線性方程組的求解.ppt
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1,第一節(jié)線性方程組的求解,一、克拉默法則二、線性方程組的消元法三、小結(jié),第二章線性方程組,2,一、克拉默法則,下面是行列式在一類特殊的線性方程組中的應(yīng)用,利用n階行列式求解方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)都是n，且系數(shù)行列式不為零的線性方程組,3,定理2.1.1(克拉默法則),如果線性方程組,的系數(shù)矩陣,的行列式,,,,則方程組(2.1.1)有唯一解,,(j=1,2,…,n).(2.1.2),4,,其中,,(j=1,2,…,n).,若線性方程組(2.1.1)無(wú)解或有兩個(gè)以上不同的解,則,齊次與非齊次線性方程組的概念,常數(shù)項(xiàng)全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組,否則稱為非齊次線性方程組,推論2.1.1,5,對(duì)于n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組,,(2.1.5),(i=1,2,…,n)為齊次線性方程組(2.1.5)的解,將其稱為該方程組的零解.,,齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解.,6,若齊次線性方程組(2.1.5)的系數(shù)行列式，,推論2.1.2,則齊次線性方程組(2.1.5)只有零解.,推論2.1.3,若齊次線性方程組(2.1.5)有非零解,則其系數(shù),行列式.,7,例1解線性方程組,,解因該方程組的系數(shù)行列式為,,由推論2.1.2,該方程組僅有零解,,8,例2解方程組,,解方程組的系數(shù)行列式為,,,,依克拉默法則知，該方程組的唯一解為,,又,9,例3設(shè)齊次線性方程組,,有非零解,試求常數(shù),的值.,有非零解,試求常數(shù),的值.,有非零解,試求常數(shù)k的值.,解由定理2.1.2知該方程組系數(shù)行列式必為零,即,,,,,k=3方程組有非零解.,10,二、線性方程組的消元解法,?解方程組，就是要通過(guò)一系列能使方程組保持同解的變換，把原方程組化為容易看出是不是有解并在有解時(shí)容易求出解的線性方程組?什么樣的變換能使變換前后的方程組滿足同解要求??同解變換能把方程組化為什么樣的簡(jiǎn)單形式?,11,例4,解線性方程組,解,首先消去第二，三兩個(gè)方程中含x1的項(xiàng).為此，將第一個(gè)方程的-2倍加到第二個(gè)方程，第一個(gè)方程的-1倍加到第三個(gè)方程，得到同解方程組,12,然后將第二個(gè)方程的-4倍加到第三個(gè)方程，,交換后兩個(gè)方程,,再將第三個(gè)方程等號(hào)兩邊同乘以1/3，得到,最后求得方程組的解為,x3=-6,x2=-1,x1=9,13,在例4的解題過(guò)程中使用了如下的三種變換,用一個(gè)非零數(shù)乘以某個(gè)方程將一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上交換兩個(gè)方程的位置,上述三種變換稱為線性方程組的初等變換,14,用消元法解方程組實(shí)質(zhì)上是對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算，因此為了簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程的表達(dá)形式，可以只把線性方程組的系數(shù)按順序?qū)懗梢粋€(gè)矩形的數(shù)表，方程組（2.1.6）的系數(shù)可寫(xiě)成,15,對(duì)方程組作初等變換就相當(dāng)于對(duì)增廣矩陣作如下的行變換,用一個(gè)非零數(shù)乘以某一行將一行的k倍加到另一行上交換兩行的位置,系數(shù)矩陣,增廣矩陣,,以上三種變換稱為矩陣的行初等變換,16,例4的消元求解過(guò)程可以用增廣矩陣的行初等變換來(lái)表示為,求得解為,,,,,其中B為行階梯形矩陣，C為行最簡(jiǎn)形矩陣,,x3=-6,x2=-1,x1=9,17,例5解線性方程組,,解對(duì)增廣矩陣作行初等變換,將其化為行最簡(jiǎn)形矩陣,,18,,原方程組同解的線性方程組為,,即,,19,線性方程組的解寫(xiě)成下面的形式,,其中k1,k2,k3為任意常數(shù),上述解的表達(dá)式通常稱為原線性方程組的通解,20,例6求解線性方程組,,解對(duì)方程組的增廣矩陣作行初等變換,,上式中最后一個(gè)矩陣的第三行所表示的方程是一個(gè)矛盾方程,故原方程組無(wú)解,21,非齊次線性方程組解的判別定理,設(shè)線性方程組(2.1.6)的系數(shù)矩陣A的秩為r,AX=β的增廣矩陣通過(guò)行初等變換一定可以化為,,(2.1.11),22,對(duì)應(yīng)（2.1.11）的方程組CX=γ為,,方程組CX=γ與原方程組(2.1.6)AX=β是同解方程組只討論同解方程組CX=γ解的情況,23,方程組CX=γ在有解的情況下,當(dāng)r=n時(shí)，方程組有唯一解x1=d1,x2=d2,…,xn=dn,(2)當(dāng)r下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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