九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 巧添輔助線證相似三角形試題 （新版）青島版.doc

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巧添輔助線證相似三角形一、添加平行線構(gòu)造“A”、“8”型1. 定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（1）定理的基本圖形： （2）燕尾圖形輔助線的添加方法注意：（1）選擇構(gòu)造平行線的點的原則為不破壞已知條件中的數(shù)量關(guān)系；（2）一般會出現(xiàn)兩組三角形相似，注意相似三角形的對應(yīng)邊；（3）通過線段比例之間的等量代換求解。2. 方法歸納：（1）遇燕尾，作平行，構(gòu)造“A”字“8”字一般行。（2）引平行線應(yīng)注意以下幾點：選點：一般選已知（或求證）中線段的比的前項或后項，以同一直線的線段的端點作為引平行線的點。引平行線時，不破壞已知條件中的數(shù)量關(guān)系，盡量使較多已知線段、求證線段成比例。二、作垂線構(gòu)造相似直角三角形1. 基本圖形 2. 所用知識點（1）等量代換等角的余角相等。（2）相似三角形對應(yīng)高線的比等于相似比。注意：（1）相似三角形中對應(yīng)邊要找準(zhǔn)。（2）利用高線解決問題，一般會用到設(shè)未知數(shù)，列方程的思想。例題 平行四邊形ABCD中，CEAE，CFAF，求證：。解析：作BMAC于點M，可證ABMACE，則ABAEAMAC，易得BCMCAF，則BCAFCMAC，故得出結(jié)論。答案：作BMAC于點M，則AMBAEC90，BAMCAE，ABMACE，ABAEAMAC，BCMCAF，易得BCMCAF，BCAFCMAC，。ADBC，。點撥：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，注意輔助線的添加?！究偨Y(jié)提高】本節(jié)所講授內(nèi)容中，主要考查添加輔助線構(gòu)造相似三角形來解決線段、角度之間的關(guān)系。需注意以下四點：（1）添加輔助線的原則；（2）構(gòu)造出的基本模型；（3）相似三角形中的對應(yīng)關(guān)系。（4）復(fù)雜問題中等量代換的靈活應(yīng)用。例題 用一根手指頂住一個平面圖形內(nèi)的某點，如果平面圖形能保持平衡，那么這個點叫這個平面圖形的重心，平行四邊形的重心是對角線的交點，三角形的重心是三條中線的交點。請你用下圖證明三角形的重心分一條中線所成的兩條線段的比為1：2，即在ABC中，BE，CD是兩條中線，它們交于G，求證：DG：CGEG：BG1：2。解析：連接AG，交DE于點H，延長AG交BC于點F。根據(jù)三角形中位線定理得到，則F。通過HEGFBG的對應(yīng)邊成比例證得結(jié)論。答案：如圖，連接AG，交DE于點H，延長AG交BC于點F。點G是ABC的重心，點F是BC的中點。BFFC。D、E是AB、AC的中點，DE是ABC的中位線，DEBC，HEBF，F(xiàn)。HEGFBG，即EG：BG1：2 同理 DG：CG1：2。點撥：本題考查了三角形的重心定理的證明，作輔助線構(gòu)造三角形的中位線和相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點。本定理要求學(xué)生能記住，并熟練應(yīng)用。（答題時間：30分鐘）一、選擇題*1.（綏化）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是CD上的一點，DE：EC2：3，連接AE、BE、BD，且AE、BD交于點F，則（）A. 2：5：23 B. 4：9：24 C. 2：3：5 D. 4：10：25*2. 如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AD、BC的中點，點G、H在DC邊上，且。若AB15，BC16，則圖中陰影部分的面積是（）A. 40 B. 60 C. 80 D. 70*3. 如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q。求BP：PQ：QR（ ）。A.3：1：2 B. 5：3：4 C. 6：5：4 D. 4：1：2*4. 如圖，在ABC中，D為AC上一點，CD2DA，BAC45，BDC60，CEBD于E，連接AE，過E作EFCD交BC于F。