2019-2020年高考數(shù)學(xué) 第十三節(jié) 函數(shù)的應(yīng)用教材.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 第十三節(jié) 函數(shù)的應(yīng)用教材 教 材 面 面 觀 常見(jiàn)函數(shù)模型的增長(zhǎng)變化情況： (1)一次函數(shù)模型：f(x)＝________(k，b為常數(shù)，k≠0)，當(dāng)k＞0時(shí)，f(x)為增函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度是均勻的，我們常常用“直線上升”來(lái)形容一次函數(shù)模型的這個(gè)增長(zhǎng)性質(zhì)； (2)反比例函數(shù)模型：f(x)＝________(k，b為常數(shù)，k≠0)，當(dāng)k＞0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)(根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可知，f(x)在(－∞，0)上也是減函數(shù))，而且在(0，＋∞)上，f(x)遞減的速度越來(lái)越緩慢； (3)二次函數(shù)模型：f(x)＝________(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在[－，＋∞)上是增函數(shù)，且增長(zhǎng)速度是變化的； (4)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝________(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0，且b≠1)，當(dāng)a＞0，b＞1時(shí)，f(x)是增函數(shù)，且增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，底數(shù)越大，增長(zhǎng)速度越驚人．我們常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容這個(gè)性質(zhì)； (5)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f(x)＝________(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a＞0，且a≠1)，當(dāng)m＞0，a＞1時(shí)，f(x)是增函數(shù)，但是增長(zhǎng)的速度越來(lái)越緩慢，底數(shù)越大，這個(gè)情況越明顯．我們常用“對(duì)數(shù)平緩”來(lái)形容這個(gè)性質(zhì)； (6)冪函數(shù)模型：f(x)＝________(a，n，b為常數(shù)，a≠0，n≠0)．當(dāng)a＞0，n＞0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且增長(zhǎng)的快慢程度與指數(shù)n密切相關(guān)． 答案　kx＋b?。玝　ax2＋bx＋c　abx＋c　mlogax＋n　axn＋b 考 點(diǎn) 串 串 講 1．三種函數(shù)模型的性質(zhì) 函數(shù) 性質(zhì)　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增減性 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù) 增長(zhǎng)的速度 越來(lái)越快 越來(lái)越慢 相對(duì)平穩(wěn) 圖象的變化 隨x增大逐漸上升 隨x增大逐漸上升 隨n值而不同 　　 2.函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)增長(zhǎng)速度的對(duì)比 (1)對(duì)于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無(wú)論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，ax會(huì)小于xn，但由于指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度快于冪函數(shù)的增長(zhǎng)速度，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就會(huì)有ax＞xn. (2)對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)和冪函數(shù)y＝xn(n＞0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管在x的一定范圍內(nèi)，logax可能會(huì)大于xn，但由于logax的增長(zhǎng)慢于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就會(huì)有xn＞logax. (3)在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上．隨著x的增大，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax＜xn＜ax. 3．解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟是 第一步：閱讀題目中的文字?jǐn)⑹觯斫鈹⑹鲋兴从车膶?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來(lái)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)．尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握住新信息． 在此基礎(chǔ)上，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知識(shí)，確定自變量與函數(shù)值的意義．審題時(shí)要抓住題目中的關(guān)鍵量，要勇于探索，敏于發(fā)現(xiàn)、歸納，善于聯(lián)想、化歸，實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化． 第二步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型． 一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型． 