2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第六節(jié) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布檢測(cè) 理 新人教A版.doc

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第六節(jié) 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(限時(shí)練夯基練提能練) A級(jí)　基礎(chǔ)夯實(shí)練 1．(2018東北三省四市聯(lián)合體模擬)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，事件“至少有一次正面向上”的概率為P，則n的最小值為(　　) A．4　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 解析：選A.P＝1－n≥，解得n≥4. 2．(2018湖北武漢調(diào)研)小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A為“4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件B為“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P(A|B)＝(　　) A. B． C. D． 解析：選A.小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)共有4333＝108種情況，即n(B)＝108,4個(gè)人去的景點(diǎn)不同的情況有A＝4321＝24種，即n(AB)＝24，∴P(A|B)＝＝＝. 3．(2018河北承德二中測(cè)試)用電腦每次可以自動(dòng)生成一個(gè)(0,1)內(nèi)的實(shí)數(shù)，且每次生成每個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能的，若用該電腦連續(xù)生成3個(gè)實(shí)數(shù)，則這3個(gè)實(shí)數(shù)都大于的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.由題意可得，用該電腦生成1個(gè)實(shí)數(shù)，且這個(gè)實(shí)數(shù)大于的概率為P＝1－＝，則用該電腦連續(xù)生成3個(gè)實(shí)數(shù)，這3個(gè)實(shí)數(shù)都大于的概率為3＝.故選C. 4．(2018江西信豐聯(lián)考)已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選D.設(shè)事件A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)＝，P(AB)＝＝.則所求概率為P(B|A)＝＝＝. 5．同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說(shuō)這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是(　　) A. B． C. D． 解析：選B.解法一：由題意知，每次試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為，在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C＝＝，P(X＝2)＝2＝，E(X)＝0＋1＋2＝. 解法二：由題意知，一次試驗(yàn)成功的概率p＝，故X～B，所以E(X)＝2＝. 6．甲、乙、丙三人到三個(gè)景點(diǎn)旅游，每個(gè)人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A為“三個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件B為“甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則概率P(A|B)＝________. 解析：甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，則有3個(gè)景點(diǎn)可選，乙、丙兩人從另外兩個(gè)景點(diǎn)中選擇，所以甲獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的可能情況共有322＝12(種)．因?yàn)槿齻€(gè)人去的景點(diǎn)不同的可能情況共有321＝6(種)，所以P(A|B)＝＝. 答案： 7．已知一書(shū)包中有兩本語(yǔ)文資料和一本數(shù)學(xué)資料，除內(nèi)容不同外其他均相同，現(xiàn)在有放回地抽取資料，每次抽取一本，記下科目后放回書(shū)包中，連續(xù)抽取三次，X表示三次中語(yǔ)文資料被抽中的次數(shù)，若每本資料被抽取的概率相同，每次抽取相互獨(dú)立，則方差D(X)＝________. 解析：每次抽取時(shí)，取到語(yǔ)文資料的概率為，取到數(shù)學(xué)資料的概率為，所以取出語(yǔ)文資料的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X～B，所以D(X)＝3＝. 答案： 8．(2017全國(guó)卷Ⅰ)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝________. 解析：X～B(100,0.02)，所以D(X)＝np(1－p)＝1000.020.98＝1.96. 答案：1.96 9．拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，設(shè)事件A為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6”，事件B為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8”． (1)求P(A)，P(B)，P(AB)； (2)當(dāng)已知藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí)，求兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率． 解：(1)P(A)＝＝. 因?yàn)閮深w骰子的點(diǎn)數(shù)之和共有36個(gè)等可能的結(jié)果，點(diǎn)數(shù)之和大于8的結(jié)果共有10個(gè)． 所以P(B)＝＝. 當(dāng)藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為3或6時(shí)，兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于8的結(jié)果有5個(gè)，故P(AB)＝. (2)由(1)知P(B|A)＝＝＝. 10．空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index，簡(jiǎn)稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；300以上為嚴(yán)重污染． 一環(huán)保人士記錄去年某地六月10天的AQI的莖葉圖如圖． (1)利用該樣本估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)； (2)將頻率視為概率，從六月中隨機(jī)抽取3天，記三天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的分布列． 解：(1)從莖葉圖中可以發(fā)現(xiàn)樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量為良的天數(shù)為4，所以該樣本中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的頻率為＝，從而估計(jì)該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為30＝18. (2)由(1)估計(jì)某天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為，ξ的所有可能取值為0,1,2,3，且ξ～B. 所以P(ξ＝0)＝3＝， P(ξ＝1)＝C2＝， P(ξ＝2)＝C2＝， P(ξ＝3)＝3＝. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P B級(jí)　能力提升練 11．(2018石家莊模考)某種電路開(kāi)關(guān)閉合后會(huì)隨機(jī)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈閃爍的概率為，則開(kāi)關(guān)在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.設(shè)“開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍”為事件A，“開(kāi)關(guān)第二次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍”為事件B，則“開(kāi)關(guān)兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈閃爍”為事件AB，“開(kāi)關(guān)在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈閃爍”為事件B|A，由題意得P(A)＝，P(AB)＝，∴P(B|A)＝＝，故選C. 12．