（不等式） 利用絕對值三角不等式求最值 三元的不等式證明問題 作差法比較大小 1.三角大題 已知函數(shù) 的部分圖像如圖所示. (1)求的解析式； (2)設(shè)為銳角， ，求的值. 【答案】（1）；（2）. 2.概率大題 自2013年10月習近平主席提出建設(shè)“一帶一路”的合作倡議以來，我國積極建立與沿線國家的經(jīng)濟合作伙伴關(guān)系.某公司為了擴大生產(chǎn)規(guī)模，欲在海上絲綢之路經(jīng)濟帶（南線）：泉州—福州—廣州—海口—北海（廣西）—河內(nèi)—吉隆坡—雅加達—科倫坡—加爾各答—內(nèi)羅畢—雅典—威尼斯的13個城市中選擇3個城市建設(shè)自己的工業(yè)廠房，根據(jù)這13個城市的需求量生產(chǎn)產(chǎn)品，并將其銷往這13個城市. （1）求所選的3個城市中至少有1個在國內(nèi)的概率； （2）已知每間工業(yè)廠房的月產(chǎn)量為10萬件，若一間廠房正常生產(chǎn)，則每月可獲得利潤100萬；若一間廠房閑置，則該廠房每月虧損50萬.該公司為了確定建設(shè)工業(yè)廠房的數(shù)目，統(tǒng)計了近5年來這13個城市中該產(chǎn)品的月需求量數(shù)據(jù)，得如下頻數(shù)分布表： 若以每月需求量的頻率代替每月需求量的概率，欲使該產(chǎn)品的每月總利潤的數(shù)學期望達到最大，應(yīng)建設(shè)工業(yè)廠房多少間？ 【答案】（1）；（2）當時，萬元最大 （2）設(shè)該產(chǎn)品每月的總利潤為， ①當時，萬元． ②當時，的分布列為 所以萬元. ③當時，的分布列為 所以萬元. ④當時，的分布列為 所以萬元. 綜上可知，當時萬元最大，故建設(shè)廠房12間． 點睛：（1）離散型隨機變量的期望與方差的應(yīng)用，是高考的重要考點，不僅考查學生的理解能力與數(shù)學計算能力，而且不斷創(chuàng)新問題情境，突出學生運用概率、期望與方差解決實際問題的能力． （2）在實際問題中，一般地將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案． 3.立體幾何 已知四棱錐，底面為菱形， 為上的點，過的平面分別交于點，且平面． （1）證明： ； （2）當為的中點， ， 與平面所成的角為，求平面AMHN與平面ABCD所成銳二面角的余弦值． 【答案】(1)見解析;(2) . 試題解析： （1）證明：連交于點，連． 因為四邊形為菱形， 所以，且為、的中點． 因為， 所以， 又且平面， 所以平面， 因為平面， 所以． 因為平面， 平面，平面平面， 所以， 所以． 設(shè)，則 ， 所以 設(shè)平面的法向量為， 則，令，得． 由題意可得平面的法向量為， 所以． 所以平面AMHN與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為． 4.選講1（極坐標參數(shù)方程） 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），已知直線的方程為. （1）設(shè)是曲線上的一個動點，當時，求點到直線的距離的最小值； （2）若曲線上的所有點均在直線的右下方，求的取值范圍. 【答案】（1）. （2）. （Ⅱ）因為曲線上的所有點均在直線的右下方， 所以對，有恒成立， 即恒成立， 所以， 又，所以. 故的取值范圍為. 5.選講2（不等式） 已知，函數(shù)的最小值為3. （1）求的值； （2）若,且，求證：. 【答案】（1）見解析；（2）見解析 8 專題2.4 中檔大題規(guī)范練04（三角 概率 立體幾何 選講） 類型 試 題 亮 點 解題方法/思想/素養(yǎng) 三角大題 余弦定理應(yīng)用：角化邊求解邊 三角形中內(nèi)角范圍的確定 將方程中含角含邊的式子統(tǒng)一為邊的思想 利用三角函數(shù)求范圍的思想 概率大題 古典概型的概率求解 離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望 古典概型的概率求解：排列組合的應(yīng)用 立體幾何 線面垂直的判定定理 二面角的求解：含動點 空間向量求解二面角 動點的引參和建立方程求解的思想 選講1（極坐標參數(shù)方程） 極坐標系下的曲線軌跡問題 極坐標系下求面積的最值 相關(guān)的法求軌跡問題 選講2（不等式） 含兩個絕對值的不等式求解問題 不等式的有解問題 數(shù)形結(jié)合求解不等式 1.