九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 四點(diǎn)共圓問(wèn)題大盤點(diǎn)試題 （新版）青島版.doc

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四點(diǎn)共圓問(wèn)題大盤點(diǎn)1. 四點(diǎn)共圓的性質(zhì)：（1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角度數(shù)相等；（2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；（3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。2. 四點(diǎn)共圓常用的判定方法：判定1：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)在同一圓上。 如果：OA=OB=OC=OD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。判定2：若兩個(gè)直角三角形共斜邊，則四個(gè)頂點(diǎn)共圓，且直角三角形的斜邊為圓的直徑。 如果：ABD和BCD是直角三角形，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。判定3：共底邊的兩個(gè)三角形頂角相等，且在底邊的同側(cè)，則四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 如果：A、D在公共邊BC同側(cè)，且A=D，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。判定4：對(duì)于凸四邊形ABCD，若對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。 如果：1+2=180或1=3，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。判定5：對(duì)于凸四邊形ABCD其對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P，若PAPC=PBPD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。（相交弦定理的逆定理）例題 （鄭州模擬）如圖，在正ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于點(diǎn)F。（1）求證：A、E、F、D四點(diǎn)共圓；（2）若正ABC的邊長(zhǎng)為2，求A、E、F、D所在圓的半徑。解析：（1）依題意，可證得BADCBE，從而得到ADB=BECADF+AEF=180，即可證得A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓；（2）取AE的中點(diǎn)G，連接GD，可證得AGD為正三角形，GA=GE=GD=，即點(diǎn)G是AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為。答案：（1）證明：AE=AB，BE=AB，在正ABC中，AD=AC，AD=BE，又AB=BC，BAD=CBE，BADCBE，ADB=BEC，即ADF+AEF=180，所以A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓。 （2）解：如圖，取AE的中點(diǎn)G，連接GD，則AG=GE=AE，AE=AB，AG=GE=AB=，AD=AC=，DAE=60，AB=ACAGD為正三角形，GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以點(diǎn)G是AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為，由于A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，即A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓G，其半徑為。點(diǎn)撥：本題著重考查全等三角形的證明與四點(diǎn)共圓的證明，突出推理能力與分析運(yùn)算能力的考查，屬于難題?！痉椒ǘㄎ弧繉⒁阎獥l件、欲求的結(jié)論以及所給圖形的特點(diǎn)三個(gè)方面認(rèn)真分析、思考，即可發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)利用四點(diǎn)共圓的有關(guān)性質(zhì)以及定理，就能巧妙地找到解決問(wèn)題的途徑。也就是說(shuō)，四點(diǎn)共圓有時(shí)在解（證）題中起著“搭橋鋪路”的作用。例題 （河南模擬）如圖：AB是O的直徑，G是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，GCD是O的割線，過(guò)點(diǎn)G作AG的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)G作O的切線，切點(diǎn)為H。（1）求證：C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；（2）若GH=6，GE=4，求EF的長(zhǎng)。