九年級數(shù)學下冊 專題突破講練 利用二次函數(shù)設計方案試題 （新版）青島版.doc

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利用二次函數(shù)設計方案利用二次函數(shù)設計方案這類問題常常給出問題情景與解決問題的要求，讓學生設計解決問題的方案，或給出多種不同方案，讓學生判斷它們的優(yōu)劣。這類試題不僅要求學生要有扎實的數(shù)學雙基知識，而且要能夠把實際問題中所涉及的數(shù)學問題轉化、抽象成具體的數(shù)學問題。解這類問題的關鍵是尋找相等關系，利用函數(shù)的圖象和性質解決問題。方法歸納：從方法上分兩類進行概括：（1）方案已知，要求選優(yōu)；（2）先求方案，再選最優(yōu)。總結：1. 能夠利用二次函數(shù)解決施工方案、銷售方案等實際應用問題。2. 能夠利用二次函數(shù)進行方案設計，解決較為復雜的應用問題。例題1 今年，6月12日為端午節(jié)。在端午節(jié)前夕，三位同學到某超市調研一種進價為2元的粽子的銷售情況。請根據(jù)小麗提供的信息，解答小華和小明提出的問題。（1）小華的問題解答：_。（2）小明的問題解答：_。解析：本題是以對話的形式給出的，首先應明確已知和所求，再根據(jù)題意建立二次函數(shù)關系模型，利用二次函數(shù)的最值進行解答。答案：解：（1）設實現(xiàn)每天800元利潤的定價為x元/個，根據(jù)題意，得（x2）（50010）800。整理得：x210x240，解之得：x14，x26。物價局規(guī)定，售價不能超過進價的240%，即2240%4.8（元），x26不合題意，舍去，得x4。答：應定價4元/個，才可獲得800元的利潤。（2）設每天利潤為W元，定價為x元/個，得W（x2）（50010）100x21000x1600100（x5）2900。x5時W隨x的增大而增大，且x4.8，當x4.8時，W最大100（4.85）2900896800。故800元不是最大利潤，當定價為4.8元/個時，每天利潤最大。點撥：本題主要考查利用二次函數(shù)模型解決實際問題的能力。要先根據(jù)題意列出函數(shù)關系式，再利用函數(shù)關系式求值。注意：數(shù)學應用題來源于實踐并應用于實踐，在當今社會市場經(jīng)濟的環(huán)境下，應掌握一些有關商品價格和利潤的知識。例題2 某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件。（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式；（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；（3）商場的營銷部結合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元。請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由。解析：本題可根據(jù)總利潤（銷售價進價）銷售量來確立函數(shù)關系式，關鍵是第（3）題，求兩種方案的最大利潤時，不一定是二次函數(shù)頂點處的最值，可畫出圖形，結合二次函數(shù)的圖象解答。答案：（1）w（x20）25010（x25）10x2700x10000；（2）w10x2700x1000010（x35）22250，所以，當x35時，w有最大值2250，即銷售單價為35元時，該文具每天的銷售利潤最大。（3）方案A：由題意可得20x30，因為a100，對稱軸為x35，所以該拋物線開口向下，在對稱軸左側，w隨x的增大而增大，所以當x30時，w取得最大值為w10（3035）222502000（元）。方案B：由題意可得，解得：45x49。在對稱軸右側，w隨x的增大而減小，所以當x45時，w取得最大值為w10（4535）222501250（元）。因為20001250，所以選擇方案A。點撥：這是一類比較簡單的方案設計問題，確切地講，方案不需要設計，題目已經(jīng)給出具體方案。解答這類問題時關鍵是對所給方案進行比較，找出合適的、合理的方案。從二次函數(shù)的應用這個角度講，本題主要考查了利用二次函數(shù)的圖象和性質求二次函數(shù)的最值，特別是非頂點處的最值。有些方案設計問題其本質就是求滿足某種特殊要求的自變量的取值或函數(shù)值。解答這類問題時的解題策略與一般的函數(shù)應用問題相同，需要特別注意的是自變量和函數(shù)值的特殊要求，這往往表現(xiàn)在自變量或函數(shù)值是整數(shù)、正整數(shù)等。例 某小區(qū)有一長100m，寬80m的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場，設計圖案如圖所示，陰影區(qū)域為綠化區(qū)（四塊綠化區(qū)是全等矩形），空白區(qū)域為活動區(qū)，且四周出口一樣寬，寬度不小于50m，不大于60m。預計活動區(qū)每平方米造價60元，綠化區(qū)每平方米造價50元。（1）設其中一塊綠化區(qū)的長邊長為x m，寫出工程總造價y（元）與x（m）的函數(shù)關系式（寫出x的取值范圍）；（2）如果小區(qū)投資46.9萬元，問能否完成工程任務？若能，請寫出x為整數(shù)的所有工程方案；若不能，請說明理由。（參考數(shù)據(jù)：1.732）答案：解：（1）因為出口寬為（1002x），所以一塊綠化區(qū)的短邊長為80（1002x）（x10），所以y504x（x10）60100804x（x10）200x22000x480000240x22400x，所以y40x2400x480000（20x25）。（2）能。因為40x2400x480000469000，所以x210x2750，所以x510。所以x151022.32，x2=51012.32（舍去），所以投資46.9萬元能完成工程任務。因為y40x2400x480000（20x25）的對稱軸是x5，又因為此拋物線開口向下，所以在20x25內y隨x的增大而減小，所以當x22.32時投資46.9萬元能夠完成工程任務，x為整數(shù)的工程方案如下：方案一：一塊矩形綠化區(qū)的長為23m，寬為13m；方案二：一塊矩形綠化區(qū)的長為24m，寬為14m；方案三：一塊矩形綠化區(qū)的長為25m，寬為15m。點撥：本題是確定函數(shù)關系式及利用函數(shù)的性質設計工程方案的問題。