三角大題 在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，且. （1）求的值； （2）若， 為的面積，求的取值范圍. 【答案】(1) (2) （2）由正弦定理得 ， 在中，由 得 ， . 2.概率大題 某單位年會進行抽獎活動，在抽獎箱里裝有張印有“一等獎”的卡片， 張印有“二等獎”的卡片， 3張印有“新年快樂”的卡片，抽中“一等獎”獲獎元， 抽中“二等獎”獲獎元，抽中“新年快樂”無獎金. （1）單位員工小張參加抽獎活動，每次隨機抽取一張卡片，抽取后不放回.假如小張一定要將所有獲獎卡片全部抽完才停止. 記表示“小張恰好抽獎次停止活動”，求的值； （2）若單位員工小王參加抽獎活動，一次隨機抽取張卡片. ①記表示“小王參加抽獎活動中獎”，求的值； ②設(shè)表示“小王參加抽獎活動所獲獎金數(shù)（單位：元）”，求的分布列和數(shù)學期望. 【答案】（1）；（2）見解析 ； 因此的分布列為 的數(shù)學期望是 點睛：解決該題的關(guān)鍵是 第一問可以應(yīng)用排列數(shù)來解決，分析出對應(yīng)的滿足條件的排列，從而求得結(jié)果，第二問注意反面思維的運用，以及分布列的求法，最后應(yīng)用離散型隨機變量的期望公式求得結(jié)果. 3.立體幾何 如圖，在直三棱柱中，，，點為棱的中點，點為線段上一動點. （Ⅰ）求證：當點為線段的中點時，平面； （Ⅱ）設(shè)，試問：是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，求出這個實數(shù)；若不存在，請說明理由. 【答案】（Ⅰ）見解析；（2）或 試題解析： （Ⅰ）證明：連、， ∵點為線段的中點， ∴、、三點共線. ∵點、分別為和的中點， ∴． 在直三棱柱中，， ∴平面， ∴， 又， ∴四邊形為正方形， ∴， ∵、平面， ∴平面， 而， ∴平面. 由題意得|， ∴， 解得或. ∴當或時，平面與平面所成銳二面角的余弦值為． 點睛： 空間向量的引入為解決立體幾何中的探索性問題提供了有力的工具．解決與平行、垂直有關(guān)的探索性問題時，通常假定題中的數(shù)學對象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理，若能導出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，說明假設(shè)成立，即存在，并可進一步證明；若導出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果，則說明假設(shè)不成立，即不存在． 4.選講1（極坐標參數(shù)方程） 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點的曲線上運動. (I)若點在射線上,且,求點的軌跡的直角坐標方程; (Ⅱ)設(shè),求面積的最大值. 【答案】（Ⅰ）. (Ⅱ) . （Ⅱ）設(shè)，則 ， 的面積 ， 當且僅當，即時等號成立 面積的最大值為． （用直角坐標方程求解，參照給分） 5.選講2（不等式） 已知函數(shù). （1）解不等式； （2）若關(guān)于的不等式只有一個正整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) 不等式的解集為{或};(2) . 8 專題2.5 中檔大題規(guī)范練05（三角 概率 立體幾何 選講） 類型 試 題 亮 點 解題方法/思想/素養(yǎng) 三角大題 角平分線在解三角形中的處理方法 正余弦定理的邊角互化 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想 面積和邊的等價轉(zhuǎn)化 概率大題 概率統(tǒng)計的實際應(yīng)用 回歸方程的求解 信息的整合能力 數(shù)據(jù)分析能力 立體幾何 線面垂直的證明 立體幾何中的多解問題 點面距的求解 利用空間向量求解點面距 方程思想 選講1（極坐標參數(shù)方程） 普通方程與參數(shù)方程及極坐標方程的互化 直線與圓的位置關(guān)系求解面積 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想 選講2（不等式） 含兩個絕對值的不等式求解問題 不等式恒成立問題 含絕對值的最值問題：絕對值三角不等式的應(yīng)用 二次函數(shù)的最值 1.