九年級數(shù)學上冊 專題突破講練 一元二次方程的根與系數(shù)究竟有何關系試題 （新版）青島版.doc

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一元二次方程的根與系數(shù)究竟有何關系一、一元二次方程根與系數(shù)的關系如果一元二次方程ax2bxc0（a0）有兩個實數(shù)根x1、x2，則x1x2，x1x2。方法歸納：（1）如果方程x2pxq0的兩個實數(shù)根是x1、x2，那么x1x2p，x1x2q。（2）以x1、x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2（x1x2）xx1x20或（xx1）（xx2）0。二、一元二次方程根與系數(shù)的關系的應用（1）驗根；（2）已知方程的一個根，求方程的另一個根及未知系數(shù)；（3）不解方程，可以利用根與系數(shù)的關系求關于x1、x2的對稱式的值。方法歸納：利用方程根與系數(shù)的關系求代數(shù)式的值，幾個重要變形如下：（1）x12x22（x1x2）22x1x2；（2）；（3）；（4）（x1x2）2（x1x2）24x1x2；（5）x1x2?？偨Y：1. 已知一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足某種關系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍。2. 利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可以進一步討論根的符號。例題1 已知方程x22x10，則此方程（ ）A. 無實數(shù)根 B. 兩根之和為2 C. 兩根之積為1 D. 有一根為1解析：根據(jù)已知方程的根的判別式符號確定該方程的根的情況；由根與系數(shù)的關系確定兩根之積、兩根之和的值；通過求根公式即可求得方程的根。A. （2）241（1）80，則該方程有兩個不相等的實數(shù)根。故本選項錯誤；B. 設該方程的兩根分別是、，則2。即兩根之和為2，故本選項錯誤；C. 設該方程的兩根分別是、，則1。即兩根之積為1，故本選項正確；D. 根據(jù)求根公式x1可知，原方程的兩根是（1）和（1），故本選項錯誤。故選C。答案：C點撥：本題綜合考查了根與系數(shù)的關系、根的判別式以及求根公式的應用。利用根與系數(shù)的關系、求根公式解題時，務必清楚公式中的字母所表示的含義。例題2 設x1、x2是方程x2xxx0的兩個實數(shù)根，求x13xxx2xx的值。解析：由原方程可知x2xxx，xx2xx；x12x1xx，x1x12xx。由根與系數(shù)的關系可知x1x21，根據(jù)以上關系代入求值即可。答案：x2xxx0，x2xxx，xx2xx。又x1、x2是方程x2xxx0的兩個實數(shù)根x1x21x13xxx2xxx1x12xxx2x2xxx1（x1xx）xxx2x2xxx12xxx1xxx2x2xx（x1xx）xxx1xxx2x2xxx1x2xx（x1x2）xxxx1xxxx點撥：本題考查了根與系數(shù)的關系，對所求代數(shù)式的變形是解答此題的關鍵點和難點。利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可以進一步討論根的符號。設一元二次方程ax2bxc0（a0）的兩個實數(shù)根為x1、x2，則（1）當0且x1x20時，兩根同號，即（2）當0且x1x20時，兩根異號，即例題 如果關于x的方程x2pxq0（p、q是正整數(shù)）的正根小于3，那么這樣的方程的個數(shù)是（ ）A. 5個B. 6個C. 7個D. 8個解析：p、q是正整數(shù)，且p24q0，原方程有兩個不相等的實數(shù)根。又x1x2q0，此方程兩根異號。這個方程的正根為，即3。解得q93p，其正整數(shù)解是：、。故選C。答案：C點撥：要判斷一元二次方程的根的符號有一個前提條件不能忽略，那就是判別式0，然后再依據(jù)x1x2和x1x2的正負情況進行判斷。（答題時間：30分鐘）一、選擇題1. 已知（xa）（xb）x22x1，則ab（ ）A. 2B. 1C. 1D. 22. 已知一元二次方程x26xc0有一個根為2，則另一個根為（ ）A. 2B. 3C. 4D. 83. 已知m、n是關于x的一元二次方程x23xa0的兩個解，若（m1）（n1）6，則a的值為（ ）A. 10B. 4C. 4D. 10*4. 設x1、x2是方程x23x30的兩個實數(shù)根，則的值為（ ）A. 5B. 5C. 1D. 1*5. 