九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專(zhuān)題突破講練 三招教你求陰影面積試題 （新版）青島版.doc

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三招教你求陰影面積在近年的中考或各類(lèi)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，頻頻出現(xiàn)求陰影面積的題目，而其陰影部分圖形大多又是不規(guī)則的，部分同學(xué)乍遇這類(lèi)題目則顯得不知所措求不規(guī)則圖形面積主要是通過(guò)轉(zhuǎn)化，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，再進(jìn)行計(jì)算 以下三招可以助你一臂之力！第一招：直接法將不規(guī)則圖形直接轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形的求和或求差，先求出涉及適合該圖形的面積計(jì)算公式中某些線(xiàn)段、角的大小，然后直接代入公式進(jìn)行計(jì)算這是求面積的常用方法不規(guī)則陰影部分常常由三角形、四邊形、弓形、扇形和圓、圓弧等基本圖形組合而成的，其中：1. 扇形的定義：如下圖，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形是扇形2. 扇形面積公式：若設(shè)O半徑為R，則圓心角為n的扇形的面積公式為：又因?yàn)閚的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為：，所以說(shuō)明：公式中n表示1圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；例如：如圖，扇形AOB的圓心角為直角，若OA4cm，以AB為直徑作半圓，求陰影部分的面積解析：圖中陰影部分面積為：以AB為直徑的半圓面積減去弓形AmB面積；而弓形面積等于扇形AOB面積減去AOB面積解：OA4cm，O90，OB4cm，（cm2），又，所以，而，故第二招：割補(bǔ)法1. 把陰影部分的圖形通過(guò)割補(bǔ)，拼成規(guī)則圖形，然后再求面積例如：如圖（1），在以AB為直徑的半圓上，過(guò)點(diǎn)B做半圓的切線(xiàn)BC，已知AB=BC=，連結(jié)AC，交半圓于D，則陰影部分圖形的面積是_解析：圖中兩塊陰影部分圖形都是不規(guī)則圖形，但因，所以可進(jìn)行割補(bǔ)轉(zhuǎn)化解：連接DB，因?yàn)锳B=BC， ，如圖（2），所以 AD=DB=DC，所以把弓形AD割補(bǔ)到弓形DB處，則圖（1）中陰影部分圖形的面積等于圖（2）中RtBDC的面積因此2. 當(dāng)陰影部分圖形為分散的個(gè)體時(shí)，可針對(duì)其結(jié)構(gòu)特征，視各陰影部分圖形為一個(gè)整體，然后利用相關(guān)圖形的面積公式整體求出例如：如圖，A、B、C、D、E相外離，它們的半徑都是1，順次連接五個(gè)圓心得到五邊形ABCDE，則圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積之和是多少？解析：由題意知，五個(gè)扇形（陰影部分）的半徑都是1，是等圓，可把五個(gè)扇形割補(bǔ)到同一個(gè)圓中解：因?yàn)椋珹+B+C+D+E=（5-2）180=540所以第三招：等積變形把所求陰影部分的圖形適當(dāng)進(jìn)行等積變形，即是找出與它面積相等的特殊圖形，從而求出陰影部分圖形的面積例如：如圖，A是半徑為2的O外一點(diǎn)，OA4，AB是O的切線(xiàn)，點(diǎn)B是切點(diǎn)，弦BCOA，連結(jié)AC，求圖中陰影部分的面積解析：圖中陰影部分可看作弓形BC面積與三角形ABC面積的和，而ABC不是Rt，所以考慮借助OABC將ABC移形，連接OC、OB，則SOCBSACB則陰影部分面積為扇形AOB面積解：連接OB、OC，如圖，因?yàn)锽COA，所以ABC與OBC在BC上的高相等，所以，所以，又AB是O的切線(xiàn)，所以O(shè)BAB，而OB2，OA4，所以AOB60，由BCOA得OBC60，所以O(shè)BC為等邊三角形，BOC60，例題 如圖，AB、CD是O的兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)O1、O2、O3、O4分別OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，若O的半徑是2，則陰影部分的面積為（ ）A. 8 B. 4 C. 4+4 D. 44解析：如圖將AD、DB、BC、CA、OE、O3E連接起來(lái)，得到一個(gè)對(duì)角線(xiàn)為4的正方形，由割補(bǔ)法：將每個(gè)小圓外面兩個(gè)弓形圖形放進(jìn)正方形空白處，陰影面積正好是正方形面積解：連接AD，DB，BC，CA，故選A答案：A點(diǎn)撥：求解一些幾何圖形的面積，特別是不規(guī)則幾何圖形的面積時(shí)，?？