九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題突破講練 a、b、c對(duì)拋物線y＝ax2＋bx＋c的影響試題 （新版）青島版.doc

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a、b、c對(duì)拋物線yax2bxc的影響拋物線yax2bxc的圖象及性質(zhì)與系數(shù)a、b、c的關(guān)系制表a、b、c的代數(shù)式作用說明a（1）a的正、負(fù)決定拋物線的開口方向；（2）a的大小決定拋物線的開口大小，a越大，開口越?。籥越小，開口越大a0開口向上a0開口向下c確定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）c0交點(diǎn)在y軸的正半軸c0交點(diǎn)在原點(diǎn)c0交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸確定對(duì)稱軸的位置，對(duì)稱軸為直線xa、b同號(hào)對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)a、b異號(hào)對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)b24ac確定拋物線與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)b24ac0拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)b24ac0拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)b24ac0拋物線與x軸無交點(diǎn)方法歸納：（1）當(dāng)x1時(shí)，yabc；當(dāng)x1時(shí)，yabc。若abc0，則x1時(shí)y0；若abc0，則x1時(shí)y0。（2）a、b的符號(hào)決定拋物線的對(duì)稱軸的位置。當(dāng)b0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；當(dāng)ab0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；當(dāng)ab0時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)?？偨Y(jié)：1. 根據(jù)a、b、c的符號(hào)判斷二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象的位置。2. 根據(jù)二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，a、b、c的符號(hào)，一元二次方程ax2bxc0的解。例題1 二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，給出下列說法：ac0；2ab0；abc0；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大；當(dāng)y0時(shí)，1x3。其中，正確的說法有（ ）A. B. C. D. 解析：根據(jù)圖象開口向下和與y軸的交點(diǎn)位置，求出a0，c0，即可判斷；根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)1可判定；把x1代入拋物線，根據(jù)縱坐標(biāo)y的值可判斷；根據(jù)圖象的性質(zhì)（部分圖象的延伸方向）可判斷；根據(jù)圖象在x軸的上方時(shí)，y0，即可求出x的取值范圍。答案：拋物線的開口向下，與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，a0，c0，ac0，錯(cuò)誤；由圖象可知：1，2ab0，正確；當(dāng)x1時(shí)，yabc0，錯(cuò)誤；由圖象可知：當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而減小，錯(cuò)誤；根據(jù)圖象，當(dāng)1x3時(shí)，y0，正確；正確的說法有。點(diǎn)撥：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，注意：根據(jù)拋物線的開口方向即可得到a的正負(fù)，根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可求出c的值，根據(jù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)得出2a和b的關(guān)系式，把x1或1代入即可求出abc和abc的值，題型較好，但有一定的難度。例題2 已知一元二次方程7x2（k13）xk20的兩實(shí)數(shù)根x1、x2滿足0x11，1x22，求k的取值范圍。解析：畫出二次函數(shù)y7x2（k13）xk2的草圖，根據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)確定不等式。答案：令y7x2（k13）xk2，則由已知條件可知，此拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0）、（x2，0），0x11，1x22，并且開口向上，根據(jù)這些特點(diǎn)，畫出其大致圖象，如圖所示，由圖象可得，即。解這個(gè)不等式組得2k。點(diǎn)撥：本題用到了建模的思想，即建立二次函數(shù)模型，用函數(shù)知識(shí)解決方程問題，同時(shí)本題還運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，把變化的“數(shù)”用“形”清楚地顯示出來。觀察二次函數(shù)的圖象時(shí)，重點(diǎn)是“六點(diǎn)一軸一方”。所謂“六點(diǎn)”是指拋物線與x軸兩交點(diǎn)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）、與y軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)、x1時(shí)對(duì)應(yīng)的拋物線上的點(diǎn)（1，y（1）、（1，y（1），“一軸”即對(duì)稱軸，“一方”就是開口方向。其中開口方向決定a的符號(hào)，對(duì)稱軸及a的符號(hào)決定b的符號(hào)，c的符號(hào)由拋物線與y軸的交點(diǎn)位置決定，b24ac的符號(hào)由拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)決定，點(diǎn)（1，y（1）決定abc的符號(hào)，點(diǎn)（1，y（1）決定abc的符號(hào)，同時(shí)應(yīng)注意上述說法反過來也成立。例：若x1、x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc（a0）的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x1、x2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：x1x2，x1x2。把它稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系定理。如果設(shè)二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0）。