八年級數(shù)學(xué)下冊 專題突破講練 一次函數(shù)中的分段函數(shù)試題 （新版）青島版.doc

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一次函數(shù)中的分段函數(shù) 分段函數(shù)的基本模型1. 分段記費(fèi)問題（如收取水費(fèi)、電費(fèi)、通信費(fèi)等類型）：我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一。為了增強(qiáng)居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計(jì)費(fèi)辦法收費(fèi)，即一月用水10噸以內(nèi)（包括10噸）的用戶，每噸收水費(fèi)元；一月用水超過10噸的用戶，10噸水仍按每噸元收費(fèi)，超過10噸的部分，按每噸元（ba）收費(fèi)。設(shè)一戶居民月用水噸，應(yīng)收水費(fèi)元，與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示。求出a和b值。解析：根據(jù)圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)利用解析式分析求值，解題關(guān)鍵是弄清函數(shù)圖象的意義。答案：，2。2. 行程中的分段計(jì)算問題：由速度或時間的不同而產(chǎn)生的不同計(jì)算。如圖是小明從學(xué)校到家里行進(jìn)的路程s（米）與時間t（分）的函數(shù)圖象，觀察圖象，從圖中能得到什么信息呢？（結(jié)合背景對圖象含義進(jìn)行理解）解析：考查函數(shù)圖象的讀圖能力要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實(shí)際意義得到正確的結(jié)論。答案：小明行進(jìn)總路程為1000米，行進(jìn)時間為20分鐘，前10分鐘的行進(jìn)速度比后10分鐘的行進(jìn)速度慢。3. 與幾何圖形有關(guān)的分段函數(shù)：由圖形的運(yùn)動變化所產(chǎn)生的線段、面積等的不同產(chǎn)生的分段計(jì)算。如圖1，在矩形ABCD中，AB3，BC4，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始按A BCD的方向運(yùn)動到D。如圖2，設(shè)動點(diǎn)P所經(jīng)過的路程為x，APD的面積為y。（當(dāng)點(diǎn)P與A或D重合時，y0），寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式并畫出圖象。解析：利用點(diǎn)運(yùn)動到不同位置產(chǎn)生對應(yīng)值解決問題。圖象如圖。4. 商品銷售中的分段計(jì)算：根據(jù)數(shù)量將商品進(jìn)行分段銷售。如：某書定價25元，如果一次購買20本以上，超過20本的部分打八折，試寫出付款金額y（單位：元）與購書數(shù)量x（單位：本）之間的函數(shù)關(guān)系。解析：考查了分段函數(shù)，理解分段收費(fèi)的意義，明確每一段購書數(shù)量及相應(yīng)的購書單價是解題的關(guān)鍵，要注意x的取值范圍?？偨Y(jié)：（1）要特別注意相應(yīng)的自變量變化區(qū)間，在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應(yīng)取值范圍；（2）分段函數(shù)的圖象是由幾條線段（或射線）組成的折線。其中每條線段（射線）代表某一個階段的情況；（3）分析分段函數(shù)的圖象，要結(jié)合實(shí)際問題背景對圖象的意義進(jìn)行認(rèn)識和理解，尤其要理解折線中橫、縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義。（4）本節(jié)運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想有分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。例題 甲、乙兩人在一段長為1200米的筆直路上勻速跑步，甲、乙的速度分別為4m/s和6m/s，起跑前乙在起點(diǎn)，甲在乙前面100米處。