八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 輕松證全等試題 （新版）青島版.doc

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輕松證全等一、全等變換全等變換是進(jìn)行全等三角形綜合應(yīng)用時(shí)要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容。全等變換是指將一個(gè)圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等方法改變圖形位置，但形狀、大小均不改變。平移：將圖形平行移動(dòng)到另一位置。相關(guān)定理：平行線間的平行線段相等，平行線間的距離相等。旋轉(zhuǎn)：圖形繞某一點(diǎn)向某一方向旋轉(zhuǎn)一定的角度。通常為60度或90度或180度。翻折：將圖形沿某一條線折疊。二、全等三角形常用的輔助線1. 有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。倍長(zhǎng)中線法通常是全等變換中的旋轉(zhuǎn)思想的應(yīng)用。常用以下形式作輔助線延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE間接倍長(zhǎng)作CFAD于F，作BEAD的延長(zhǎng)線于E，連接DE2. 分析證明一條線段等于兩條線段和（差）的基本方法有兩種：（1）補(bǔ)短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段，使其為求證中的兩條線段之和，再證明所構(gòu)造的線段與求證中那一條線段相等。如圖：延長(zhǎng)AB，使BE=BD，連接DE，則AC=AB+BD。（2）截長(zhǎng)法：通過添加輔助線先在求證中長(zhǎng)線段上截取與線段中的某一段相等的線段，再證明截剩的部分與線段中的另一段相等。如圖：在AC上截取AE=AB，連接DE，則AC=AE+EC=AB+BD。方法歸納：1. 注意圖形是如何變換后全等的，特別注意旋轉(zhuǎn)與翻折的區(qū)別。2. 應(yīng)用輔助線解決問題時(shí)，注意重新繪制圖形，不要在習(xí)題上直接作線，這樣不方便后面改動(dòng)。3. 認(rèn)真讀題目、分析已知是關(guān)鍵，注意題干中的條件變化，如中點(diǎn)是否始終在圖形的變化中存在，直接影響到證明時(shí)是否使用中點(diǎn)這一條件。技巧歸納：（1）條件充足時(shí)直接應(yīng)用在證明與線段或角相等的有關(guān)問題時(shí)，常常需要先證明線段或角所在的兩個(gè)三角形全等，證明兩個(gè)三角形全等的條件比較充分。只要同學(xué)們認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個(gè)三角形全等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等。（2）條件不足，會(huì)增加條件用判別方法此類問題實(shí)際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充使三角形全等的條件。解這類問題的基本思路是：逆向思維，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案。（3）條件比較隱蔽時(shí)，可通過添加輔助線用判別方法在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時(shí)，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個(gè)三角形全等。（4）條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時(shí)，會(huì)通過構(gòu)造全等三角形用判別方法（5）會(huì)在實(shí)際問題中用全等三角形的判別方法在近年中考中出現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實(shí)際問題，體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)理念，應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視?？偨Y(jié)：1. 充分理解全等變換的內(nèi)容，理解圖形變化前后的關(guān)系為全等。 2. 使用輔助線證明是解題的關(guān)鍵，需要通過不斷的訓(xùn)練提高分析能力，掌握不同圖形添加不同的輔助線作法。例題1 如圖，有一塊邊長(zhǎng)為4的正方形塑料模板，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)落在點(diǎn)，兩條直角邊分別與交于點(diǎn)，與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。則四邊形的面積是 。解析：根據(jù)全等三角形的判定可知ADF與ABE全等，所以四邊形的面積等于原正方形的面積。答案：解：FAE=90，DAB=90，DAF=BAE，ADFABE（ASA）四邊形的面積正方形ABCD的面積，正方形邊長(zhǎng)為4四邊形的面積16點(diǎn)撥：本題主要考查全等三角形的判定以及圖形轉(zhuǎn)化的應(yīng)用。例題2 正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù)。 解析：延長(zhǎng)EB到G，使得BG=DF，易證ABGADF（SAS），可得AF=AG，進(jìn)而求證AEGAEF，可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90即可解題。答案：解：延長(zhǎng)EB到G，使得BG=DF，在ABG和ADF中，由可得ABGADF（SAS），BAG=DAF，AG=AF，又EF=BE+DF=EB+BG=EG，AE=AE，在AEG和AEF中，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90，EAG+EAF=90，EAF=45。故答案為：EAF=45。點(diǎn)撥：本題是截長(zhǎng)補(bǔ)短類證明的典型例題，考查了全等三角形的判定及全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證EAG=EAF是解題的關(guān)鍵。