赏ㄟ^(guò)變換等，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這種解題方法也體現(xiàn)了整體思想、轉(zhuǎn)化思想割補(bǔ)法是轉(zhuǎn)化法的一種求旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中的陰影面積滿(mǎn)分訓(xùn)練 （江蘇中考）如圖，在ABC中，BAC90，AB5cm，AC2cm，將ABC繞頂點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45至A1B1C的位置，則線(xiàn)段AB掃過(guò)區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為 cm2 解析：陰影部分的圖形是不規(guī)則的圖形，求面積時(shí)應(yīng)想到利用圖形的割補(bǔ)或利用特殊圖形的面積的和或差來(lái)求解：BAC90，BC2AB2AC2522229S陰影S扇形BCB1SA1B1CSABCS扇形ACA1 ABC旋轉(zhuǎn)得到A1B1C，SABCSA1B1C，S陰影S扇形BCB1S扇形ACA1（cm2），故答案為答案：點(diǎn)撥：扇形面積的計(jì)算公式：S，SlR，求陰影面積（或不規(guī)則圖形面積）時(shí)常用圖形割補(bǔ)的方法（圖形變換），或用幾個(gè)特殊圖形的面積的和或差來(lái)求利用旋轉(zhuǎn)變換將所求面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)扇形的面積之差是解題關(guān)鍵。（答題時(shí)間：30分鐘）1. （德州中考）如圖，扇形AOB的半徑為1，AOB=90，以AB為直徑畫(huà)半圓，則圖中的陰影部分的面積為（ ）A. p B. p- C. D. p+2. 如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB是O的直徑，AB4，BED120，則圖中陰影部分的面積之和為（ ）A. 1 B. C. D. 2*3. 如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)RtABC斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)，交直角邊AC于點(diǎn)E B，E是半圓弧的三等分點(diǎn)，弧BE的長(zhǎng)為，則圖中陰影部分的面積為（ ）A. B. C. D. *4. 在ABC中，C為銳角，分別以AB、AC為直徑作半圓，過(guò)點(diǎn)B、A、C作弧，如圖所示，若AB=4，AC=2，則S3S4的值是（ ）A. B. C. D. 5. 如圖，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=6，兩等A、B外切，那么圖中兩個(gè)扇形（即陰影部分）的面積之和為 6. 如圖，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在55的網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度）的格點(diǎn)上，將ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ABC的位置，且點(diǎn)A、C仍落在格點(diǎn)上，則圖中陰影部分的面積約是 （314，結(jié)果精確到01）*7. 如圖，在RtABC中，C90，A30，AB2 將ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至ABC的位置，B、A、C三點(diǎn)共線(xiàn)，則線(xiàn)段BC掃過(guò)的區(qū)域面積為 8. 如圖，三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，則圖中陰影部分面積的和是 （結(jié)果保留）*9. 如圖，AB是O的直徑，AC是弦，直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，ADEF于點(diǎn)D，DAC=BAC（1）求證EF是O的切線(xiàn)；（2）求證AC2=ADAB（3）若O的半徑為2，ACD=30，求圖中陰影部分的面積10. 如圖，在ABC中，ACB=90，E為BC上的一點(diǎn)，以CE為直徑作O，AB與O相切于點(diǎn)D，連接CD，若BE=OE=2（1）求證：A=2DCB；求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留和根號(hào)）*11. 如圖，AB是O的直徑，C是半圓O上的一點(diǎn)，AC平分DAB，ADCD，垂足為D，AD交O于E，連接CE（1）判斷CD與O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若E是的中點(diǎn)，O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積*12. 如圖，AB為O的直徑，AC、DC為弦，ACD=60，P為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，APD=30（1）求證：DP是O的切線(xiàn)；若O的半徑為3cm，求圖中陰影部分的面積13. 