若同時起跑，甲、乙兩人在從起跑至其中一人先到達(dá)終點(diǎn)的過程中，他們之間的距離y（m）與時間t（s）的函數(shù)圖象如圖所示。則t1s，y2 m。解析：根據(jù)圖象可知，當(dāng)t1時，y0，即6t4t100，求出即可；分為兩種情況：甲在乙的前面，y（4t100）6t，乙在甲的前面，y6t（4t100），求出即可。答案：解：當(dāng)y0時，6t4t100，解得：t50，即t150，當(dāng)0t50時，甲在乙的前面，y4t1006t2t100，12006200，當(dāng)50t200時，乙在甲的前面，y6t（4t100）2t100，當(dāng)t200時，y22200100300。故答案為：50s，300m。點(diǎn)撥：考查了分段函數(shù)與函數(shù)的圖象的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和觀察圖象的能力，用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想。幾何圖形中的分段計(jì)算例題 如圖，在矩形MNPQ中，MN6，PN4，動點(diǎn)R從點(diǎn)N出發(fā)，沿NPQM方向運(yùn)動至點(diǎn)M處停止。設(shè)點(diǎn)R運(yùn)動的路程為x，MNR的面積為y，（1）當(dāng)x3時，y ；當(dāng)x12時，y ；當(dāng)y6時，x ；（2）分別求當(dāng)0x4、4x10、10x14時，y與x的函數(shù)關(guān)系式。解析：（1）利用當(dāng)x3時，yMNRN，當(dāng)x12時，yRMMN以及當(dāng)y6時分別求出即可；（2）利用當(dāng)0x4、4x10、10x14時，根據(jù)R不同的位置，分別求出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可。答案：解：（1）如圖1，點(diǎn)R運(yùn)動的路程為x，MNR的面積為y，當(dāng)x3時，yMNRN639，如圖2，當(dāng)x12時，yRMMN266，根據(jù)以上計(jì)算可以得出當(dāng)y6時，x2或12，故答案為：9，6，2或12；（2）當(dāng)0x4時，R在PN上運(yùn)動，yMNRN6x3x；當(dāng)4x10時，R在QP上運(yùn)動，yMNPN6412；當(dāng)10x14時，R在QM上運(yùn)動，yMNRM64（x10）423x。收費(fèi)問題中的分段計(jì)算例題 （徐州中考）為增強(qiáng)公民的節(jié)約意識，合理利用天然氣資源，某市自1月1日起對市區(qū)民用管道天然氣價格進(jìn)行調(diào)整，實(shí)行階梯式氣價，調(diào)整后的收費(fèi)價格如表所示：每月用氣量單價（元/m3）不超出75m3的部分2.5超出75m3不超出125m3的部分a超出125m3的部分a0.25（1）若甲用戶3月份的用氣量為60m3，則應(yīng)繳費(fèi)元；（2）若調(diào)價后每月支出的燃?xì)赓M(fèi)為y（元），每月的用氣量為x（m3），y與x之間的關(guān)系如圖所示，求a的值及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；解析：（1）根據(jù)單價數(shù)量總價，就可以求出3月份應(yīng)該繳納的費(fèi)用；（2）結(jié)合統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)，根據(jù)單價數(shù)量總價的關(guān)系建立方程就可以求出a值，再從0x75，75x125和x125運(yùn)用待定系數(shù)法分別表示出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可。答案：解：（1）由題意，得602.5150（元）；（2）由題意，得a（325752.5）（12575），a2.75，a0.253，設(shè)OA的解析式為y1k1x，則有2.57575k1，k12.5，線段OA的解析式為y12.5x（0x75）；設(shè)線段AB的解析式為y2k2xb，由圖象，得，解得：，線段AB的解析式為：y22.75x18.75（75x125）；（385325）320，故C（145，385），設(shè)BC的解析式為y3k3xb1，由圖象，得，解得：，BC的解析式為y33x50（x125）（答題時間：45分鐘）一、選擇題1.