倍長(zhǎng)中線證明全等中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線。所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法。下面舉例說明。拓展 如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線。已知AC=5，AD=4，則AB的取值范圍是_。解析：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接CE，利用“邊角邊”證明ABD和ECD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=AB，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊解答。答案：解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接CE，則AE=2AD=24=8，AD是BC邊上的中線，BD=CD，在ABD和ECD中，ABDECD（SAS），AB=EC，又AC=5，AE=85+8=13，85=3，3CE13，即AB的取值范圍是：3AB13。故答案為：3AB13。（答題時(shí)間：45分鐘）一、選擇題1. 如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線。則AB+AC（ ）2AD。A. C. = D. 無法比較2. 如圖，將兩根鋼條、的中點(diǎn)O連在一起，使、可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，就做成了一個(gè)測(cè)量工件，則的長(zhǎng)等于內(nèi)槽寬AB，那么判定AOB的理由是（ ）A. 邊角邊 B. 角邊角 C. 邊邊邊 D. 角角邊 *3. 已知：如圖，在ABC、ADE中，BAC=DAE=90，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE。以下四個(gè)結(jié)論：BD=CE；BDCE；ACE+DBC=45；其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3*4. 如果兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三條邊所對(duì)的角的關(guān)系是（ ）A. 相等B. 不相等C. 相等或互余D. 相等或互補(bǔ)*5. 在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE、BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：BG=CE BGCE AM是AEG的中線 EAM=ABC，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)二、填空題：*6. 如圖所示，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過正方形的頂點(diǎn)B、D作BFa于點(diǎn)F，DEa于點(diǎn)E，若DE=8，BF=5，則EF的長(zhǎng)為 *7. 如圖，ACB=90，AC=BC，BECE于E，ADCE于D，下面四個(gè)結(jié)論：ABE=BAD；CEBADC；AB=CE；ADBE=DE。正確的是 （將你認(rèn)為正確的答案序號(hào)都寫上）。*8. 如圖，在ABC和ADE中，有以下四個(gè)論斷：AB=AD，AC=AE，C=E，BC=DE，請(qǐng)以其中三個(gè)論斷為條件，余下一個(gè)論斷為結(jié)論，寫出一個(gè)真命題（用序號(hào)“JJJJ”的形式寫出）： *9. 已知：如圖，AD是ABC的中線，點(diǎn)E在AD上，BE=AC，延長(zhǎng)BE交于AC于F，則圖中與AF相等的線段是 三、解答題：*10. ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求證：CD=AD+BC。*11. 如圖，ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DEDF，試判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。*12. 如圖，把一個(gè)直角三角形ACB（ACB=90）繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點(diǎn)D，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置。F，G分別是BD，BE上的點(diǎn)，BF=BG，延長(zhǎng)CF與DG交于點(diǎn)H。（1）求證：CF=DG；（2）求FHG的度數(shù)。*13. 已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E、F，（1）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)將三條線段分別填入后面橫線中： + = （不需證明）（2）當(dāng)MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上問的結(jié)論分別是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，那么這三條線段又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明。1. B 解析：如圖延長(zhǎng)AD至E，使AD=DE，連接BE。在ACD和EBD中：DCDB，ADCEDB，ADED，ACDEBD（SAS），AC=EB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），在ABE中，由三角形的三邊關(guān)系可得AEAB+BE，即2ADAB+AC，AB+AC2 AD。2. A 解析：OA=OA，AOB=AOB，OB=OB，OABOAB（SAS），所以理由是SAS。3. D 解析：BAC=DAE=90，BAC+CAD=DAE+CAD，即BAD=CAE，在BAD和CAE中，ABAC，BADCAE，ADAE，BADCAE（SAS），BD=CE，本選項(xiàng)正確；BADCAE，ABD=ACE，ABD+DBC=45，ACE+DBC=45，DBC+DCB=DBC+ACE+ACB= 90，則BDCE，本選項(xiàng)正確；ABC為等腰直角三角形，ABC=ACB=45，ABD+DBC=45，ABD=ACE，ACE+DBC=45，本選項(xiàng)正確；綜上，正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)。