下列結(jié)論：BEEC；BC2ACDC；SBEC：SBEA2：1；。其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個 二、填空題*5. （武清區(qū)一模）如圖，RtABC中，BAC90，AB3，AC4，點P為BC上任意一點，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為 。*6. 如圖，RtABC中，ACBC，AD平分BAC交BC于點D，DEAD交AB于點E，M為AE的中點，BFBC交CM的延長線于點F，BD4，CD3。下列結(jié)論：AEDADC；ACBE12；3BF4AC，其中結(jié)論正確的是 。*7. （溫州一模）如圖，在RtABC中，ABC90，以點C為圓心作弧，分別交AC、CB的延長線于點D、F，連結(jié)DF，交AB于點E，已知，tanDFC2，則BC ， 。*8.（嘉興）如圖，在RtABC中，ABC90，BABC。點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG丄CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF。給出以下四個結(jié)論：；點F是GE的中點；，其中正確結(jié)論的序號是 。三、解答題9. 如圖，AB為半圓的直徑，D為AB上一點，分別在半圓上取點E、F，使EADA，F(xiàn)BDB，過D作AB的垂線，交半圓于C。求證：CD平分EF。*10. 在ABC中，C90，AC4，BC3。（1）如圖1，四邊形DEFG為ABC的內(nèi)接正方形，求正方形的邊長；（2）如圖2，三角形內(nèi)并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于ABC，求正方形的邊長；（3）如圖3，三角形內(nèi)并排的三個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于ABC，求正方形的邊長；（4）如圖4，三角形內(nèi)并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于ABC，求正方形的邊長。*11. （豐臺區(qū)二模）閱讀下列材料：已知：如圖1，在RtABC中，C90，AC4，BC3，P為AC邊上的一動點，以PB，PA為邊構(gòu)造平行四邊形，求對角線PQ的最小值及此時的值是多少。在解決這個問題時，小明聯(lián)想到在學(xué)習(xí)平行線間的距離時所了解的知識：端點分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短。進(jìn)而，小明構(gòu)造出了如圖2的輔助線，并求得PQ的最小值為3。參考小明的做法，解決以下問題：（1）繼續(xù)完成閱讀材料中的問題：當(dāng)PQ的長度最小時， ；（2）如圖3，延長PA到點E，使AEnPA（n為大于0的常數(shù)）。以PE，PB為邊作平行四邊形，那么對角線PQ的最小值為 ，此時 ；（3）如圖4，如果P為AB邊上的一動點，延長PA到點E，使AEnPA（n為大于0的常數(shù)），以PE，PC為邊作平行四邊形，那么對角線PQ的最小值為 ，此時 。*12. 若已知：如圖，ABBD，CDBD，垂足分別為B、D，AD和BC相交于點E，EFBD，垂足為F，我們可以證明成立（不要求考生證明）。若將圖中的垂線改為斜交，如圖，ABCD，AD，BC相交于點E，過點E作EFAB交BD于點F，則：（1）還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；（2）請找出間的關(guān)系式，并給出證明。1. D 解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出DCAB，DCAB，求出DE：AB2：5，根據(jù)相似三角形的判定推出DEFBAF，求出DEF和ABF的面積比，根據(jù)三角形的面積公式求出DEF和EBF的面積比，即可求出答案。2. D 解析：連接EF，過O作MNDC于N，交EF于M，求出四邊形DEFC是矩形，推出EFCD，EFCD15，證EOFGOH，推出，求出ON2，OM6，根據(jù)陰影部分的面積S矩形DEFCSEFOSHOG，分別求出，代入即可。