（永州中考）某市打市話的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：每次3分鐘以內(nèi)（含3分鐘）收費(fèi)0.2元，以后每分鐘收費(fèi)0.1元（不足1分鐘按1分鐘計(jì)）。某天小芳給同學(xué)打了一個6分鐘的市話，所用電話費(fèi)為0.5元；小剛現(xiàn)準(zhǔn)備給同學(xué)打市話6分鐘，他經(jīng)過思考以后，決定先打3分鐘，掛斷后再打3分鐘，這樣只需電話費(fèi)0.4元。如果你想給某同學(xué)打市話，準(zhǔn)備通話10分鐘，則你所需要的電話費(fèi)至少為（）A. 0.6元B. 0.7元C. 0.8元D. 0.9元2.（瀘州中考）為了節(jié)能減排，鼓勵居民節(jié)約用電，某市將出臺新的居民用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：（1）若每戶居民每月用電量不超過100度，則按0.50元/度計(jì)算；（2）若每戶居民每月用電量超過100度，則超過部分按0.80元/度計(jì)算（未超過部分仍按每度電0.50元計(jì)算）?，F(xiàn)假設(shè)某戶居民某月用電量是x（單位：度），電費(fèi)為y（單位：元），則y與x的函數(shù)關(guān)系用圖象表示正確的是（）*3. 在一次遠(yuǎn)足活動中，小聰和小明由甲地步行到乙地后原路返回，小明在返回途中的丙地時發(fā)現(xiàn)物品可能遺忘在乙地，于是從丙地返回乙地，然后沿原路返回。兩人同時出發(fā)，步行過程中保持勻速。設(shè)步行的時間為t（h），兩人離甲地的距離分別為s1（km）和s2（km），圖中的折線分別表示s1、s2與t之間的函數(shù)關(guān)系。則下列說法中正確的是（）A. 甲、乙兩地之間的距離為20km B. 乙、丙兩地之間的距離為4kmC. 小明由甲地出發(fā)首次到達(dá)乙地的時間為小時D. 小明乙地到達(dá)丙地用了小時*4.（黃岡模擬）如圖所示，一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時間為x（h），兩車之間的距離為y（km），圖中的折線表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系。下列說法中錯誤的是（）A. 甲，乙兩地相距1000kmB. B點(diǎn)表示此時兩車相遇C. 快車的速度為166km/hD. BCD段表示慢車先加速后減速最后到達(dá)甲地*5.（哈爾濱道里區(qū)一模）甲、乙兩輛汽車沿同一路線趕赴距出發(fā)地480千米的目的地，甲出發(fā)不久因故停車檢修，修好后甲車?yán)^續(xù)向前行駛。乙車比甲車晚出發(fā)（從甲車出發(fā)時開始計(jì)時）。圖中折線OABC、線段DE分別表示甲、乙兩車所行路程y（千米）與時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系對應(yīng)的圖象。根據(jù)圖象中所提供的信息，有下列說法：乙車比甲車晚2小時出發(fā)；甲車修好后行駛了1.5小時與乙車在途中第二次相遇；乙車行駛的平均速度為每小時48千米；甲、乙兩車到達(dá)目的地所用的時間相同。符合圖象描述的說法有（）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個二、填空題：*6. （孝感模擬）某市自來水公司為鼓勵用戶節(jié)約用水，按以下規(guī)定收取水費(fèi)：月用水量不超過40噸的部分，按每噸1元收取水費(fèi)，超過40噸的部分，按每噸1.5元收取水費(fèi)。另外每噸用水加收0.2元的城市污水處理費(fèi)。若某戶水表有故障，每次用水只有60%記入用水量，這樣在3月份交水費(fèi)43.2元，該用戶3月份實(shí)際應(yīng)交水費(fèi) 元。*7. （秀洲區(qū)二模）某城市居民用水實(shí)行階梯收費(fèi)，每戶每月用水量如果未超過20噸，按每噸2.5元收費(fèi)。如果超過20噸，未超過的部分按每噸2.5元收費(fèi)，超過的部分按每噸3.3元收費(fèi)。設(shè)某戶每月用水量為x噸，應(yīng)收水費(fèi)為y元。（1）分別寫出每月用水量未超過20噸和超過20噸，y與x間的函數(shù)關(guān)系式。 （2）若該城市某戶4月份水費(fèi)平均為每噸2.8元，求該戶4月份用水 噸。