故選D4. D 解析：解：當(dāng)兩個(gè)三角形都是銳角三角形時(shí)，如圖1，AM，DN分別是ABC和DEF的高，且BC=EF，AM=DN，圖1AC=DF，AMCDNF90，在RtAMC和RtDNF中，ACDF，AMDN，AMCDNF（HL），MCA=NFD，即這兩個(gè)三角形的第三條邊所對(duì)的角也相等；當(dāng)兩個(gè)三角形都是鈍角三角形時(shí)，同樣有兩個(gè)三角形的第三條邊所對(duì)的角也相等；當(dāng)兩個(gè)三角形都是直角三角形時(shí)，同樣有兩個(gè)三角形的第三條邊所對(duì)的角相等且互補(bǔ)；當(dāng)兩個(gè)三角形一個(gè)是鈍角三角形，另一個(gè)是銳角三角形時(shí)，如圖2，AM，DN分別是ABC和DEF的高，且BC=EF，AM=DN，AC=DF，易證得RtAMCRtDNF，ACM=DFN，而ACB+ACM=180，ACB+DFE =180，即這兩個(gè)三角形的第三條邊所對(duì)的角互補(bǔ)。所以如果兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三條邊所對(duì)的角相等或互補(bǔ)。故選D。圖25. A 解析：在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE，AC=AG，BAE=CAG=90，BAE+BAC=CAG+BAC，即CAE=BAG，在ABG和AEC中，ABAE CAEBAG ACAG，ABGAEC（SAS），BG=CE，故正確；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，ABGAEC，ACE=AGB，NCF+NGF=ACF+AGF =90+90=180，CNG=360（NCF+NGF+F）=360（180+90）=90，BGCE，故正確；過點(diǎn)E作EPHA的延長(zhǎng)線于P，過點(diǎn)G作GQAM于Q，AHBC，ABH+BAH=90，BAE=90，EAP+BAH=18090=90，ABH=EAP，EAM=ABC，故正確，在ABH和EAP中，AHBP90，ABHEAP，ABAE，ABHEAP（AAS），EP=AH，同理可得GQ=AH，EP=GQ，在EPM和GQM中，PMQG90，EMPGMQ，EPGQ，EPMGQM（AAS），EM=GM，AM是AEG的中線，故正確。綜上所述，結(jié)論都正確。故選A。6. 13 解析：四邊形ABCD是正方形（已知），AB=AD，ABC=BAD=90；又FAB+FBA=FAB+EAD=90，F(xiàn)BA=EAD（等量代換）；BFa于點(diǎn)F，DEa于點(diǎn)E，在RtAFB和RtDEA中，AFBDEA90，F(xiàn)BAEAD，ABDA，AFBDEA（AAS），AF=DE=8，BF=AE=5（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13。故答案為：13。7. 、解析：BEC=ADC=90，BCE=CAD，ABE=BAD 正確；BCE+ECA=90，ECA+CAD=90，BCE=CAD，又E=ACB=90，AC=BC，CEBADC 正確；CE=AD，BE=CD，ADBE=DE 正確；而不能證明，故答案為、。故填、。8. 或 解析：根據(jù)SSS，可知由，可得出ABCADE，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出，故真命題是；根據(jù)SAS，可知由，可得出ABCADE，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出，故真命題是。故填或。9. EF 解析：如圖，延長(zhǎng)AD至M，使DM=AD，連接BM，AD是ABC的中線，BD=CD，在ACD和MBD中，ADDM，ADCMDB，CDBD，ACDMBD（SAS），M=CAD，AC=BM，BE=AC，BM=BE，M=BEM，BEM=CAD，BEM=AEF（對(duì)頂角相等），AEF=CAD，AF=EF（等角對(duì)等邊）。即與AF相等的線段是EF。10. 證明：如圖在CD上截取CF=BC，F(xiàn)CEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4。在FDE與ADE中，3=4，DE=DE，F(xiàn)DE=ADE。FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。11. BE+CFFP=EF。證明：延長(zhǎng)ED至P，使DP=DE，連接CP、FP，D是BC的中點(diǎn)，BD=CD，在BDE和CDP中，DPDE，EDBCDP，BDCD，BDECDP（SAS），BE=CP，DEDF，DE=DP，EF=FP，在CFP中，CP+CF=BE+CFFP=EF。12. （1）證明：在CBF和DBG中，BCBD，CBFBDG60，BFBG，CBFDBG（SAS），CF=DG；（2）解：CBFDBG，BCF=BDG，又CFB=DFH，DHF=CBF=60，F(xiàn)HG=180DHF=18060=120。13. （1）AE+CF=EF，（2）如圖2，（1）中結(jié)論不成立。證明：（1）延長(zhǎng)FC到H，使CH=AE，連接BH，ABAD，BCCD，A=BCH=90，在BCH和BAE中BCAB，BCHA，CHAE，BCHBAE（SAS），BH=BE，CBH=ABE，ABC=120，MBN=60，ABE+CBF=12060=60，HBC+CBF=60，HBF=60=MBN，在HBF和EBF中，BHBE，HBFEBF，BFBF，HBFEBF（SAS），HF=EF，HF=HC+CF=AE+CF，EF=AE+CF。（2）證明：（1）中的結(jié)論不成立，線段AE、CF，EF的數(shù)量關(guān)系是AE=EF+CF，證明：在AE上截取AQ=CF，連接BQ，ABAD，BCCD，A=BCF=90，在BCF和BAQ中，BCAB，BCFA，CFAQ，BCFBAQ（SAS），BF=BQ，CBF=ABQ，MBN=60=CBF+CBE，CBE+ABQ=60，ABC=120，QBE=12060=60=MBN，在FBE和QBE中BFBQ FBEQBE BEBE，F(xiàn)BEQBE（SAS），EF=QE，AE=QE+AQ=EF+CF，AE=EF+CF，即（1）中的結(jié)論不成立，線段AE、CF，EF的數(shù)量關(guān)系是AE=EF+CF。