九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 相似三角形的性質(zhì)試題 （新版）青島版.doc

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相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)1. 相似三角形的對應(yīng)角相等；2. 相似三角形的對應(yīng)邊成比例；3. 相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)周長的比等于相似比。方法歸納：（或技巧歸納）當(dāng)你發(fā)現(xiàn)問題中出現(xiàn)以下情況時(shí)，很可能是借助相似來解決： 比或比例；示例：平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，則BF：EF=_解析：此題主要考查了平行四邊形、相似三角形的性質(zhì)由題可知ABFCEF，然后根據(jù)相似比求解答案：3：2 解：DE：EC=1：2；EC：CD=2：3即EC：AB=2：3，ABCD，ABFCEF，BF：EF=AB：EC=3：2 線段的積；示例：四邊形中，AC平分DAB，ADC=ACB=90，求證：解析：由AC平分DAB，ADC=ACB=90，可證得ADCACB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得AC2=ABAD；證明：AC平分DAB，DAC=CAB，ADC=ACB=90，ADCACB，AD：AC=AC：AB，AC2=ABAD；邊或角所在三角形與已知的邊或角所在三角形不全等。示例：如圖，在RtABC中，ACB=90，AB=5，AC=4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點(diǎn)E，則CE的長為_解析：本題主要考查直角三角形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用及方程的數(shù)學(xué)思想解決此題需要我們利用線段的垂直平分線的性質(zhì)和三角形相似進(jìn)行計(jì)算答案： 解：ACB=90，AB=5，AC=4，根據(jù)勾股定理得：BC=3，而AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點(diǎn)E，BD=，BDE=90，又B=B，ACBEDB，BC：BD=AB：BE，又BC=3，AB=5，BE=，從而得到CE=BEBC=總結(jié)：1. 掌握相似三角形的性質(zhì)；2. 能利用相似三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)或線段的長度、線段之間的關(guān)系等。例題1 如圖，在RtABC中，C90，翻折C，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）。若CEF與ABC相似。（1）當(dāng)ACBC2時(shí)，求AD的長；（2）當(dāng)AC3，BC4時(shí)，求AD的長。解析：若CEF與ABC相似。（1）當(dāng)ACBC2時(shí)，ABC為等腰直角三角形；（2）當(dāng)AC3，BC4時(shí)，分兩種情況：（I）若CE：CF3：4，如答圖2所示，此時(shí)EFAB，CD為AB邊上的高；（II）若CF：CE3：4，如答圖3所示。由相似三角形角之間的關(guān)系，可以推出AECD與BFCD，從而得到CDADBD，即D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)。答案：若CEF與ABC相似。（1）當(dāng)ACBC2時(shí)，ABC為等腰直角三角形，如答圖1所示。此時(shí)D為AB邊中點(diǎn)，2AD2AC2，ADAC。（2）當(dāng)AC3，BC4時(shí)，有兩種情況：（I）若CE：CF3：4，如答圖2所示。CE：CFAC：BC，EFBC。由折疊性質(zhì)可知，CDEF，CDAB，即此時(shí)CD為AB邊上的高。在RtABC中，AC3，BC4，AB5。ADCACB90且AA，ACDABC，即，AD；（II）若CF：CE3：4，如答圖3所示。CFECAB，CEFB。由折疊性質(zhì)可知，CEFECD90，又AB90，AECD，ADCD。同理可得：BFCD，CDBD，此時(shí)ADAB。綜上所述，當(dāng)AC3，BC4時(shí)，AD的長為或。點(diǎn)撥：本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問題和相似三角形的判定與性質(zhì)。第（2）問需要分兩種情況分別計(jì)算，此處容易漏解，需要引起注意。利用相似三角形的性質(zhì)求線段的長度是一類常見問題，常常綜合考查勾股定理、等腰三角形、四邊形等知識，特別是在中考試題中經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，有時(shí)難度較大。解答這類問題時(shí)通常利用相似三角形對應(yīng)邊成比例或勾股定理等列方程，用代數(shù)方法求線段的長度。滿分訓(xùn)練 如圖，直角三角形ABC中，ACB90，AB10，BC6，在線段AB上取一點(diǎn)D，作DFAB交AC于點(diǎn)F?，F(xiàn)將ADF沿DF折疊，使點(diǎn)A落在線段DB上，對應(yīng)點(diǎn)記為A1；AD的中點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)記為E1。若E1FA1E1BF，則AD_。解析：ACB90，AB10，BC6，AC8，設(shè)AD2x，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將ADF沿DF折疊，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)記為A1，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為E1，AEDEDE1A1E1x，DFAB，ACB90，AA，ABCAFD，AD：ACDF：BC，即2x：8DF：6，解得DF1.5x，在RtDE1F中，E1F2DF2DE123.25x2，又BE1ABAE1103x，E1FA1E1BF，E1FA1E1BE1E1F，E1F2A1E1BE1，即3.25x2x（103x），解得x1.6，AD的長為21.63.2。答案：3.2點(diǎn)撥：本題是一道綜合性難題，主要考查軸對稱變換、折疊、勾股定理、相似三角形的對應(yīng)邊成比例。