三角大題 已知的內(nèi)角的對邊分別為，且. （1）求； （2）若角的平分線與交于點，且，求的值. 【答案】(1) ；(2) . （2）由（1）可知，且，所以， 同理可得， 設(shè)的面積分別為， 則， ， ， 由得，所以. 2.概率大題 隨著互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，基于互聯(lián)網(wǎng)的共享單車應(yīng)運而生，某市場研究人員為了了解共享單車運營公司的經(jīng)營狀況，對該公司最近六個月的市場占有率進行了統(tǒng)計，并繪制了相應(yīng)的折線圖： （Ⅰ）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率與月份代碼之間的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測公司2017年4月的市場占有率； （Ⅱ）為進一步擴大市場，公司擬再采購一批單車，現(xiàn)有采購成本分別為元/輛和1200元/輛的、兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因(如騎行頻率等)會導致單車使用壽命各不相同，考慮到公司運營的經(jīng)濟效益，該公司決定先對這兩款車型的單車各100輛進行科學模擬測試，得到兩款單車使用壽命的頻數(shù)表如下： 經(jīng)測算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元，不考慮除采購成本之外的其他成本，假設(shè)每輛單車的使用壽命都是整數(shù)年，且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率，如果你是公司的負責人，以每輛單車產(chǎn)生利潤的期望值為決策依據(jù)，你會選擇采購哪款車型？ 參考公式：回歸直線方程為，其中，. 【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）應(yīng)該采購款車. （Ⅱ）由頻率估計概率，每輛款車可使用1年，2年，3年，4年的概率分別為、、、. ∴每輛款車的利潤數(shù)學期望為(元)，每輛款車可使用1年，2年，3年，4年的概率分別為，，，. ∴每輛款車的利潤數(shù)學利潤為(元) ∵ ∴應(yīng)該采購款車. 3.立體幾何 如圖，在三棱柱中，已知側(cè)面，，，，點在棱上. （1）求的長，并證明平面； （2）若，試確定的值，使得到平面的距離為. 【答案】（1）見解析；（2） 試題解析：（1）證明：因為，，， 在△中，由余弦定理，得， 所以，即C1B⊥BC． 又AB⊥側(cè)面BCC1B1，BC1側(cè)面BCC1B1，故AB⊥BC1， 又，所以C1B⊥平面ABC． （2）解：由（Ⅰ）知，BC，BA，BC1兩兩垂直， 以B為空間坐標系的原點，建立如圖所示的坐標系， 4.選講1（極坐標參數(shù)方程） 在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，圓的極坐標方程為. （1）求直線的普通方程與圓的直角坐標方程； （2）若直線與圓交于，兩點，求弦與劣弧圍成的圖形的面積. 【答案】（1）；（2）. 【解析】試題分析：利用，，代入求出直角坐標方程在直角坐標方程下進行求解，求出，然后計算出結(jié)果 解析：（1）由題意知， 由，，， 得圓的直角坐標方程為， 由， 故直線的變通方程為. （2）由， 故圓心，半徑. 圓心到直線的距離為， 所以，， 所以弦與劣弧圍成的圖形的面積 . 5.選講2（不等式） 已知函數(shù)， （1）求，求的取值范圍； （2）若，對，都有不等式恒成立，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 8 專題2.6 中檔大題規(guī)范練06（數(shù)列 概率 立體幾何 選講） 類型 試 題 亮 點 解題方法/思想/素養(yǎng) 數(shù)列大題 由與的關(guān)系求通項公式 前項和為的最值問題 利用項的正負變化研究和的最值，轉(zhuǎn)化的思想 概率大題 由頻率分布直方圖估計總體的平均數(shù)和中位數(shù) 抽獎的獎金問題 信息整合能力 立體幾何 折疊問題 面面垂直的性質(zhì)定理 動點問題 利用空間向量求解線面角 選講1（極坐標參數(shù)方程） 參數(shù)方程和極坐標方程的轉(zhuǎn)化 極坐標方程的應(yīng)用 多解問題 應(yīng)用極坐標系的極經(jīng)極角的幾何意義解題 選講2（不等式） 含兩個絕對值的函數(shù)最值問題 不等式證明問題 分離討論的思想求分段函數(shù)最值 靈活應(yīng)用基本不等式證明不等式 1.