解題過程中應理解：工程總造價包括綠化區(qū)造價和活動區(qū)造價兩部分；根據(jù)投資額得出方程，結合圖象的性質求出完成工程任務的所有方案。一、選擇題1. 喜迎圣誕，某商店銷售一種進價為50元/件的商品，售價為60元/件，每星期可賣出200件，若每件商品的售價每上漲1元，則每星期就會少賣出10件。設每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每星期銷售該商品的利潤為y元，則y與x的函數(shù)解析式為（ ）A. y10x2100x2000B. y10x2100x2000C. y10x2200xD. y10x2100x2000*2. 生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，當它的產(chǎn)品無利潤時就會及時停產(chǎn)，現(xiàn)有一生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，一年中獲得利潤y與月份n之間的函數(shù)關系式是yn215n36，那么該企業(yè)一年中應停產(chǎn)的月份是（ ）A. 1月，2月B. 1月，2月，3月C. 3月，12月D. 1月，2月，3月，12月*3. 某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質量分為10個檔次。第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)76件，每件利潤10元。每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少4件。該工廠一天能獲得的最大利潤是（ ）A. 1120元B. 1144元C. 1152元D. 1160元*4. 某企業(yè)投資100萬元引進一條新產(chǎn)品加工線，若不計維修、保養(yǎng)費用，預計投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬元，該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費用累計為y萬元，其情況如圖所示，可以看出圖中的折線近似于過原點的拋物線的一部分。則該公司第幾年可以收回投資并開始贏利（ ）A. 第3年B. 第4年C. 第5年D. 第6年二、填空題*5. 李大伯第一次種植大棚菜，在塑料大棚內密植了100棵黃瓜秧，收獲時，每棵黃瓜秧平均只收獲2千克黃瓜，聽說鄰居每棵黃瓜秧可收獲近5千克黃瓜，他便向縣農(nóng)業(yè)技術員請教，農(nóng)業(yè)技術員查看了情況后說：種植太密，不通風，并告訴他如何改進。已知每少栽一棵秧苗，一棵黃瓜秧平均可多收0.1千克黃瓜，那么請你幫李伯伯計算減少_棵黃瓜秧苗收獲最多，最多收獲_千克。*6. 某種消費品每件60元，不收附加稅時，每年大約銷售80萬件，若政府收附加稅時，每銷售100元要征稅x元（叫做稅率x%），則每年銷售量將減少x萬件，要使每年在此項經(jīng)營中收取的稅金不少于128萬元，問稅率x%的范圍是_，當稅率x%_時，所收取的稅金最多，為_萬元。*7. 某旅行社有100張床位，每床每日收費10元，客床可全部租出，若每床每日收費提高2元，則租出床位減少10張。若每床每日收費再提高2元，則租出床位再減少10張。以每提高2元的這種方法變化下去，為了投資少而獲利大，每床每日應提高_元。*8. 某工廠要趕制一批抗震救災用的大型活動板房。如圖，板房一面的形狀是由矩形和拋物線的一部分組成，矩形長為12m，拋物線拱高為5.6m?，F(xiàn)需在拋物線AOB的區(qū)域內安裝幾扇窗戶，窗戶的底邊在AB上，每扇窗戶寬1.5m，高1.6m，相鄰窗戶之間的間距均為0.8m，左右兩邊窗戶的窗角所在的點到拋物線的水平距離至少為0.8m。最多可安裝_扇這樣的窗戶。（參考數(shù)據(jù)：5.072）三、解答題9. 某商場以100元一件的價格進一批服裝，若將售價定為120元一件，則每天可賣120件，經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)，售價每增加5元，則每天會少賣10件，那么商場將售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？10. 某商場購進一種每件價格為100元的新商品，在商場試銷發(fā)現(xiàn)：銷售單價x（元/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關系：（1）求出y與x之間的函數(shù)關系式；（2）寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)關系式；若你是商場負責人，會將售價定為多少，來保證每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？*11. 某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進時的單價是30元，根據(jù)市場調查：在一段時間內，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具。（1）不妨設該種品牌玩具的銷售單價為x元（x40），請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得的利潤w元，并把結果填寫在表格中：銷售單價（元）x銷售量y（件）_銷售玩具獲得利潤w（元）_（2）在（1）問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價x應定為多少元。（3）在（1）問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？*12. 為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關政策：由政府協(xié)調，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔。李明按照相關政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈。已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系近似滿足一次函數(shù)：y10x500。