利用根與系數(shù)的關(guān)系定理可以得到A、B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為：ABx1x2。參考以上定理和結(jié)論，解答下列問題：設(shè)二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然ABC為等腰三角形。（1）當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，求b24ac的值；（2）當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)，求b24ac的值。解：（1）當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，過C作CEAB于E，則AB2CE。拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，b24ac0，則b24acb24ac。a0，AB，又CE，2，b24ac，b24ac0，b24ac4；（2）當(dāng)ABC為等邊三角形時(shí)，由等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理可得CEAB，b24ac0，b24ac12。分析：本題考查了等腰直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)及根與系數(shù)的關(guān)系定理，綜合性較強(qiáng)，難度中等。解題關(guān)鍵是建立拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)與拋物線和x軸兩交點(diǎn)間線段長(zhǎng)度的數(shù)量關(guān)系。（答題時(shí)間：30分鐘）一、選擇題1. 二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A. a0B. 當(dāng)1x3時(shí)，y0C. c0D. 當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而增大*2. 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)yaxb與二次函數(shù)yax28xb的圖象可能是（ ）*3. 如圖所示，二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，其中2x11，0x21，下列結(jié)論：abc0；4a2bc0；2ab0。其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 0個(gè)*4. 已知b0時(shí)，二次函數(shù)yax2bxa21的圖象如下列四個(gè)圖之一所示。根據(jù)圖象分析，a的值等于（ ）A. 2B. 1C. 1D2*5. 如圖，拋物線yax2bxc（a0）過點(diǎn)（1，0）和點(diǎn)（0，2），且頂點(diǎn)在第三象限，設(shè)Pabc，則P的取值范圍是（ ）A. 4P0B. 4P2C. 2P0D. 1P0*6. 小軒從如圖所示的二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象中，觀察得出了下面五條信息：ab0；abc0；b2c0；a2b4c0；ab。你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有（ ）A. 2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)二、填空題7. 如圖所示，在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，二次函數(shù)y1ax2bxc（a0）和一次函數(shù)y2dxe（d0）的圖象相交于點(diǎn)A（m，n）和點(diǎn)B（p，q）。當(dāng)y1y2時(shí)，用m、p表示x的取值范圍是_。8. 若二次函數(shù)yx26xc的圖像過A（1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3），則y1、y2、y3的大小關(guān)系是_。*9. 若關(guān)于x的函數(shù)ykx22x1與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為_。*10. 已知二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：abc0；bac；4a2bc0；2c3b；abm（amb）（m是不等于1的實(shí)數(shù)）。其中正確結(jié)論的序號(hào)有_。三、解答題11. 已知拋物線y1ax2bxc（a0，ac）過點(diǎn)A（1，0），頂點(diǎn)為B，且拋物線不經(jīng)過第三象限。（1）使用a、c表示b；（2）判斷點(diǎn)B所在象限，并說明理由。*12. 我們知道，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線的解析式可以是yax2bx（a0）。（1）對(duì)于這樣的拋物線：當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a_；當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m0時(shí)，a與m之間的關(guān)系式是_；（2）繼續(xù)探究，如果b0，且過原點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)在直線ykx（k0）上，請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示b。*13. 已知拋物線y1ax2bxc（a0）與x軸相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A，B在原點(diǎn)O兩側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A，C在一次函數(shù)y2xn的圖象上，線段AB長(zhǎng)為16，線段OC長(zhǎng)為8，當(dāng)y1隨著x的增大而減小時(shí)，求自變量x的取值范圍。*14. 已知二次函數(shù)ya（xm）2a（xm）（a、m為常數(shù)，且a0）。（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）設(shè)該函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D。當(dāng)ABC的面積等于1時(shí)，求a的值：當(dāng)ABC的面積與ABD的面積相等時(shí)，求m的值。一、選擇題1. B 解析：A. 拋物線的開口方向向下，則a0，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B. 拋物線的對(duì)稱軸為x1，拋物線與x軸的一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，則拋物線與x軸的另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，所以當(dāng)1x3時(shí)，y0。故本選項(xiàng)正確；C. 該拋物線與y軸交于正半軸，則c0，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D. 根據(jù)圖示知，當(dāng)x1時(shí)，y隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選B。