八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 專題突破講練 巧用三角形中位線試題 （新版）青島版.doc

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巧用三角形中位線1. 三角形中位線定義連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫中位線。注意：（1）要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開。（2）三角形有三條中位線。2. 定理三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半。如果EF為ABC的中位線，則EFBC且EF=BC。注意：位置關(guān)系平行數(shù)量關(guān)系等于第三邊的一半3. 三角形中位線定理的應(yīng)用：（1）證明角相等關(guān)系；（2）證明線段的倍分以及相等關(guān)系；（3）證明線段平行關(guān)系。例題1 如圖，自ABC的頂點(diǎn)A，向B和C的平分線作垂線，垂足分別為D、E。求證：DEBC。解析：欲證ED/BC我們可想到有關(guān)平行的判定，但要找到有關(guān)角的關(guān)系很難，這時(shí)只要通過延長(zhǎng)AD、AE，交BC與CB的延長(zhǎng)線于G與H，通過證明三線合一易證D是AG的中點(diǎn)，同理E為AH的中點(diǎn)，故，ED是AHG的中位線，當(dāng)然有DEBC。答案：證明：延長(zhǎng)AD、AE交BC、CB的延長(zhǎng)線于G、H，BD平分ABC，1=2，又BDAD，ADB=BDG=90ABG為等腰三角形AD=DG，同理可證，AE=GE，D，E分別為AG，AH的中點(diǎn)，EDBC點(diǎn)撥：本題巧妙地應(yīng)用了等腰三角形的三線合一，但最終還是利用中位線的性質(zhì)得出結(jié)論。例題2 如圖，已知平行四邊形ABCD中，BD為對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF，交BD于M點(diǎn)。求證：（1）BM=BD；（2）ME=MF。解析：（1）由E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)想到連結(jié)AC，由平行線等分線段定理可證得BM=MO。又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，可得BO=OD，即BM=BD。（2）由問題(1)中的輔助線，即連結(jié)AC，由三角形中位線定理可得，又由平行四邊形對(duì)角線互相平分即可得到問題（2）的結(jié)論。答案：證明：（1）連結(jié)AC，交BD于O點(diǎn)，E、F分別為AB、BC中點(diǎn)，EFAC，BM=MO= BO又四邊形ABCD是平行四邊形BO=OD=BD，AO=OC=AC，BM=BO=BD；（2）M是BO的中點(diǎn)，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)。ME=AO，MF=OC，又AOOC，MEMF。點(diǎn)撥：?jiǎn)栴}（1）運(yùn)用了三角形中位線的位置關(guān)系，即三角形的中位線平行于底邊，而問題（2）直接運(yùn)用了三角形中位線的數(shù)量關(guān)系。三角形中位線定理及其應(yīng)用，在初中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，如何正確添加輔助線構(gòu)造三角形中位線是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)。要善于覺察圖形中的有關(guān)定理的基本圖形，涉及到中點(diǎn)問題時(shí)要及時(shí)聯(lián)想到有關(guān)定理。例題 如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，直線EF分別交BC、AD的延長(zhǎng)線于S、T兩點(diǎn)，求證：ATF=BSF。解析：連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、FH，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EHAD，EH=AD，F(xiàn)HBC，F(xiàn)H=BC，然后求出EH=FH，根據(jù)等邊對(duì)等角可得EFH=FEH，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得ATF=FEH，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得BSF=EFH，然后等量代換即可得證。答案：證明：如圖，連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、FH，E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，EH、FH分別是ACD和ABC的中位線，EHAD，EH=AD，F(xiàn)HBC，F(xiàn)H=BCAD=BC，EH=FH，EFH=FEH，又EHAD，F(xiàn)HBC，ATF=FEH，BSF=EFH，ATF=BSF。點(diǎn)撥：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線，考慮利用三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵。（答題時(shí)間：30分鐘）一、選擇題1.（宜昌）如圖，A，B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測(cè)出了A、B間的距離：先在AB外選一點(diǎn)C，然后測(cè)出AC，BC的中點(diǎn)M，N，并測(cè)量出MN的長(zhǎng)為12m，由此他就知道了A、B間的距離。有關(guān)他這次探究活動(dòng)的描述錯(cuò)誤的是（）A. AB=24mB. MNABC. CMNCABD. CM：MA=1：22.（瀘州）如圖，等邊ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則DEC的度數(shù)為（）A. 30B. 60C. 120D. 1503.（泰安）如圖，ACB=90，D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DC并延長(zhǎng)到E，使CE=CD，過點(diǎn)B作BFDE，與AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F。