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2019年高中數(shù)學(xué) 綜合測試題2 北師大版必修1
一、選擇題(本大題共10個小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(xx，江西文，2)設(shè)全集為R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1
5}，
∴A∩(?RB)＝{x|－35}＝{x|－3b>c B．b>a>c
C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b
[答案] C
[解析] ∵－log30.3＝log3>1且<3.4，
∴l(xiāng)og31，
∴l(xiāng)og43.65log3>5log43.6
即5 log23.4>() log30.3>5 log43.6，即a>c>b.
5．(xx浙江高考)已知x，y為正實數(shù)，則( )
A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx2lgy
C．2lgxlgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx2lgy
[答案] D
[解析] 本題考查指、對運算．
2lg(xy)＝2(lgx＋lgy)＝2lgx2lgy.
6．函數(shù)f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在閉區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2，則a，b的值為( )
A．a(chǎn)＝1，b＝0
B．a(chǎn)＝1，b＝0或a＝－1，b＝3
C．a(chǎn)＝－1，b＝3
D．以上答案均不正確
[答案] B
[解析] 對稱軸x＝1，當(dāng)a>0時在[2,3]上遞增，
則解得
當(dāng)a<0時，在[2,3]上遞減，
則解得
故選B.
7. 函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值與最小值之和為a，則a的值為( )
A. B．
C．2 D．4
[答案] B
[解析] ∵當(dāng)a>1或00，∴3x＝7，則原方程的解是x＝log37.
13．若函數(shù)y＝的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是________．
[答案] [0，＋∞)
[解析] 要使函數(shù)y＝的定義域為R，
則對于任意實數(shù)x，都有m3x－1＋1≠0，
即m≠－x－1.而x－1>0，∴m≥0.
故所求m的取值范圍是m≥0，即m∈[0，＋∞)．
14.某單位計劃建造如圖所示的三個相同的矩形飼養(yǎng)場，現(xiàn)有總長為1的圍墻材料，則每個矩形的長寬之比為________時，圍出的飼養(yǎng)場的總面積最大．
[答案] 32
[解析] 設(shè)矩形的長為x，則寬為，飼養(yǎng)場的總面積為y，則有y＝3x＝－2x2＋x.
當(dāng)x＝時，y有最大值，此時寬為，故每個矩形的長寬之比為32時，圍出的飼養(yǎng)場的總面積最大．
15．已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．
[答案]?。?
[解析] 首先討論1－a,1＋a與1的關(guān)系．
當(dāng)a<0時，1－a>1,1＋a<1，
所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；
f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
因為f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2.
解得a＝－.
當(dāng)a>0時，1－a<1,1＋a>1，
所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a.
f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1，
因為f(1－a)＝f(1＋a)
所以2－a＝－3a－1，所以a＝－(舍去)
綜上，滿足條件的a＝－.
三、解答題(本大題共6個小題，滿分75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
16．(本小題滿分12分)設(shè)A＝{2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，A∩B＝{2}．
(1)求a的值及A，B；
(2)設(shè)全集U＝A∪B，求(?UA)∪(?UB)；
(3)寫出(?UA)∪(?UB)的所有子集．
[解析] (1)∵A∩B＝{2}，
∴8＋2a＋2＝0,4＋6＋2a＝0.∴a＝－5.
∴A＝{x|2x2－5x＋2＝0}＝{，2}，
B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{－5,2}．
(2)U＝{，－5,2}，
(?UA)∪(?UB)＝{－5}∪{}＝{－5，}．
(3)(?UA)∪(?UB)的子集為：
?，{－5}，{}，{－5，}．
17．(本小題滿分12分)已知：函數(shù)f(x)＝ax＋＋c(a、b、c是常數(shù))是奇函數(shù)，且滿足f(1)＝，f(2)＝，
(1)求a，b，c的值；
(2)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上的單調(diào)性并證明．
[解析] (1)∵f(x)為奇函數(shù)，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴－ax－＋c＝－ax－－c，
∴c＝0.
∴f(x)＝ax＋.
又f(1)＝，f(2)＝，
∴.
∴a＝2，b＝.
(2)由(1)可知f(x)＝2x＋.
函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上為減函數(shù)．
證明如下：
任取00,4x1x2－1<0.
∴f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，)上為減函數(shù)．
18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在區(qū)間(－1,1)上有唯一零點．
(1)求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在區(qū)間(－1,1)上的根．
[解析] (1)∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上有唯一零點，
∴或
即或∴10，f(1)<0，f(0)＝>0，
∴零點在(0,1)上．又f(0.5)＝0，
∴f(x)＝0的根為0.5.
19．(本小題滿分12分)某地區(qū)上年度電價為0.8元/度，年用電量為1億度．本年度計劃將電價調(diào)至0.55～0.75元/度之間，經(jīng)測算，若電價調(diào)到x元/度，則本年度新增用電量y(億度)與(x－0.4)(元/度)成反比例．又當(dāng)x＝0.65元/度時，y＝0.8.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)若每度電的成本價為0.3元/度，則電價調(diào)至多少時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%？(收益＝用電量(實際電價－成本價)) .
[解析] (1)∵y與x－0.4成反比例，
∴設(shè)y＝(k≠0)．
將x＝0.65，y＝0.8代入上式，
得0.8＝，解得k＝0.2.
∴y＝＝，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝.(x≠)
(2)根據(jù)題意，得(1＋)(x－0.3)
＝1(0.8－0.3)(1＋20%)．
整理，得x2－1.1x＋0.3＝0.
解得x1＝0.5，x2＝0.6.
經(jīng)檢驗x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．
∵x的取值范圍是0.55～0.75之間，
故x＝0.5不符合題意，應(yīng)舍去．∴取x＝0.6.
當(dāng)電價調(diào)至0.6元時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%.
20．(本小題滿分13分)定義在[－1，1]上的奇函數(shù)f(x)，已知當(dāng)x∈[－1，0]時的解析式為f(x)＝－(a∈R)．
(1)寫出f(x)在[0,1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．
[解析] (1)設(shè)x∈[0,1]，則－x∈[－1,0]，
f(－x)＝－＝4x－a2x，
又∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)，
∴f(x)＝a2x－4x，x∈[0,1]．
(2)∵f(x)＝a2x－4x，x∈[0,1]，令t＝2x，t∈[1,2]．
∴g(t)＝at－t2＝－(t－)2＋.
當(dāng)≤1，即a≤2時，g(t)max＝g(1)＝a－1；
當(dāng)1<<2，即20可得：x>或x<，
∴函數(shù)f(x)的定義域為(，＋∞)∪(－∞，)．
(2)由于函數(shù)f(x)的值域為R，所以z(x)＝x2－mx－m能取遍所有的正數(shù)從而Δ＝m2＋4m≥0，解得：m≥0或m≤－4.
即所求實數(shù)m的取值范圍為m≥0或m≤－4.
(3)由題意可知：
?2－2≤m<2.
即所求實數(shù)m的取值范圍為[2－2，2)．
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