（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為20元，那么這個月政府為他承擔的總差價為多少元？（2）設李明獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？（3）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元。如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？一、選擇題1. A 解析：設每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），則每件商品的利潤為：（6050x）元，總銷量為：（20010x）件，商品利潤為：y（6050x）（20010x）（10x）（20010x）10x2100x2000。故選：A。*2. D 解析：令y0，則n215n360，n215n360，解得n13，n212，a10，拋物線開口向下，n1和n2時，y0，該企業(yè)一年中應停產(chǎn)的月份是1月，2月，3月，12月。故選D。*3. C 解析：設生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元（其中x為正整數(shù)，且1x10），則y102（x1）764（x1）8x2128x6408（x8）21152，所以生產(chǎn)第8檔次的產(chǎn)品一天能獲得最大利潤1152元。*4. B 解析：因為此拋物線過原點，所以設其解析式為yax2bx。由題意可知，x1時，y1.5；x2時，y5，分別代入yax2bx，得，解得a1，b，yx2x。設g33x100x2x，則gx232x100。當x3時，g931000，當x4時，g1613010014（萬元），即第4年可收回投資并開始贏利。二、填空題*5. 40，360 解析：設減少x棵黃瓜秧苗，使得黃瓜收獲最多，由題意得：y（100x）（0.12）0.1x28x2000.1（x40）2360，當x40棵時，y最多360千克。故答案為：40，360。*6. 4%x%8%，6%，144 解析：設收取的稅金為y萬元，則y（80x）604x248x4（x6）2144。解4x248x128，得x14，x28，因為拋物線開口向下，所以當4x8時，y128，即稅金不少于128萬元時稅率x%的范圍是4%x%8%。當x6時，y最大144，即當稅率x%6%時收取的稅金最多，為144萬元。依題意有：征附加稅x元（叫做稅率x%），每年銷售量將減少x萬件，則銷量變?yōu)椋?0x）萬件，要使每年在此項經(jīng)營中所收取的附加稅額不少于128萬元，可以建立如下不等式：（80x）60128，解得：4x8。4%x%8%，W（80x）604x2+48x，當x6時，W最大144。*7. 6 解析：設每床每日應提高x元，每日獲利為y元，則y（10x）（10010）5（x5）21125（2x10），a50，函數(shù)圖象開口向下，二次函數(shù)有最大值，為了投資少而獲利大，當x6時，每日獲利y最大。故填6元。注意本題是以每提高2元的方案進行的，雖然x4和x6都獲利大，但當x4時租出的床位數(shù)大于x6時租出的床位數(shù)，投資會多一些，所以當x6時投資少而獲利大。*8. 4 解析：設拋物線的表達式為yax2，點B（6，5.6）在拋物線的圖象上。5.636a，解得a，拋物線的表達式為yx2。設窗戶上邊所在直線交拋物線于C、D兩點，D點坐標為（k，t），已知窗戶高1.6m，t5.6+（1.6）4，有4k2，解得k5.07（負值舍去），CD5.07210.14m，又設最多可安裝n扇窗戶，1.5n0.8（n1）10.14，解得n4.06。即最多可安裝4扇窗戶。三、解答題9. 解：設每天銷售利潤為y元，而售價為x元，則由題意得y（x100）（12010）2x2560x36000（100x180）。將其配方化成標準形式得y2（x140）23200。所以當x140時，函數(shù)有最大值3200元。即商場將售價定為140元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為3200元。10. 解析：（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為ykxb（k0）。由所給函數(shù)圖象得，解得。函數(shù)關系式為yx180。（2）W（x100）y（x100）（x180）x2280x18000（x140）21600，當x140時，W最大1600。售價定為140元/件時，每天最大利潤W1600元。*11. 解：（1）y60010（x40）100010x，w（x30）（100010x）10x21300x30000。銷售單價（元）x銷售量y（件）100010x銷售玩具獲得利潤w（元）10x21300x30000（2）10x21300x3000010000，解之得：x150，x280。答：玩具銷售單價為50元或80元時，可獲得10000元銷售利潤。（3）根據(jù)題意得，解之得：44x46。w10x21300x3000010（x65）212250。a100，對稱軸為x65，當44x46時，y隨x增大而增大。當x46時，W最大值8640（元）。答：商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤為8640元。*12. 解：（1）當x20時，y10x5001020500300，300（1210）3002600，即這個月政府為他承擔的總差價為600元。（2）依題意得，w（x10）（10x500）10x2600x500010（x30）24000，a100，當x30時，w有最大值4000。即當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000元。（3）由題意得：10x2600x50003000，解得：x120，x240。a100，拋物線開口向下，結合圖象可知：當20x40時，w3000。又x25，當20x25時，w3000。設政府每個月為他承擔的總差價為p元，p（1210）（10x500）20x1000。k200。p隨x的增大而減小，當x25時，p有最小值500。即銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元。