(2018綿陽(yáng)診斷)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響．假設(shè)這名射手射擊5次，則有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.因?yàn)樵撋涫置看紊鋼魮糁心繕?biāo)的概率是，所以每次射擊不中的概率為，設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，“該射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A，則P(A)＝P(A1A2A34 5)＋P(1 A2A3A4 5)＋P(1 2A3A4A5)＝32＋3＋23＝. 13．設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，且在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A至少發(fā)生一次的概率為，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)X～B(3，p)，則有1－(1－p)3＝，得p＝，則事件A恰好發(fā)生一次的概率為C2＝.故選C. 14．假設(shè)一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，且各引擎是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的．已知4引擎飛機(jī)中至少3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；2引擎飛機(jī)要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才可成功飛行．若要使4引擎飛機(jī)比2引擎飛機(jī)更安全，則p的取值范圍是(　　) A. B． C. D． 解析：選B.一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，正常運(yùn)行的概率是p，且各引擎是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，由題意，4引擎飛機(jī)可以成功飛行的概率是Cp3(1－p)＋p4,2引擎飛機(jī)可以成功飛行的概率是p2，則Cp3(1－p)＋p4＞p2，化簡(jiǎn)得3p2－4p＋1＜0，解得＜p＜1.故選B. 15．已知某種動(dòng)物服用某種藥物一次后當(dāng)天出現(xiàn)A癥狀的概率為.某小組為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)A癥狀的情況，進(jìn)行了藥物試驗(yàn)．試驗(yàn)設(shè)計(jì)為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個(gè)用藥周期．假設(shè)每次用藥后當(dāng)天是否出現(xiàn)A癥狀與上次用藥無(wú)關(guān)． (1)若出現(xiàn)A癥狀，則立即停止試驗(yàn)，求試驗(yàn)至多持續(xù)一個(gè)用藥周期的概率； (2)若在一個(gè)用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則在這個(gè)用藥周期結(jié)束后終止試驗(yàn)．若試驗(yàn)至多持續(xù)兩個(gè)周期，設(shè)藥物試驗(yàn)持續(xù)的用藥周期為η，求η的分布列． 解：(1)解法一：記試驗(yàn)持續(xù)i天為事件Ai，i＝1,2,3,4，試驗(yàn)至多持續(xù)一個(gè)周期為事件B， 易知P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝2，P(A4)＝3， 則P(B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝. 解法二：記試驗(yàn)至多持續(xù)一個(gè)周期為事件B，則為試驗(yàn)持續(xù)超過(guò)一個(gè)周期， 易知P()＝4＝， 所以P(B)＝1－4＝. (2)隨機(jī)變量η的所有可能取值為1,2， P(η＝1)＝C3＋4＝， P(η＝2)＝1－＝， 所以η的分布列為： η 1 2 P 16.(2018陜西省寶雞市高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))現(xiàn)有4個(gè)人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)項(xiàng)目聯(lián)歡，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙項(xiàng)目聯(lián)歡． (1)求這4個(gè)人中恰好有2人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的概率； (2)求這4個(gè)人中去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)的概率； (3)用X，Y分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列． 解：依題意，這4個(gè)人中，每個(gè)人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的概率為，去參加乙項(xiàng)目聯(lián)歡的概率為.設(shè)“這4個(gè)人中恰好有i人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡”為事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，則P(Ai)＝Ci4－i. (1)這4個(gè)人中恰好有2人去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的概率P(A2)＝C22＝. (2)設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C3＋C4＝. 所以，這4個(gè)人中去參加甲項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項(xiàng)目聯(lián)歡的人數(shù)的概率為. (3)ξ的所有可能取值為0,2,4. P(ξ＝0)＝P(A2)＝， P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 2 4 P C級(jí)　素養(yǎng)加強(qiáng)練 17．(2018武漢調(diào)研)某次飛鏢比賽中，規(guī)定每人至多發(fā)射三鏢．在M處每射中一鏢得3分，在N處每射中一鏢得2分，如果前兩次得分之和超過(guò)3分即停止發(fā)射，否則發(fā)射第三鏢．某選手在M處的命中率q1＝0.25，在N處的命中率為q2.該選手選擇先在M處發(fā)射一鏢，以后都在N處發(fā)射，用X表示該選手比賽結(jié)束后所得的總分，其分布列為 X 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 (1)求隨機(jī)變量X的分布列； (2)試比較該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過(guò)3分的概率與選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過(guò)3分的概率的大小． 解：(1)設(shè)該選手在M處射中為事件A，在N處射中為事件B，則事件A，B相互獨(dú)立，且P(A)＝0.25，P()＝0.75，P(B)＝q2，P()＝1－q2. 根據(jù)分布列知：當(dāng)X＝0時(shí)， P( )＝P()P()P()＝0.75(1－q2)2＝0.03， 所以1－q2＝0.2，q2＝0.8. 當(dāng)X＝2時(shí)，P1＝P( B ＋ B)＝P()P(B)P()＋P()P()P(B)＝0.75q2(1－q2)2＝0.24， 當(dāng)X＝3時(shí)， P2＝P(A )＝P(A)P()P()＝0.25(1－q2)2＝0.01， 當(dāng)X＝4時(shí)， P3＝(BB)＝P()P(B)P(B)＝0.75q＝0.48， 當(dāng)X＝5時(shí)，P4＝P(A B＋AB)＝P(A B)＋P(AB)＝P(A)P()P(B)＋P(A)P(B)＝0.25q2(1－q2)＋0.25q2＝0.24. 所以隨機(jī)變量X的分布列為： X 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 (2)該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過(guò)3分的概率為0.48＋0.24＝0.72. 該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過(guò)3分的概率為 P(BB＋BB＋BB)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB)＝2(1－q2)q＋q＝0.896. 所以該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過(guò)3分的概率大．