*8. （黃陂區(qū)模擬）在一條直線上依次有A、B、C三個港口，甲、乙兩船同時分別從A、B港口出發(fā)，沿直線勻速駛向C港，最終達(dá)到C港。設(shè)甲、乙兩船行駛x（h）后，與B港的距離分別為y1、y2（km），y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示，若兩船的距離不超過10km時能夠相互望見，則甲、乙兩船可以相互望見時x的取值范圍為 。*9. 已知正方形ABCD的邊長是2，E是CD的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABCE運(yùn)動，到達(dá)E點(diǎn)即停止運(yùn)動，若點(diǎn)P經(jīng)過的路程為x，APE的面積記為y，試求出y與x之間的函數(shù)解析式 ，并求出當(dāng)y時，x的值為 。三、解答題：*10. 下圖表示甲、乙兩名選手在一次自行車越野賽中，各時間段的平均速度v（千米/小時）隨時間t（分）變化的圖象（全程），根據(jù)圖象提供的信息：（1）求這次比賽全程是多少千米；（2）求比賽開始后多少分鐘兩人相遇。*11.（衡陽中考）為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，鼓勵市民節(jié)約用電，我市從2012年7月1日起，居民用電實(shí)行“一戶一表”的“階梯電價”，分三個檔次收費(fèi)，第一檔是用電量不超過180千瓦時實(shí)行“基本電價”，第二、三檔實(shí)行“提高電價”，具體收費(fèi)情況如下折線圖，請根據(jù)圖象回答下列問題；（1）當(dāng)用電量是180千瓦時時，電費(fèi)是 元；（2）第二檔的用電量范圍是 ；（3）“基本電價”是 元/千瓦時；（4）小明家8月份的電費(fèi)是328.5元，這個月他家用電多少千瓦時？*12.（荊州中考）某個體戶購進(jìn)一批時令水果，20天銷售完畢。他將本次銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)可繪制如圖所示的函數(shù)圖象，其中日銷售量y（千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖甲所示，銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖乙所示。（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別求出第10天和第15天的銷售金額；（3）若日銷售量不低于24千克的時間段為“最佳銷售期”，則此次銷售過程中“最佳銷售期”共有多少天？在此期間銷售單價最高為多少元？圖甲圖乙1. B 解析：由已知通過分析可得：根據(jù)小剛通話的方式進(jìn)行，需要電話費(fèi)最少，即先打3分鐘，掛斷后再打3分鐘，再掛斷打10334分鐘，則費(fèi)用為：0.20.20.20.10.7。故選B。2. C 解析：根據(jù)題意，當(dāng)0x100時，y0.5x，當(dāng)x100時，y1000.50.8（x100）500.8x800.8x30，所以，y與x的函數(shù)關(guān)系為，縱觀各選項(xiàng)，只有C選項(xiàng)圖形符合。故選C。3. C 解析：根據(jù)圖中信息，甲、乙兩地之間的距離為10km，乙、丙兩地之間的距離為2km；故選項(xiàng)A、B錯誤；根據(jù)小明到達(dá)丙時所用時間為1小時，所行路程為（102）km，即v2（102）112km/h，t11012（小時），t2212（小時），故小明由甲地出發(fā)首次到達(dá)乙地用了小時，故選項(xiàng)C正確，由乙地到達(dá)丙地用了小時，故D選項(xiàng)錯誤。故選C。4. D 解析：解：A、由圖象知x0時，y1000，即甲、乙兩地的距離為1000km。故A正確；B. B點(diǎn)表示此時兩車在此處相遇，所用時間是4小時，故B正確；C. 快車速度為：166。故C正確；D. BCD段表示快、慢車相遇后行駛一段時間快車到達(dá)乙地，慢車?yán)^續(xù)行駛，慢車共用了12小時到達(dá)甲地，故本選項(xiàng)錯誤。故選D。