數(shù)列大題 已知數(shù)列的前項和滿足： . （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若，數(shù)列的前項和為，試問當為何值時， 最??？并求出最小值. 【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）-10. 2.概率大題 某超市為調(diào)查會員某年度上半年的消費情況制作了有獎?wù){(diào)查問卷發(fā)放給所有會員，并從參與調(diào)查的會員中隨機抽取名了解情況并給予物質(zhì)獎勵.調(diào)查發(fā)現(xiàn)抽取的名會員消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，調(diào)查結(jié)果按消費金額分成組，制作成如下的頻率分布直方圖. （1）求該名會員上半年消費金額的平均值與中位數(shù)；（以各區(qū)間的中點值代表該區(qū)間的均值） （2）若再從這名會員中選出一名會員參加幸運大抽獎，幸運大抽獎方案如下：會員最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎概率均為，第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結(jié)束.若中獎，則通過拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎.規(guī)定：拋出的硬幣，若反面朝上，則會員獲得元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，會員需進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，如果中獎，則獲得獎金元，如果未中獎，則所獲得的獎金為元.若參加幸運大抽獎的會員所獲獎金（單位：元）用表示，求的分布列與期望值. 【答案】（1）平均數(shù)，中位數(shù)分別為萬元， 萬元；（2）見解析. （2）由題意可知， 可能取值為， ， . 則， ， . 的分布列為： （元）. 3.立體幾何 在矩形中，，，點是線段上靠近點的一個三等分點，點是線段上的一個動點，且.如圖，將沿折起至，使得平面平面. （1）當時，求證：； （2）是否存在，使得與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 【答案】(1)見解析(2) （2）以為原點，的方向為軸，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系. 則，，. 取的中點， ∵，∴， ∴ 易證得平面， ∵，∴，∴. ∴，，. 4.選講1（極坐標參數(shù)方程） 在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點的極坐標為. (Ⅰ)求曲線的極坐標方程； (Ⅱ)若點在曲線上，,求的大小. 【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)或. 【解析】試題分析：(Ⅰ)先將圓的標準方程轉(zhuǎn)化為一般方程，再利用互化公式進行轉(zhuǎn)化；(Ⅱ)利用曲線的極坐標方程的幾何意義和三角恒等變換進行求解. 試題解析：(Ⅰ)∵曲線的普通方程為，即, 曲線的極坐標方程為. (Ⅱ)，且, 或或， 或. 5.選講2（不等式） 已知， ，且． （1）若恒成立，求的取值范圍； （2）證明： ． 【答案】(1) ；(2)證明見解析. 試題解析： （1）設(shè) 由，得， 8 專題2.7 中檔大題規(guī)范練07（數(shù)列 概率 立體幾何 選講） 類型 試 題 亮 點 解題方法/思想/素養(yǎng) 數(shù)列大題 由與的關(guān)系求通項公式 裂項相消法求前項和 裂項相消法的靈活應(yīng)用 概率大題 抽獎問題 獨立重復(fù)事件的應(yīng)用 二項分布的應(yīng)用 信息分析能力 二項分布模型的應(yīng)用 立體幾何 線面垂直的判定定理 斜棱柱的建系問題 二面角的求解問題 利用空間向量求解二面角 選講1（極坐標參數(shù)方程） 極坐標系方程與直角坐標方程的互化 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用 利用橢圓參數(shù)方程結(jié)合三角函數(shù)求最值 選講2（不等式） 含兩個絕對值的不等式求解問題 含一個絕對值的不等式恒成立問題求參 分類討論思想去絕對值 最值思想求解不等式恒成立問題 1.