八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 巧用分式方程的增根解決問題試題 （新版）青島版.doc

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巧用分式方程的增根解決問題一、解分式方程的步驟：二、分式方程增根的概念：在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0，那么這個(gè)根叫做原分式方程的增根。三、產(chǎn)生增根的原因：增根是在分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程去分母的過程中產(chǎn)生的。因?yàn)榈忍?hào)兩邊同乘以的最簡公分母有可能是0，因此就有可能產(chǎn)生滿足整式方程，但是不滿足分式方程的根。注意：1. 解分式方程必須要驗(yàn)根；2. 驗(yàn)根時(shí)只需要把求出的x的值代入最簡公分母中，看是否為0。四、常見的題型：1. 求增根問題：方法是把分式方程去分母后求得的根代入原方程的最簡公分母，若為零是增根，若不為零是原方程的根。2. 根據(jù)增根求待定系數(shù)問題：步驟：去分母，化分式方程為整式方程；將增根代入整式方程中，求出方程中字母系數(shù)的值。例題1 若關(guān)于x的方程有增根，則a的值為_。解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出a,答案：原方程可化為： 又原方程的增根是，把代入，得：故應(yīng)填“”。點(diǎn)撥：本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進(jìn)行：讓最簡公分母為0確定增根；化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程，即可求得相關(guān)字母的值。例題2 當(dāng)a取何值時(shí)，解關(guān)于x的方程：無增根？解析：首先去分母化整式方程，然后把增根代入求出a,最后從保證整式方程有實(shí)根的a的取值范圍中把產(chǎn)生增根的a的值去掉。答案：原方程可化為： 又原方程的增根為x=2或，把x=2或分別代入得：或又由知，a可以取任何實(shí)數(shù)。所以，當(dāng)且時(shí)，解所給方程無增根。點(diǎn)撥：解答此類問題的基本思路是：（1）將已知方程化為整式方程；（2）由所得整式方程，求出有增根的字母系數(shù)的值和使整式方程有實(shí)數(shù)根的字母系數(shù)的取值范圍；（3）從有實(shí)數(shù)根的范圍里排除有增根的值，即得無增根的取值范圍。例題3 當(dāng)k的值為_（填出一個(gè)值即可）時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。解析：先化成整式方程（即一元二次方程）分兩種情況：（1）一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根。（2）有兩個(gè)不等實(shí)根，且有一個(gè)是增根。答案：原方程可化為： 要原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，有下面兩種情況：（1）當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且不為原方程的增根，所以由得k=1。當(dāng)k=1時(shí)，方程的根為，符合題意。（2）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且其中有一個(gè)是原方程的增根，所以由，得k1。又原方程的增根為x=0或x=1，把x=0或x=1分別代入得k=0，或k=3，均符合題意。綜上所述：可填“1、0、3”中的任何一個(gè)即可。點(diǎn)撥：本題要分清方程的增根和方程無根的區(qū)別。分式方程無解是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等。它包含兩種情形：（一）原方程化去分母后的整式方程無解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解。例題 （1）當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？（2）當(dāng)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程無解？解析：（1）首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根，最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值。（2）除了考慮第（1）種情況外，此時(shí)還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方程（a1）x10本身無解的情況。答案：（1）方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 若原分式方程有增根，則x2或2是方程的根，把x2或2代入方程中，解得，a4或6。（2）方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 若原方程無解，則有兩種情形：當(dāng)a10（即a1）時(shí)，方程為0x10，此方程無解，所以原方程無解。