*2. C 解析：x0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值均為yb，所以兩個(gè)函數(shù)的圖象與y軸相交于同一點(diǎn)，故B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；由A、C選項(xiàng)可知，拋物線開口方向向上，所以a0，所以一次函數(shù)yaxb經(jīng)過第一、三象限，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確。故選C。*3. C 解析：由圖可知c0，a0，0，b0，abc0，正確；當(dāng)x2時(shí)y0，即4a2bc0，正確；由對(duì)稱軸1得10，a0，2ab0，正確。*4. C 解析：由圖可知，第1、2兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸為y軸，所以x0，解得b0，與已知中b0相矛盾；第3個(gè)圖拋物線開口向上，a0，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，a210，解得a11，a21（舍去），對(duì)稱軸x0，所以b0，符合題意，故a1，第4個(gè)圖拋物線開口向下，a0，經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，a210，解得a11（舍去），a21，對(duì)稱軸x0，所以b0，不符合題意，綜上所述，a的值等于1。故選C。*5. A 解析：二次函數(shù)的圖象開口向上，a0，對(duì)稱軸在y軸的左邊，0，b0，圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），過（1，0）點(diǎn)，代入得：ab20，a2b，b2a，yax2（2a）x2，把x1代入得：ya（2a）22a4，即yabcP。b0，b2a0，a2，a0，0a2，02a4，42a40，即4P0，故選A。*6. D 解析：如圖，拋物線開口方向向下，a0。對(duì)稱軸x，ba0，ab0，且有3b2a，ab。故和正確；如圖，當(dāng)x1時(shí)，y0，即abc0。故正確；如圖，當(dāng)x1時(shí)，yabc0，2a2b2c0，又3b2a，3b2b2c0，即b2c0。故正確；如圖，當(dāng)x1時(shí)，y0，即abc0。拋物線與y軸交于正半軸，則c0。b0，cb0，（abc）（cb）2c0，即a2b4c0。故正確。綜上所述，正確的結(jié)論是，共5個(gè)。故選D。二、填空題7. mxp 解析：直接觀察圖象即可。8. y1y3y2 解析：因?yàn)榇藪佄锞€的對(duì)稱軸是x3，開口向上，所以A、B在對(duì)稱軸左側(cè)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸右側(cè)，因?yàn)?（1）（3）332，由拋物線的對(duì)稱性可知y1y3y2。*9. k0或k1 解析：函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，有兩個(gè)可能：（1）當(dāng)k0時(shí)，是一次函數(shù)，符合題意；（2）當(dāng)k0時(shí)，44k0，解得k1，所以k0或k1。*10. 解析：由圖象可知，a0，c0，0，所以b0，因此，abc0，正確；當(dāng)x1時(shí)，y0，所以abc0，即bac，所以錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸1，得b2a，又拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在1與0之間，另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)必大于2，當(dāng)x2時(shí)y4a2bc0，正確；對(duì)于，由知b2a且bac，所以2b2a2c，2c3b，正確；x1時(shí)，yabc（最大值），xm時(shí)，yam2bmc，m1，abcam2bmc，abm（amb）成立。錯(cuò)誤，選。三、解答題11. 解：（1）拋物線y1ax2bxc（a0，ac）經(jīng)過A（1，0），代入可得bac；（2）B在第四象限。理由如下：拋物線y1ax2bxc（a0，ac）過點(diǎn)A（1，0），x11，x2，ac，所以拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，又因?yàn)閽佄锞€不經(jīng)過第三象限，所以a0，且頂點(diǎn)在第四象限。*12. 解：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），解得。即當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a1；當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m0時(shí)，解得。則a與m之間的關(guān)系式是：a或am10。（2）a0，yax2bxa（x）2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）。又該頂點(diǎn)在直線ykx（k0）上，k（）。b0，b2k。*13. 解：根據(jù)OC長(zhǎng)為8可得一次函數(shù)中n的值為8或8。分類討論：n8時(shí)，易得A（6，0），如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C，且與x軸交點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩側(cè)，拋物線開口向下，則a0，AB16，且A（6，0），B（10，0），而A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)稱軸直線x2，要使y1隨著x的增大而減小，而a0，x2；n8時(shí)，易得A（6，0），如圖2，拋物線過A、C兩點(diǎn)，且與x軸交點(diǎn)A，B在原點(diǎn)兩側(cè)，拋物線開口向上，則a0，AB16，且A（6，0），B（10，0），而A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，對(duì)稱軸直線x2，要使y1隨著x的增大而減小，且a0，x2。*14. （1）證明：ya（xm）2a（xm）ax2（2ama）xam2am。因?yàn)楫?dāng)a0時(shí)，（2ama）24a（am2am）a20，所以方程ax2（2ama）xam2am0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。所以不論a與m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。（2）解：ya（xm）2a（xm）a（x）2，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，）。當(dāng)y0時(shí)，a（xm）2a（xm）0，解得x1m，x2m1，所以AB1。當(dāng)ABC的面積等于1時(shí)，11，解得a8或a8。當(dāng)x0時(shí)，yam2am，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，am2am）。ABC的面積與ABD的面積相等有三種情況：拋物線與y軸交點(diǎn)正好是頂點(diǎn)、拋物線與y軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)在x軸的異側(cè)，無論哪種情況均有11am2am，即am2am，所以m，或m，或m。