數(shù)列大題 已知數(shù)列的前項和為，且，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）記，數(shù)列的前項和為，求. 【答案】（1）（2） 2.概率大題 2018年元旦期間，某運動服裝專賣店舉辦了一次有獎促銷活動，消費每超過400元均可參加1次抽獎活動，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種. 方案一：顧客轉(zhuǎn)動十二等分且質(zhì)地均勻的圓形轉(zhuǎn)盤(如圖），轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針指向哪個扇形區(qū)域，則顧客可直接獲得該區(qū)域?qū)?yīng)面額(單位：元）的現(xiàn)金優(yōu)惠，且允許顧客轉(zhuǎn)動3次. 方案二：顧客轉(zhuǎn)動十二等分且質(zhì)地均勻的圓形轉(zhuǎn)盤（如圖〕，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針若指向陰影部分，則未中獎，若指向白色區(qū)域，則顧客可直接獲得40元現(xiàn)金，且允許顧客轉(zhuǎn)動3次. （1）若兩位顧客均獲得1次抽獎機會，且都選擇抽獎方案一，試求這兩位顧客均獲得180元現(xiàn)金優(yōu)惠的概率； （2）若某顧客恰好獲得1次抽獎機會. ①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得現(xiàn)金獎勵的數(shù)學期望； ②從概率的角度比較①中該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？ 【答案】(1) (2) ①見解析②該顧客選擇第一種抽獎方案更合算 【解析】試題分析：（1）由圖可知，每一次轉(zhuǎn)盤指向60元對應(yīng)區(qū)域的概率為，設(shè)“每位顧客獲得180元現(xiàn)金獎勵”為事件，則，結(jié)合乘法概率公式得到這兩位顧客均獲得180元現(xiàn)金優(yōu)惠的概率； （2）①方案一： 可能的取值為60，100，140，180， 方案二： ，故； ②由①知，所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合算. （2）①若選擇抽獎方案一，則每一次轉(zhuǎn)盤指向60元對應(yīng)區(qū)域的概率為，每一次轉(zhuǎn)盤指向20元對應(yīng)區(qū)域的概率為. 設(shè)獲得現(xiàn)金獎勵金額為元， 則可能的取值為60，100，140，180. 則； ； ； . 所以選擇抽獎方案一，該顧客獲得現(xiàn)金獎勵金額的數(shù)學期望為（元）. 若選擇抽獎方案二，設(shè)三次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的過程中，指針指向白色區(qū)域的次數(shù)為，最終獲得現(xiàn)金獎勵金額為元，則，故， 所以選擇抽獎方案二，該顧客獲得現(xiàn)金獎勵金額的數(shù)學期望為（元）. ②由①知， 所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合算. 3.立體幾何 如圖，四棱柱的底面是正方形，為和的交點， 若。 （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值。 【答案】（1）見解析；（2） 4.選講1（極坐標參數(shù)方程） 直角坐標系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且在兩種坐標系中取相同的長度單位.曲線的極坐標方程是. （Ⅰ）求曲線的直角坐標方程； （Ⅱ）設(shè)曲線與軸正半軸及軸正半軸交于點，在第一象限內(nèi)曲線上任取一點，求四邊形面積的最大值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） . 