5. C 解析：結(jié)合圖象即可得出：D點(diǎn)即是乙車比甲車晚出發(fā)的時間，乙車比甲車晚2小時出發(fā)，故此說法正確；根據(jù)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)F的橫坐標(biāo)為6，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為4.5，即可得出甲車修好后行駛了1.5小時與乙車在途中第二次相遇，故此說法正確；乙車行駛的平均速度為每小時48千米；根據(jù)乙行駛時間為：1028小時，路程為480km，故480860km/h，故此說法錯誤；甲、乙兩車到達(dá)目的地所用的時間相同，根據(jù)兩車所用時間均為8小時，故此說法正確。故正確的有：3個。故選C。6. 82 解析：設(shè)實(shí)際用水x噸，根據(jù)題意得60%x1.243.2解得：x60故實(shí)際繳費(fèi)401.2201.7483482元，故答案為82。7. （1） （2）32 解析：（1）當(dāng)x20時，y2.5x，當(dāng)x20時，y3.3（x20）50，y3.3x16；（2）該戶4月份水費(fèi)平均為每噸2.8元，該戶4月份用水超過20噸。設(shè)該用戶4月份用水a(chǎn)噸，得2.8a3.3a16，解得a32。 8. x 解析：由圖象可知，甲船的速度為：300.560千米/時，乙船的速度為：90330千米/時，由此可得：所以，甲、乙兩船離A港口的距離為s甲60x，s乙30x30，當(dāng)甲船在乙船前面10千米時，s甲s乙10，即：60x（30x30）10，解得x ，當(dāng)甲船在乙船前面10千米時，s乙s甲10，即：30x3060x10，解得x ，所以，當(dāng)兩船的距離不超過10km時，x。9. x或 解析：當(dāng)P在AB上，即0x2時，如圖1，yAPADx2x；當(dāng)P在BC上，即2x4時，如圖2，yS正方形ABCDSADESCEPSABP，22211（4x）2（x2）x3；當(dāng)P在CE上，即4x5時，如圖3，yEPAD（61x）2x5；。當(dāng)y時，x或x3或x5，解得：x或。10. 解：（1）這次比賽全程為1512千米；（2）設(shè)甲行駛的路程為y甲，乙行駛的路程為y乙，則y甲t（0t15），y甲t（15t33），y甲t（33t43），y乙t，當(dāng)15t33時，由tt，解得t24，當(dāng)33t43時，由tt，解得t38，比賽開始后24分鐘和38分鐘兩人相遇。11. 解：（1）由函數(shù)圖象，得當(dāng)用電量為180千瓦時，電費(fèi)為：108元。故答案為：108；（2）由函數(shù)圖象，得設(shè)第二檔的用電量為x千瓦時，則180x450。故答案為：180x450；（3）基本電價是：1081800.6；故答案為：0.6；（4）設(shè)直線BC的解析式為ykxb，由圖象，得，解得：，；y328.5時，x500。答：這個月他家用電500千瓦時。12. 解：（1）分兩種情況：當(dāng)0x15時，設(shè)日銷售量y與銷售時間x的函數(shù)解析式為yk1x，直線yk1x過點(diǎn)（15，30），15k130，解得k12，y2x（0x15）；當(dāng)15x20時，設(shè)日銷售量y與銷售時間x的函數(shù)解析式為yk2xb，點(diǎn)（15，30），（20，0）在yk2xb的圖象上，解得：，y6x120（15x20）；綜上，可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）第10天和第15天在第10天和第20天之間，當(dāng)10x20時，設(shè)銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)解析式為pmxn，點(diǎn)（10，10），（20，8）在pmxn的圖象上，解得：，px12（10x20），當(dāng)x10時，p10，y21020，銷售金額為：1020200（元），當(dāng)x15時，p15129，y30，銷售金額為：930270（元）。故第10天和第15天的銷售金額分別為200元、270元；（3）若日銷售量不低于24千克，則y24。當(dāng)0x15時，y2x，解不等式2x24，得x12；當(dāng)15x20時，y6x120，解不等式6x12024，得x16，12x16，“最佳銷售期”共有：161215（天）；px12（10x20），0，p隨x的增大而減小，當(dāng)12x16時，x取12時，p有最大值，此時p12129.6（元/千克）。故此次銷售過程中“最佳銷售期”共有5天，在此期間銷售單價最高為9.6元。