若AB=6，則BF的長(zhǎng)為（）A. 6B. 7C. 8D. 104. （福州模擬）如圖，ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O，連結(jié)OA，點(diǎn)G、F分別為OC、OB的中點(diǎn)，BC=4，AO=3，則四邊形DEFG的周長(zhǎng)為（）A. 6B. 7C. 8D. 125.（邢臺(tái)二模）如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD互相垂直，A1B1C1D1是四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形，如果AC=8，BD=10，那么四邊形A1B1C1D1的面積為（）A. 20B. 40C. 36D. 10二、填空題6. （懷化）如圖，D、E分別是ABC的邊AB、AC上的中點(diǎn)，則SADE：SABC=_。7.（邵陽(yáng)）如圖，在RtABC中，C=90，D為AB的中點(diǎn)，DEAC于點(diǎn)E。A=30，AB=8，則DE的長(zhǎng)度是_。8.（沈陽(yáng)）如圖，ABC三邊的中點(diǎn)D，E，F(xiàn)組成DEF，DEF三邊的中點(diǎn)M，N，P組成MNP，將FPM與ECD涂成陰影。假設(shè)可以隨意在ABC中取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率為_。9.（天橋區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，如果EF=2，那么菱形的周長(zhǎng)為_。10.（海門市模擬）如圖，在ABC中，ACB=52，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)。若點(diǎn)F在線段DE上，且AFC=90，則FAE的度數(shù)為_。三、解答題11.（南京）如圖，在ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFAB，交BC于點(diǎn)F。（1）求證：四邊形DBFE是平行四邊形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBFE是菱形？為什么？12.（鞍山一模）（1）如圖1所示，在四邊形ABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N，則BME=CNE，求證：AB=CD。（提示取BD的中點(diǎn)H，連結(jié)FH，HE作輔助線）（2）如圖2所示，在ABC中，且O是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，直線OE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若AB=DC=5，OEC=60，求OE的長(zhǎng)度。一、選擇題1. D 解析：M、N分別是AC，BC的中點(diǎn)，MNAB，MN=AB，AB=2MN=212=24m，CMNCAB，M是AC的中點(diǎn)，CM=MA，CM：MA=1：1，故描述錯(cuò)誤的是D選項(xiàng)。2. C 解析：由等邊ABC得C=60，由三角形中位線的性質(zhì)得DEBC，DEC=180C=18060=120，3. C 解析：如圖，ACB=90，D為AB的中點(diǎn)，AB=6，CD=AB=3。又CE=CD，CE=1，ED=CE+CD=4。又BFDE，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，ED是AFB的中位線，BF=2ED=8。4.B 解析：BD，CE是ABC的中線，EDBC且ED=BC，F(xiàn)是BO的中點(diǎn)，G是CO的中點(diǎn)，F(xiàn)GBC且FG=BC，ED=FG=BC=2，同理GD=EF=AO=1.5，四邊形DEFG的周長(zhǎng)為1.5+1.5+2+2=7。5. A 解：A1B1C1D1是四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形，AC=8，BD=10，A1D1=B1C1=BD=5，A1B1=C1D1=AC=4，A1D1BDB1C1，A1B1ACC1D1，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC、BD互相垂直，四邊形A1B1C1D1是矩形，SA1B1C1D1=54=20。二、填空題6. 1：4 解析：D、E是邊AB、AC上的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，DEBC且DE=BC，ADEABC，SADE：SABC=（1：2）2=1：4。7. 2 解析：D為AB的中點(diǎn)，AB=8，AD=4，DEAC于點(diǎn)E，A=30，DE=AD=2。8. 解析：D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，EDAB，且DE=AB，CDECBA，=，SCDE=SCBA。同理，SFPM=SFDE=SCBA，SFPM+SCDE=SCBA，則=。9. 16 解析：菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，EF=2，BC=2EF=22=4。即AB=BC=CD=AD=4。故菱形的周長(zhǎng)為4BC=44=16。10. 64 解析：D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，DE是三角形ABC的中位線，DEBC，AED=ACB，AFC=90，E為AC的中點(diǎn)，EF=AC，AE=CE，EF=CE，EFC=ECF，ECF=EFC=ACB=26，F(xiàn)AE的度數(shù)為9026=64，三、解答題11. 解：（1）證明：D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，DEBC，又EFAB，四邊形DBFE是平行四邊形；（2）解：當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形DBFE是菱形。理由如下：D是AB的中點(diǎn)，BD=AB，DE是ABC的中位線，DE=BC，AB=BC，BD=DE，又四邊形DBFE是平行四邊形，四邊形DBFE是菱形。12.（1）證明：連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、FH。E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，EHAB，EH=AB，F(xiàn)HCD，F(xiàn)H=CD，BME=CNE，BME=HEF，CNE=HFE，HEF=HFE。HE=HF，AB=CD；（2）解：連結(jié)BD，取DB的中點(diǎn)H，連結(jié)EH、OH，EHAB，EH=AB，HODC，HO=DC。AB=CD，HO=HE，HOE=HEO，OEC=60，HEO=AGO=60，OEH是等邊三角形，AB=DC=5，OE=。