【解析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲線的直角坐標方程； （Ⅱ）因為在橢圓上且在第一象限，故可設(shè)，從而所求面積可用的三角函數(shù)來表示，求出該函數(shù)的最大值即可. 詳解：（Ⅰ）由題可變形為， ∵， ，∴，∴. 5.選講2（不等式） 已知函數(shù)． （1）求不等式的解集； （2）若 對恒成立，求的取值范圍． 【答案】(1) ；(2) . 8 專題2.8 中檔大題規(guī)范練08（數(shù)列 概率 立體幾何 選講） 類型 試 題 亮 點 解題方法/思想/素養(yǎng) 數(shù)列大題 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 公式法求解等差等比數(shù)列 概率大題 正態(tài)分布的應(yīng)用 超幾何分布的概型問題 正態(tài)分布概率求解的對稱思想 超幾何分布的模型 立體幾何 不規(guī)則六面體的建系 線面平行的判定定理 已知二面角求解線面角 空間向量求解二面角、線面角 選講1（極坐標參數(shù)方程） 圓的極坐標方程 極坐標方程的應(yīng)用 利用極徑和極角幾何意義求解長度角度問題 選講2（不等式） 含兩個絕對值的不等式恒成立問題 含絕對值函數(shù)的最值問題 利用絕對值三角不等式求最值 分段討論求分段函數(shù)最值 數(shù)形結(jié)合求面積 1.數(shù)列大題 已知數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列中去掉數(shù)列的項后余下的項按原順序組成數(shù)列，求的值. 【答案】(1)；(2)11202. 2.概率大題 某鋼管生產(chǎn)車間生產(chǎn)一批鋼管，質(zhì)檢員從中抽出若干根對其直徑（單位： ）進行測量，得出這批鋼管的直徑 服從正態(tài)分布. (1)當質(zhì)檢員隨機抽檢時，測得一根鋼管的直徑為,他立即要求停止生產(chǎn)，檢查設(shè)備，請你根據(jù)所學知識，判斷該質(zhì)檢員的決定是否有道理，并說明判斷的依據(jù)； (2)如果鋼管的直徑滿足為合格品（合格品的概率精確到0.01），現(xiàn)要從60根該種鋼管中任意挑選3根，求次品數(shù)的分布列和數(shù)學期望. （參考數(shù)據(jù)：若,則； . 【答案】（1）有道理；（2）分布列見解析， . 【解析】試題分析：（1）因為 (2) , 由題意可知鋼管直徑滿足： 為合格品， 故該批鋼管為合格品的概率約為0.95 60根鋼管中，合格品 57根，次品3根，任意挑選3根，則次品數(shù) 的可能取值為:0,1,2,3. . 則次品數(shù)的分布列列為： 0 1 2 3 得： . 3.立體幾何 在如圖所示的六面體中,面是邊長為2的正方形,面是直角梯形,，. (1)求證:平面； (2)若二面角為60°,求直線和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)證明見解析；(2). (2)是正方形,是直角梯形,, ,平面,同理可得平面. 又平面,所以平面平面, 又因為二面角為60°， 所以,由余弦定理得, 所以，因為半面， ,所以平面, 以為坐標原點,為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系. 則, 所以, 設(shè)平面的一個法向量為, 則即令，則， 所以 設(shè)直線和平面所成角為， 則 4.選講1（極坐標參數(shù)方程） 在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的標準方程為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系. （1）求直線和圓的極坐標方程； （2）若射線與的交點為，與圓的交點為，，且點恰好為線段的中點，求的值. 【答案】（1）直線的極坐標方程為，圓的極坐標方程為；（2）. 5.選講2（不等式） 已知函數(shù); （Ⅰ）若對恒成立，求正實數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）函數(shù)（），若函數(shù)的圖象與軸圍成的面積等于3，求實數(shù)的值. 【答案】（Ⅰ）或者;（Ⅱ）. 【解析】試題分析：（Ⅰ）若對恒成立，只需即可，由絕對值三角不等式可得解； 7