3. A 解析：由四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，可證得PBCRBE，繼而可得，PBPR，又由點R為DE的中點，PCQRDQ，可得，繼而可求得BP：PQ：QR的值。4. C 解析：作AHBD的延長線于H，作BGCD于G，根據(jù)條件利用直角三角形的性質(zhì)求出EBAEAB，就可以得出BEAE。由ECDEAD，得出CEAE。可以得出是正確的，設(shè)參數(shù)利用勾股定理就可以求出BC的值，從而得出結(jié)論；根據(jù)等底的兩三角形面積之比等于高之比，運用相似三角形的性質(zhì)求出高的比就可以得出結(jié)論；根據(jù)平行線的性質(zhì)得出三角形相似，根據(jù)性質(zhì)求出EF與AD的數(shù)量關(guān)系，而得出結(jié)論；根據(jù)三角函數(shù)值的定義建立直角三角形，用參數(shù)表示出相應(yīng)邊的值就可以求出結(jié)論。5. 解析：以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過O作BC的垂線PO，然后根據(jù)POC和ABC相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出PQ的最小值。解題的關(guān)鍵是作高線構(gòu)造各種相似三角形。6. 解析：AED90EAD，ADC90DAC，EADDAC；易證ADEACD，得DE：DADC：AC3：AC，AC不一定等于4。由證BEDBDA，得，得12；連接DM，可證DMBF AC，得FM：MCBD：DC4：3；易證FMBCMA，得比例線段求解。7. 解析：由在RtABC中，ABC90，tanDFC2，可得BE2BF，又由SBEF9，即可求得BF與BE的長，然后過點C作CHDF于點H，設(shè)DHh，可求得h的值，繼而由勾股定理求得BC的長；首先過點D作DMBC于點M，利用三角形的面積求得DM的長，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AB的長，繼而求得答案。8. 解析：根據(jù)題意首先易證得AFGCFB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與BABC，繼而證得正確；由點D是AB的中點，易證得BC2BD，由等角的余角相等，可得DBEBCD，即可得，繼而可得；即可得，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，即可求得；則可得。9. 證明：如圖，分別過點E、F作AB的垂線，G、H為垂足，連FA、EB。易知：。兩式相減得：，即。于是：。DHGD。顯然，EGCDFH。故CD平分EF。10. 解：（1）在圖1中作CNAB，交GF于點M，交AB于點N。在RtABC中，AC4，BC3，AB5，CN， GFAB，CGFCAB，設(shè)正方形邊長為x，則 ，x；（2）在圖2中作CNAB，交GF于點M，交AB于點N。GFAB，CGFCAB，設(shè)每個正方形邊長為x，則，x；（3）在圖3中作CNAB，交GF于點M，交AB于點N，GFAB，CGFCAB，設(shè)每個正方形的邊長為x，則，x；（4）設(shè)每個正方形的邊長為x，同理得到：，則x。11. 解：（1）如圖2，四邊形APBQ是平行四邊形，APBQ，APBQ。QPAC，ACB90，APQC90。PQBC。PCBQ，PQBC，C90，四邊形PCBQ是矩形。QBPC。APPC。 （2）如圖5，由題意可知：當(dāng)QPAC時，PQ最短。QPAC，ACB90，APQC90。PQBC。四邊形PBQE是平行四邊形，EPBQ，EPBQ。PCBQ，PQBC，C90，四邊形PCBQ是矩形。QBPC，PQBC3。EPPC。AEnPA，。 （3）過點C作CHAB，垂足為H，如圖6，由題意可知：當(dāng)QPAB時，PQ最短。QPAB，CHAB，APQAHC90。PQHC。四邊形PCQE是平行四邊形，EPCQ，EPCQ。PHCQ，PQHC，PHC90，四邊形PHCQ是矩形。QCPH，PQHC。EPPH。AEnPA，。ACB90，BC3，AC4，AB5。HACCAB，AHCACB90，AHCACB。BC3，AC4，AB5，。，。，。 。12. 解：（1）成立。證明：ABEF CDEF ；（2）關(guān)系式為：證明如下：分別過A作AMBD于M，過E作ENBD于N，過C作CKBD交BD的延長線于K。由題設(shè)可得：即 又BDAMSABD，BDCKSBCD ，BDENSBED 。