如圖，AB是半圓O的直徑，且AB8，點(diǎn)C為半圓上的一點(diǎn)將此半圓沿BC所在的直線(xiàn)折疊，若恰好過(guò)圓心O，則圖中陰影部分的面積是 （結(jié)果保留） 1. C 解析：因?yàn)樯刃蜛OB的半徑為1，AOB=90，所以AB=，AOB的面積為，扇形AOB的面積為，所以弓形的面積為，又因?yàn)榘雸A的面積為，所以陰影部分的面積為：（）=故選C2. C 解析：連接AE、OD，AB是直徑，AEBC點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB=AC在AEB與AEC中，AE=AE，AEB=AEC=90，BE=CE，RtAEBRtAEC，AB=AC（SAS）ABC是等腰三角形BED=120，BAD=60（圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)），ABC是等邊三角形（有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形）OA=OD，OAD是等邊三角形，AD=OA=2，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，DE=2（三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半），BAE=30，BE=AB=2，DE=BE，=，=又DE是ABC的中位線(xiàn)，CDE是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，= 故選C3. D 解析：如下圖所示：連接OB、OE、BE、BD設(shè)半圓的半徑為RB、E是半圓弧的三等分點(diǎn)，DOBBOEEOA60弧BE的長(zhǎng)為，解得R2S扇形OBE2AD是半圓O的直徑，ABD90在RtABD中，BADDOB30，ABADcosBAD4在RtABC中，C90，BACBOE30，BCAB，ACABcosBAC3SABCACBC3OBOE，BOE60，BOE是等邊三角形，BEO60EOA，BEAD，SABESOBE，S陰影SABCSABES弓形OBESABCSOBES弓形OBESABCS扇形OBE 故選D4. D 解析：S1+S3=AB2=2 ，S2+S4=AC2= ，得：（S1S2）+（S3S4）=， S3S4=故選D5. 解析：C=90，AC=8，BC=6AB=10C=90A+B=90，由等圓可知A、B的半徑為5，根據(jù)扇形的面積計(jì)算公式，可得陰影部分的面積等于+=6. 7.2 解析：依題意，得扇形的半徑，圓心角ABA90，圖中陰影部分的面積扇形的面積直角三角形的面積23133314133102053727. 解析：8. 解析：圖中三塊陰影部分都是扇形，且半徑相等，由平行線(xiàn)內(nèi)錯(cuò)角相等和正方形的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)可知，三個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)之和為，所以，圖中陰影部分面積的和為=9. 解析：證明：連接OC，ADEF，ADC=90，ACD+CAD=90，OC=OA，ACO=CAO，DAC=BAC，CAD=ACO，ACD+CAD=90，ACD+ACO =90即OCD=90，EF是O的切線(xiàn).證明：連接BCCD是O的切線(xiàn)，OCD=90，即ACD+ACO=90OC=OA，ACO=CAO，AOC=1802ACO，即AOC+ACO=90，由得：ACDAOC=0，即AOC=2ACD；AOC=2B，B=ACD，AB是直徑，ACB=ADC=90在RtACD與RtACB中，B=ACD ACB=ADC，ACDABC，即AC2=ABADCD是O的切線(xiàn)，OCD=90， 即ACD+ACO=90，ACD=30，OCA=60，OC=OA，ACO是等邊三角形，AC= OC=2，AOC=60，在RtADC中，ACD=30，AD=1，CD=，S陰影= S梯形OCDA S扇形OCA=10. 解析：（1）證明：連接ODAB與O相切于點(diǎn)D，ODB=90，B+DOB=90，ACB=90，A+B=90，A=DOB，OC=OD，DOB=2DCB，A=2DCB;（2）在RtODB中，OD=OE，OE=BE，cosB=，DOB=60BD=OBsin60=2S扇形ODE=，S陰影=SDOBS扇形ODE=211. 解析：（1）CD與圓O相切，理由為：AC為DAB的平分線(xiàn)，DAC=BAC，OA=OC，OAC=OCA，DAC=OCA，OCAD，ADCD，OCCD，CD與圓O相切；（2）連接EB，由AB為直徑，得到AEB=90，EBCD，F(xiàn)為EB的中點(diǎn)，OF為ABE的中位線(xiàn)，OF=AE=，即CF=DE=，在RtOBF中，根據(jù)勾股定理得：EF=FB=DC=，則S陰影=SDEC=12. 解析：連接OD、DB，ACD=60ABD=60又OB=OD，OBD為等邊三角形，BOD=60又APD=30，ODP=90，ODDP，又點(diǎn)D在O上，DP是O的切線(xiàn)由知ODP為Rt，APD=30，tan30=，DP=S陰影=SODP-S扇形=ODDP=3-=-答：陰影部分的面積為cm13. 解析：如下圖，連接OC，過(guò)點(diǎn)O作OGBC于點(diǎn)G，交半圓周于點(diǎn)D易知直線(xiàn)BC、OD是兩條弧BOC與BDC所圍成的圖形的對(duì)稱(chēng)軸，故OGOC，從而OCG30，COGGOB60，AOC60由對(duì)稱(chēng)性易知，弧OFB與半徑OB組成的弓形面積等于弧OEC與半徑OC組成的弓形面積，因此，S陰影部分S扇形OAC