2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和檢測(cè) 理 新人教A版.doc

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第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練夯基練提能練) A級(jí)　基礎(chǔ)夯實(shí)練 1．(2018北京東城區(qū)二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，a5＝5，則S7的值是(　　) A．30　　　　　　　　　 B．29 C．28 D．27 解析：選C.由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則d＝＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝＝＝74＝28.故選C. 2．(2018唐山統(tǒng)考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S11＝22，則a3＋a7＋a8等于(　　) A．18 B．12 C．9 D．6 解析：選D.由題意得S11＝＝＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故選D. 3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 017，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2 020＝(　　) A．2 020 B．－2 020 C．4 040 D．－4 040 解析：選C.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝An2＋Bn，則＝An＋B，∴是等差數(shù)列．∵－＝2，∴的公差為1，又＝＝－2 017，∴是以－2 017為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴＝－2 017＋2 0191＝2，∴S2 020＝4 040.故選C. 4．(2018山西太原模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)y＝x2－10x的圖象上，等差數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為T(mén)n，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．Sn＜2Tn B．b4＝0 C．T7＞b7 D．T5＝T6 解析：選D.因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)在函數(shù)y＝x2－10x的圖象上，所以Sn＝n2－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故選D. 5．(2018江西南昌模擬)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為(　　) A．1升 B．升 C.升 D．升 解析：選B.設(shè)該等差數(shù)列為{an}，公差為d， 由題意得即 解得 ∴a5＝＋4＝.故選B. 6．(2018山東五校聯(lián)考)下面是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題： p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列； p3：數(shù)列{}是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列． 其中的真命題為(　　) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 解析：選D.{an}是等差數(shù)列，則an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因?yàn)閐＞0，所以{an}是遞增數(shù)列，故p1正確；對(duì)p2，舉反例，令a1＝－3，a2＝－2，d＝1，則a1＞2a2，故{nan}不是遞增數(shù)列，p2不正確；＝d＋，當(dāng)a1－d＞0時(shí)，{}遞減，p3不正確；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d＞0，{an＋3nd}是遞增數(shù)列，p4正確．故p1，p4是正確的，選D. 7．(2018揭陽(yáng)質(zhì)檢)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，則a8等于(　　) A．0 B．3 C．8 D．11 解析：選B.∵{bn}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， 由b3＝－2，b10＝12， ∴7d＝b10－b3＝12－(－2)＝14，∴d＝2， ∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6， ∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d ＝7(－6)＋212＝0， 又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3， ∴a8－3＝0，∴a8＝3.故選B. 8．(2018日照二模)若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，則使akak＋1＜0的k值為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)?an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為15，公差為－的等差數(shù)列，所以an＝15－(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋＞0，得n＜23.5，所以使akak＋1＜0的k值為23. 答案：23 9．(2018長(zhǎng)春模擬)《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾．初日織五尺，今一月日織九匹三丈．則月末日織幾何？”其意思為今有女子善織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布．若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布，則該女最后一天織________尺布． 解析：由題意得，該女每天所織的布的尺數(shù)依次排列形成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)為{an}，其中a1＝5，前30項(xiàng)和為390，于是有＝390，解得a30＝21，即該女最后一天織21尺布． 答案：21 10．(2017全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列． 解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)可得 解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n. (2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ＝2＝2Sn， 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列． B級(jí)　能力提升練 11．(2018濰坊模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，則(　　) A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8 C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7 解析：選D.由已知條件得＜，即＜，所以an＜an＋1，所以等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即數(shù)列{an}前7項(xiàng)均小于0，第8項(xiàng)大于零，所以Sn的最小值為S7，故選D. 12．如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn為△AnBnBn＋1的面積，則(　　) A．{Sn}是等差數(shù)列 B．{S}是等差數(shù)列 C．{dn}是等差數(shù)列 D．k9hd49g是等差數(shù)列 解析：選A.作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直線(xiàn)B1Bn，垂足分別為C1，C2，C3，…，Cn，則A1C1∥A2C2∥…∥AnCn. ∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|， ∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|. 設(shè)|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝c， 則|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n≥3)， ∴Sn＝c[(n－1)b－(n－2)a] ＝c[(b－a)n＋(2a－b)]， ∴Sn＋1－Sn＝c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝c(b－a)，∴數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列． 13．(2018南充模擬)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若＜－1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn＞0的n的最大值為_(kāi)_______． 解析：∵＜－1，且Sn有最大值， ∴a10＞0，a11＜0，且a10＋a11＜0， ∴S19＝＝19a10＞0， S20＝＝10(a10＋a11)＜0， 故使得Sn＞0的n的最大值為19. 答案：19 14．(2018山東菏澤二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*，滿(mǎn)足a1＋a2＝10，S5＝40. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝|13－an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由題意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10， S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8， 所以所以an＝4＋(n－1)2＝2n＋2. (2)令cn＝13－an＝11－2n， bn＝|cn|＝|11－2n|＝ 設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Qn，則Qn＝－n2＋10n. 當(dāng)n≤5時(shí)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n. 當(dāng)n≥6時(shí)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋105)＝n2－10n＋50. ∴Tn＝ 15．(2018惠州市二調(diào))在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a1，a4，a8成等比數(shù)列． (1)若數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為45，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若Tn＝－，求數(shù)列{an}的公差． 解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)， 由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得a＝a1a8，即(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，解得a1＝9d. 由數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和為45得10a1＋45d＝45，即90d＋45d＝45，所以d＝，a1＝3. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3＋(n－1)＝. (2)因?yàn)閎n＝＝， 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝＋＋…＋＝， 即Tn＝＝＝＝－， 因此＝1，解得d＝－1或d＝1. 故數(shù)列{an}的公差為－1或1. C級(jí)　素養(yǎng)加強(qiáng)練 16．(2018湘東五校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝，問(wèn)：是否存在正整數(shù)t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)設(shè){an}的公差為d，由題意得 解得a1＝1，d＝2， 故an＝2n－1，Sn＝n2. (2)由(1)知bn＝， 要使b1，b2，bm成等差數(shù)列，必須有2b2＝b1＋bm， 即2＝＋， 移項(xiàng)得＝－＝， 整理得m＝3＋. 因?yàn)閙，t為正整數(shù)， 所以t只能取2,3,5. 當(dāng)t＝2時(shí)，m＝7；當(dāng)t＝3時(shí)，m＝5； 當(dāng)t＝5時(shí)，m＝4. 所以存在正整數(shù)t，使得b1，b2，bm成等差數(shù)列．