如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解。此時(shí)由（1）可知，a4或6。綜上所述，a1或a一或a6時(shí)，原分式方程無解。點(diǎn)撥：弄清分式方程的增根與無解的區(qū)別和聯(lián)系,能幫助我們提高解分式方程的正確性,對(duì)判斷方程解的情況有一定的指導(dǎo)意義。（答題時(shí)間：45分鐘）一、選擇題1. （岳陽）關(guān)于x的分式方程有增根，則增根為（）A. x=1 B. x=1 C. x=3 D. x=32. 若分式方程有增根，則它的增根是（）A. 1 B. 2或2 C. 2 D. 23. 若方程有增根，則增根可能是（）A. 0或2 B. 0 C. 2 D. 14. 若解關(guān)于x的方程有增根x=1，則a的值為（）A. 3 B. 3 C. 3或1 D. 3或15. 下列關(guān)于分式方程增根的說法，正確的是（）A. 使所有的分母的值都為零的解是增根B. 分式方程的解為零就是增根C. 使分子的值為零的解就是增根D. 使最簡公分母的值為零的解是增根6. 關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根，則m的值及增根x的值分別為（）A. m=1，x=3 B. m=1，x=3 C. m=1，x=3 D. m=1，x=3二、填空題7. （天水）若關(guān)于x的方程有增根，則a的值為_。8. （巴中）若分式方程有增根，則這個(gè)增根是_。9. 若方程有增根x=2，則m=_。三、解答題10. 若關(guān)于x的方程有增根，試解關(guān)于y的不等式5（y2）28+k+2y。11. 增根是在分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中產(chǎn)生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是該分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根問題的解題步驟通常為：去分母，化分式方程為整式方程；將增根代入整式方程中，求出方程中字母系數(shù)的值。閱讀以上材料后，完成下列探究：探究1：m為何值時(shí)，方程有增根。探究2：m為何值時(shí)，方程的根是1。探究3：任意寫出三個(gè)m的值，使對(duì)應(yīng)的方程的三個(gè)根中兩個(gè)根之和等于第三個(gè)根。探究4：你發(fā)現(xiàn)滿足“探究3”條件的m1、m2、m3的關(guān)系是_。12. 李明在解關(guān)于x的方程時(shí)，把m的值看錯(cuò)了。解方程產(chǎn)生了增根，請(qǐng)你指出李明把m看成了幾？為什么？一、選擇題1. A 解：方程兩邊都乘（x1），得7+3（x1）=m，原方程有增根，最簡公分母x1=0，解得x=1，當(dāng)x=1時(shí)，m=7，這是可能的，符合題意。2. C 解：由題意得x24=0時(shí)，原方程有增根。解得x=2或2，原方程化為整式方程為：3=（x1+m）（x2）當(dāng)x=2時(shí)，右邊為0，所以不能是2，當(dāng)x=2時(shí)，左邊可能等于右邊。3. C 解：分式方程，最簡公分母x（x2），去分母得：4x2=0，整理得：x2=4，解得：x=2，把x=2代入x（x2）=0，則x=2是原分式方程的增根，原分式方程的解為2。4. B 解：方程兩邊都乘以x（x+1）得：3（x+1）+（ax3）x=2x（x+1），把x=1代入得：3（1+1）+（a3）=2（1）（1+1），解得：a=3。5. D 解：分式方程的增根是使最簡公分母的值為零的解。6. A 解：方程兩邊都乘（x+3），得x+2=m方程有增根，最簡公分母x+3=0，即增根是x=3，把x=3代入整式方程，得m=1。 二、填空題7. 1 解：方程兩邊都乘（x1），得ax+1（x1）=0，原方程有增根，最簡公分母x1=0，即增根為x=1，把x=1代入整式方程，得a=1。8. x=1 解：根據(jù)分式方程有增根，得到x1=0，即x=1，則方程的增根為x=1。9. 6 解：方程兩邊都乘（x+2）（x2），得xmx（x+2）=2（x+2）（x2）原方程增根為x=2，把x=2代入整式方程，得m=6。三、解答題10. 解：方程兩邊都乘（x3），得k+2x6=4x，方程有增根，最簡公分母x3=0，即增根是x=3，把x=3代入整式方程，得k=1。把k=1代入不等式5（y2）28+k+2y得，5（y2）28+1+2y，解得y13。11. 解：探究1：方程兩邊都乘以（x3），得3x+5（x3）=m原方程有增根，最簡公分母x3=0，解得x=3，當(dāng)x=3時(shí)，m=9，故m的值是9。探究2：方程兩邊都乘以（x3），得3x+5（x3）=m原方程的根為x=1，m=23，探究3：由（1）（2）得x=，方程的三個(gè)對(duì)應(yīng)根為a，b，c且a+b=c，即可得出對(duì)應(yīng)的m，m1=158a，m2=158b，m3=158c，探究4：a+b=c，整理得m3=m1+m215。12. 解：把m看成了6或14，理由是：去分母得：x（x+2）（x+m）=2x（x2），x25x+m=0，有增根，x+2=0，x2=0， x=2或2，當(dāng)x=2時(shí)，代入得：410+m=0，解得：m=6；當(dāng)x=2時(shí)，代入得：4+10+m=0，解得：m=14；即m=6或14。