解析：（1）連接DB，利用AB是O的直徑，可得ADB=90，在RtABD和RtAFG中，ABD=AFE，又同弧所對(duì)的圓周角相等可得ACD=ABD，進(jìn)而得到ACD=AFE即可證明四點(diǎn)共圓；（2）由C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，利用共線定理可得GEGF=GCGD。由GH是O的切線，利用切割線定理可得GH2=GCGD，進(jìn)而得到GH2=GEGF。即可答案：證明：（1）連接DB，AB是O的直徑，ADB=90，在RtABD和RtAFG中，ABD=AFE，又ABD=ACD，ACD=AFE。C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；（2）C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，GEGF=GCGD。GH是O的切線，GH2=GCGD，GH2=GEGF。又因?yàn)镚H=6，GE=4，所以GF=9。EF=GFGE=94=5。點(diǎn)撥：熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)、同弧所對(duì)的圓周角相等、四點(diǎn)共圓的判定方法、切割線定理等是解題的關(guān)鍵。此題綜合性較強(qiáng)，涉及知識(shí)點(diǎn)較全面。（答題時(shí)間：30分鐘）一、選擇題 1. 銳角ABC的三條高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七個(gè)點(diǎn)中。能組成四點(diǎn)共圓的組數(shù)是（） A. 4組 B. 5組C. 6組D. 7組2. 如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD為對(duì)角線，點(diǎn)M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)，下列說(shuō)法：當(dāng)AC=BD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓。當(dāng)ACBD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓。當(dāng)AC=BD且ACBD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓。其中正確的是（）A. B. C. D. 3. 如圖，A，B，C，D是圓上四點(diǎn)，AD，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，弧AB、弧CD分別為100、40，則P的度數(shù)為（）A. 40B. 35 C. 60D. 304. （高青縣模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB為O的直徑，CM切O于點(diǎn)C，BCM=60，則B的正切值是（） A. B. C. D. 5. 已知Pi（i=1，2，3，4）是拋物線y=x2+bx+1上共圓的四點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為xi（i=1，2，3，4），又xi（i=1，2，3，4）是方程（x24x+m）（x24x+n）=0的根，則二次函數(shù)y=x2+bx+1的最小值為（）A. 1 B. 2C. 3D. 4二、填空題6. 如圖，在ABC中，AD，BE分別是A，B的角平分線，O是AD與BE的交點(diǎn)，若C，D，O，E四點(diǎn)共圓，DE=3，則ODE的內(nèi)切圓半徑為 。7. （濟(jì)寧）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若CAD=76，則CBD=度。8. 已知ABC的中線AD、BE交于K，AB=，且K，D，C，E四點(diǎn)共圓，則CK= 。*9. 如圖，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BCAE=DCAF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓。若DB=BE=EA，則過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為 。三、解答題10. （太原模擬）如圖，已知AB為半圓O的直徑，BE、CD分別為半圓的切線，切點(diǎn)分別為B、C，DC的延長(zhǎng)線交BE于F，AC的延長(zhǎng)線交BE于E。ADDC，D為垂足。（1）求證：A、D、F、B四點(diǎn)共圓；（2）求證：EF=FB。*11. （貴陽(yáng)模擬）如圖，AP是圓O的切線，A是切點(diǎn)，ADOP于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓O的割線與圓O相交于B，C兩點(diǎn)。（1）證明：O、D、B、C四點(diǎn)共圓。（2）設(shè)OPC=30，ODC=40，求DBC的大小。*12. （長(zhǎng)春模擬）如圖，在ABC中，C為鈍角，點(diǎn)E，H分別是邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)K和M分別是邊AC和BC上的點(diǎn)，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。（1）求證：E、H、M、K四點(diǎn)共圓；（2）若KE=EH，CE=3，求線段KM的長(zhǎng)。