第三步：利用數(shù)學(xué)方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答，求得結(jié)果． 第四步：再轉(zhuǎn)設(shè)成具體問(wèn)題作出解答． 這個(gè)過(guò)程也可用以下框圖表示： 4．解答應(yīng)用題的關(guān)鍵 解答應(yīng)用題的關(guān)鍵在于審題上，而要準(zhǔn)確理解題意，又必須過(guò)好三關(guān)： (1)通過(guò)閱讀、理解，明白問(wèn)題講的是什么，熟悉實(shí)際背景，為解題打開(kāi)突破口． (2)將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表示數(shù)學(xué)關(guān)系． (3)在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，對(duì)已知數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢索，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成由實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，構(gòu)建了數(shù)學(xué)模型之后，要真正解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，就需要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力． 5．函數(shù)模型的確定 利用給定的函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的方法： (1)根據(jù)題意選用恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來(lái)描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系； (2)利用待定系數(shù)法，確定具體函數(shù)模型； (3)對(duì)選定的函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)、比較、并選擇最恰當(dāng)?shù)哪Ｐ停? (4)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題對(duì)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚? 6．?dāng)?shù)學(xué)擬合過(guò)程中的假設(shè) 就一般的數(shù)學(xué)建模來(lái)說(shuō)，是離不開(kāi)假設(shè)的，如果在問(wèn)題的原始狀態(tài)下不作任何假設(shè)，將所有的變化因素全部考慮進(jìn)去．對(duì)于稍復(fù)雜一點(diǎn)的問(wèn)題就無(wú)法下手了，假設(shè)的作用主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： (1)進(jìn)一步明確模型中需要考慮的因素和它們?cè)趩?wèn)題中的作用．通常，初步接觸一個(gè)問(wèn)題，會(huì)覺(jué)得圍繞它的因素非常多，經(jīng)仔細(xì)分析觀察，發(fā)現(xiàn)有的因素并無(wú)實(shí)質(zhì)聯(lián)系，有的因素是無(wú)關(guān)緊要的，排除這些因素，問(wèn)題則越發(fā)清晰明朗，在假設(shè)時(shí)就可以設(shè)這些因素不需考慮． (2)降低解題難度．雖然每一個(gè)解題者的能力不同，但經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)就都可以有能力建立數(shù)學(xué)模型，并且得到相應(yīng)的解． 一般情況下，是先在最簡(jiǎn)單的情形下組建模型，然后通過(guò)不斷地調(diào)整假設(shè)使模型盡可能地接近實(shí)際，從而得到更滿意的解. 典 例 對(duì) 對(duì) 碰 題型一 二次函數(shù)模型 例1某旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿，公司欲提高檔次，并提高租金．如果每間客房每日增加2元，客房出租數(shù)就會(huì)減少10間，若不考慮其他因素，公司將房間租金提高到多少時(shí)，每天客房的租金總收入最高． 解析　設(shè)客房租金每間提高x個(gè)2元，則將有10x間客房空出，客房租金總收入為y＝(20＋2x)(300－10x)，x∈N.這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝＝10,20＋2x＝40. 當(dāng)x＝10時(shí)，y最大值＝(20＋20)(300－100)＝8000. 答：將房間租金提高到40元/間時(shí)，客房租金總收入最高，每天為8000元． 點(diǎn)評(píng)　本題中自變量為正整數(shù)，要結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，確定何時(shí)取最大值，若求出對(duì)稱(chēng)軸為x＝a＋，n是整數(shù)，則x＝n，n＋1可能都符合題意，總之要注意二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性并結(jié)合定義域來(lái)解決問(wèn)題. 變式遷移1 有一批材料可以圍成200米長(zhǎng)的圍墻，現(xiàn)用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，且內(nèi)部用此材料隔成三個(gè)面積相等的矩形(如圖所示)，則圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積為(　　) A．1000米2　　　　　　　 B．2000米2 C．2500米2 D．3000米2 答案　C 解析　設(shè)三個(gè)面積相等的矩形的長(zhǎng)、寬分別為x米、y米，如題圖所示，則4x＋3y＝200，又S＝3xy＝3x＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2500，∴當(dāng)x＝25時(shí)，Smax＝2500. 