利用勾股定理列式求出AC，設(shè)AD2x，得到AEDEDE1A1E1x，然后求出BE1，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出E1F，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解得到x的值，從而得出AD的值。（答題時(shí)間：30分鐘）一、選擇題1. 如圖，ABC中，DEBC，DE1，AD2，DB3，則BC的長是（ ）A. B. C. D. *2. 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E為OD的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC于點(diǎn)F，則DF：FC（ ）A. 1：4B. 1：3C. 2：3D. 1：2*3. 如圖所示，ADBC，D90，DC7，AD2，BC3。若在邊DC上有點(diǎn)P使PAD與PBC相似，則這樣的點(diǎn)P有（ ）A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個*4. 如圖，在ABC中，ABACa，BCb（ab）。在ABC內(nèi)依次作CBDA，DCECBD，EDFDCE。則EF等于（ ）A. B. C. D. 二、填空題5. 在平行四邊形ABCD中，E在DC上，若DE：EC1：2，則BF：BE_。6. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE4：3，且BF2，則DF_。 *7. 如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD3，ADE60，則AE的長為_。*8. 如圖，在RtABC中，ACB90，BC3，AC4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點(diǎn)E，則CE的長為_。三、解答題*9. 如圖，在平行四邊形ABCD中，ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點(diǎn)E、F。（1）求證：ABAF；（2）當(dāng)AB3、BC5時(shí)，求的值。*10. 如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且AFEB。（1）求證：ADFDEC；（2）若AB8，AD6，AF4，求AE的長。*11. 如圖，四邊形ABCD中，AC平分DAB，ADCACB90，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC2ABAD；（2）求證：CEAD；（3）若AD4，AB6，求的值。*12. 【提出問題】（1）如圖1，在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊AMN，連結(jié)CN。求證：ABCACN?！绢惐忍骄俊浚?）如圖2，在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論ABCACN還成立嗎？請說明理由?！就卣寡由臁浚?）如圖3，在等腰ABC中，BABC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰AMN，使頂角AMNABC。連結(jié)CN。試探究ABC與ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。1. C 解析：DEBC，ADEABC，則，DE1，AD2，DB3，ABADDB5，BC。故選C。2. D 解析：在平行四邊形ABCD中，ABDC，則DFEBAE，O為對角線的交點(diǎn)，DOBO，又E為OD的中點(diǎn)，DEDB，則DE：EB1：3，DF：AB1：3，DCAB，DF：DC1：3，DF：FC1：2。故選D。3. C 解析：設(shè)PDx，則（1）若APDPBC，則，即，解之得x；（2）若PADBPC，則，即，解之得x11，x26。綜上所述，存在三個點(diǎn)P，使PAD與PBC相似。4. C 解析：ABAC，ABCACB，又CBDA，ABCBDC，同理可得：ABCBDCCDEDFE，且BDBC，CECD，解得：CD，DE，EF。故選C。5. 3：5 解析：DE：EC1：2，EC：CD2：3即EC：AB2：3，ABCD，ABFCEF，BF：EFAB：EC3：2。BF：BE3：5。6. 解析：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，ABCD，AE：BE4：3，BE：AB3：7，BE：CD3：7。ABCD，BEFDCF，BF：DFBE：CD3：7，即2：DF3：7，DF。7. 7 解析：ABC是等邊三角形，BC60，ABBC；CDBCBD936；BADADB120，ADE60，ADBEDC120，DABEDC，又BC60，ABDDCE，則，即，解得：CE2，故AEACCE927。8. 解析：在RtABC中，BC3，AC4，AB5，BD。易知ABCEBD，即，BE，CEBEBC3。9. 解：（1）證明：如圖，在平行四邊形ABCD中，ADBC，23。BF是ABC的平分線，12。13。ABAF。（2）AEFCEB，23，AEFCEB，。10. 解：（1）證明：在平行四邊形ABCD中ABCD，ADBC，CB180，ADFDEC。AFDAFE180，AFEB，AFDC。在ADF與DEC中，ADFDEC。（2）解：平行四邊形ABCD，CDAB8。由（1）知ADFDEC，DE12。在RtADE中，由勾股定理得：AE6。11. 解：（1）證明：AC平分DAB，DACCAB，ADCACB90，ADCACB，AD：ACAC：AB，AC2ABAD；（2）證明：E為AB的中點(diǎn)，CEABAE，EACECA，DACCAB，DACECA，CEAD；（3）解：CEAD，AFDCFE，AD：CEAF：CF，CEAB，CE63，AD4，。12. 解：（1）證明：ABC、AMN是等邊三角形，ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABCACN。（2）解：結(jié)論ABCACN仍成立。理由如下：ABC、AMN是等邊三角形，ABAC，AMAN，BACMAN60，BAMCAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABCACN。（3）解：ABCACN。理由如下：BABC，MAMN，頂角ABCAMN，底角BACMAN，ABCAMN，又BAMBACMAC，CANMANMAC，BAMCAN，BAMCAN，ABCACN。