若m、n是方程x22x10的兩個實數(shù)根，則的值是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8*6. 若方程x22px3p20的兩個不相等的實數(shù)根x1、x2滿足x12x14（x22x2），則實數(shù)p的可能的值為（ ）A. 0或1B. 0C. 0或4D. 4二、填空題7. 若x11是關于x的方程x2mx50的一個根，則方程的另一個根x2_。8. 已知關于x的一元二次方程x2x30的兩個實數(shù)根分別為、，則（3）（3）_。*9. 已知實數(shù)a、b不相等，并且a215a，b215b，則_。*10. 已知關于x的方程x2（ab）xab10，x1、x2是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結論：x1x2；x1x2ab；x12x22a2b2。則正確的結論是_。（填上你認為正確結論的所有序號）三、解答題11. 已知關于x的方程x2xn0有兩個實數(shù)根2、m。求m、n的值。*12. 已知、是關于x的一元二次方程x2（2m3）xm20的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足1，試求m的值。*13. 已知、是方程x22x10的兩個實數(shù)根，試求3510的值。*14. 已知關于x的一元二次方程x2（2k1）xk22k0有兩個實數(shù)根x1、x2。（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k使得x1x2x12x220成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由。*15. 已知關于x的方程x22mxm22x的兩個實數(shù)根x1、x2滿足x1x2，求實數(shù)m的值。一、選擇題1. C 解析：注意本題ab不是利用根與系數(shù)的關系求得的，根據(jù)等式的性質求解即可。2. C 解析：設方程的另一個根為x1，由題意可知x126，所以x14，即方程的另一根為4。3. C 解析：根據(jù)題意得：mn3，mna，（m1）（n1）mn（mn）16，a316，解得a4，故選C。*4. B 解析：由題意可知x1x23，x1x23，5。*5. D 解析：由已知得mn2，mn1，則（mn）2（mn）24mn（2）2416，mn4。8。*6. B 解析：原方程有兩個不相等的實數(shù)根，（2p）24（3p2）0，即p23p20，且x1x22p，x1x23p2。又x12x14（x22x2），即x12x22x1x24，（x1x2）22x1x2（x1x2）4，即（2p）22（3p2）2p4，4p24p0，解得p0或1。當p0時0，當p1時0（舍去），所以p的可能的值為0。二、填空題7. 5 解析：由x1x25且x11，得x25。8. 9 解析：1，3，（3）（3）3（）933199。*9. 23 解析：a、b滿足a215a，b215b，即a、b是x215x的兩個實數(shù)根，整理此方程為x25x10，根據(jù)根與系數(shù)的關系可知ab5，ab1。23。*10. 解析：方程x2（ab）xab10中，（ab）24（ab1）（ab）240，x1x2，故正確；x1x2ab1ab，故正確；x1x2ab，x1x2ab1，x12x22（x1x2）22x1x2（ab）22ab2a2b22a2b2，即x12x22a2b2。故錯誤；綜上所述，正確結論的序號是：。三、解答題11. 解：關于x的方程x2xn0有兩個實數(shù)根2、m，解得，即m、n的值分別是1、2。*12. 解：根據(jù)條件知：（2m3），m2，1，即m22m30，所以有，解得m3。*13. 解：是方程x22x10的根，212。3a2a（12）222（12）52，又2，3510（52）5105（）85（2）82。*14. 解：（1）原方程有兩個實數(shù)根，（2k1）24（k22k）4k24k14k28k14k0，k。當k時，原方程有兩個實數(shù)根。（2）假設存在實數(shù)k使得x1x2x12x220成立。理由如下：x1、x2是原方程的兩個實數(shù)根，x1x22k1，x1x2k22k。由x1x2x12x220得3x1x2（x1x2）20。3（k22k）（2k1）20，整理得：（k1）20，只有當k1時，上式成立。又由（1）知k，不存在實數(shù)k使得x1x2x12x220成立。*15. 解：原方程可變形為：x22（m1）xm20，x1、x2是方程的兩個實數(shù)根，0，即4（m1）24m20，8m40，m。又x1、x2滿足x1x2，x1x2或x1x2，即0或0且x1x20，由0，即8m40，得m。由x1x20，即2（m1）0，得m1（不合題意，舍去）。當x1x2時，m的值為。