一、選擇題1. C 解析：如圖，以AH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、H、E），以BH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、H、D），以CH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（C、D、H、E），以AB為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、E、D、B），以BC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、E、C），以AC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、D、C），共6組。故選C。2. C 解析：連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點(diǎn)O，如圖所示，點(diǎn)M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)，EMBDNF，ENACMF，EM=NF=BD，EN=MF=AC，四邊形ENFM是平行四邊形，當(dāng)AC=BD時(shí)，則有EM=EN，所以平行四邊形ENFM是菱形，而菱形的四個(gè)頂點(diǎn)不一定共圓，故不一定正確；當(dāng)ACBD時(shí)，由EMBD，ENAC可得：EMEN，即MEN=90，所以平行四邊形ENFM是矩形，則有OE=ON=OF=OM。所以M、E、N、F四點(diǎn)共圓，故正確；當(dāng)AC=BD且ACBD時(shí)，同理可得：四邊形ENFM是正方形。則有OE=ON=OF=OM。所以M、E、N、F四點(diǎn)共圓，故正確。故選C。3. D解：連接BD，=100，ADB=100=50，又=40，B=20，在DBP中，P=ADBB=5020=30。故選D。4. B解：連接BD，AB是直徑，則ADB=90，CDB=BCM=60，CDA=CDB+ADB=150，CBA=180CDA=30，tanABC=tan30=，故選B。5. C解：拋物線與圓的四個(gè)交點(diǎn)，上下兩組點(diǎn)的連線的中點(diǎn)位于拋物線的對(duì)稱軸上。所以由（x24x+m）（x24x+n）=0可知，該拋物線的對(duì)稱軸為x=2。則b=4。所以最小值為。二、填空題6. 解：作OFED于點(diǎn)F，AD，BE分別是A，B的角平分線，AOB=90+C，CO平分ACB，又DOE=AOB，DOE+C=180，C=60，DOE=AOB=120，90+CC=180在AB上截取AM=AE，可得AOEAOMOE=OM，DOE=120，EOA=AOM=DOB=BOM =60，BOMBODOD=OM，OD=OE，OED=ODE=30，F(xiàn)D=，tan30=，F(xiàn)O=，OD=OE=，ODE的周長(zhǎng)為：2+3，ODE的面積為：3=，ODE的內(nèi)切圓半徑為，故答案為：。7. 解：AB=AC=AD，點(diǎn)B，C，D可以看成是以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上的三個(gè)點(diǎn)，CBD是弧CD所對(duì)的圓周角，CAD是弧CD所對(duì)的圓心角；CAD=76，CBD=CAD=76=38。8. 解：作ABC的外接圓，延長(zhǎng)CK交圓于點(diǎn)H，交AB于F，則K，D，C，E四點(diǎn)共圓，DEBABHC=BAC=DEC=DKC，AKHB，D為BC的中點(diǎn)點(diǎn)K是CH的中點(diǎn)，即CK=KH，又K是重心，F(xiàn)K=HF=CF，由相交弦定理，得BFFA=CFFH，=CF2，CF=，CK=1，故答案為1。9. 解：如圖所示，連接EF。DC是ABC的外接圓的切線，DCB=EAF，BCAE=DCAF，BCDFAE，CBD=AFE，B、E、F、C四點(diǎn)共圓，AFE=CBE，CBD=CBE，又CBD+CBE=180，CBE=90，AC是ABC的外接圓的直徑，CE是E，F(xiàn)，C四點(diǎn)所在圓的直徑。不妨設(shè)DB=1，則BE=EA=DB=1，由切割線定理可得：DC2=DBDA=13，在DCE中，由DB=BE，CBDE。CE=DC=，在RtCBE中，BC2=CE2BE2=，在RtABC中，AC2=BC2+AB2=2+22=6。過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值=。故答案為。三、解答題10. 證明：（1）FB是半圓O的切線，ABF=90，又ADDC，ADF=90，A，D，F(xiàn)，B四點(diǎn)共圓。（2）解：連接BC，則BCAC，DF是半圓的切線，DCA=ABC，DCA=ECF，ECF=ABC，在RtABE中，BCAE，ABC=E，ECF=E，EF=FC，F(xiàn)C，F(xiàn)B是半圓的切線，F(xiàn)C=FB，EF=FB。11. 解：（1）證明：AP是圓O的切線，A是切點(diǎn)，OAAP，ADOP，AP2=PDPO，AP是圓O的切線，PBC是圓O的割線，AP2=PBPC，PDPO=PBPC，DPB=CPO，DPBCPO，PDB=PCO，O，D，B，C四點(diǎn)共圓；（2）解：連接OB，則OBC=ODC=40，OCB=40，O，D，B，C四點(diǎn)共圓，PDB=OCB=40，DBC=30+40=70。12. （1）證明：連接CH，AC=AH，AK=AE，四邊形CHEK為等腰梯形，注意到等腰梯形的對(duì)角互補(bǔ)，故C，H，E，K四點(diǎn)共圓， 同理C，E，H，M四點(diǎn)共圓，即E，H，M，K均在點(diǎn)C，E，H所確定的圓上。 （2）解：連接EM，由（1）得E，H，M，C，K五點(diǎn)共圓，CEHM為等腰梯形，EM=HC，故MKE=CEH，由KE=EH可得KME=ECH，故MKECEH，即KM=EC=3。