題型二 分段函數(shù)模型 例2某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為xx0元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知每月總收益滿足函數(shù)： R(x)＝其中x是儀器的月產(chǎn)量． (1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)； (2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？(總收益＝總成本＋利潤(rùn)) 分析　本題考查二次函數(shù)的解析式和最值問(wèn)題．由總收益＝總成本＋利潤(rùn)，可知利潤(rùn)＝總收益－總成本．由R(x)是分段函數(shù)，所以f(x)也要分段求出．分別求出f(x)在各段中的最大值，通過(guò)比較，就能確定f(x)的最大值． 解析　(1)設(shè)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為xx0＋100x，從而 f(x)＝ (2)當(dāng)0≤x≤400時(shí)， f(x)＝－x2＋300x－xx0＝－(x－300)2＋25000， ∴當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)max＝25000. 當(dāng)x＞400時(shí)，f(x)＝－100x＋60000，此時(shí)f(x)在定義域上是減函數(shù)， ∴f(x)＜f(400)＝xx0. 綜合以上情形可知，當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)的最大值為25000. 答：每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為25000元． 點(diǎn)評(píng)　在函數(shù)的應(yīng)用題中，已知的等量關(guān)系是解題的依據(jù)．像此題中的利潤(rùn)＝總收益－總成本，又如銷(xiāo)售額＝銷(xiāo)售價(jià)格銷(xiāo)售數(shù)量等．另外，幾何中的面積、體積公式，物理學(xué)中的一些公式等，也常用來(lái)構(gòu)造函數(shù)關(guān)系. 變式遷移2 已知A、B兩地相距150千米，某人開(kāi)汽車(chē)以60千米/小時(shí)的速度從A地前往B地，到達(dá)B地停留1小時(shí)后再以50千米/小時(shí)的速度返回A地，把汽車(chē)離開(kāi)A地的距離x(千米)表示為時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)，則下列正確的是(　　) A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5) B．x＝ C．x＝ D．x＝ 答案　D 解析　依題意，函數(shù)為分段函數(shù)，求出每一段上的解析式即可. 題型三 指數(shù)函數(shù)模型 例3若某廠去年年產(chǎn)值為a萬(wàn)元，以后計(jì)劃每年按年增長(zhǎng)率為p%增長(zhǎng)，則x年后的年產(chǎn)值y為多少呢？ 解析　我們先看看特例： 經(jīng)過(guò)1年后其年產(chǎn)值為a(1＋p%)； 經(jīng)過(guò)2年后其年產(chǎn)值為a(1＋p%)＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)2； 經(jīng)過(guò)3年后其生產(chǎn)值為a(1＋p%)3； 歸納到一般有：經(jīng)過(guò)x年后其生產(chǎn)值為y＝a(1＋p%)x. 因而得到增長(zhǎng)率的計(jì)算公式為y＝a(1＋p%)x. 類(lèi)似地有下降率的計(jì)算公式為y＝a(1－p%)x. 點(diǎn)評(píng)　類(lèi)似地有儲(chǔ)蓄中復(fù)利的計(jì)算公式為y＝a(1＋r)x. 變式遷移3 為了預(yù)防甲型H1N1流感，某學(xué)校用某種藥物對(duì)教室進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為y＝()t－a(a為常數(shù))，如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題： (1)求從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)多少小時(shí)，學(xué)生才能回到教室． 解析　(1)由于圖中直線的斜率k＝＝10，所以圖象中線段的方程為y＝10t(0≤t≤0.1)， 又點(diǎn)(0.1,1)在曲線y＝()t－a上，所以1＝()0.1－a，所以a＝0.1，因此含藥量y(毫克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝. (2)因?yàn)樗幬镝尫胚^(guò)程中室內(nèi)藥量一直在增加，即使藥量小于0.25毫克，學(xué)生也不能進(jìn)入教室，所以只有當(dāng)藥物釋放完畢后，室內(nèi)藥量減少到0.25毫克以下時(shí)學(xué)生方可進(jìn)入教室，即()t－0.1＜0.25，解得t＞0.6，所以從藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)0.6小時(shí)，學(xué)生才能回到教室. 題型四 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 例4有時(shí)可用函數(shù) f(x)＝描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N*)，f(x)表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān)． (1)證明：當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f(x＋1)－f(x)總是下降； (2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121]，(121,127]，(127,133]．當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科． 分析　(1)只要根據(jù)函數(shù)解析式作差，判斷其單調(diào)遞減即可；(2)即當(dāng)自變量等于6，函數(shù)值等于0.85時(shí)，確定正實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析　(1)當(dāng)x≥7時(shí)，f(x＋1)－f(x)＝，而當(dāng)x≥7時(shí)，函數(shù)y＝(x－3)(x－4)單調(diào)遞增，且(x－3)(x－4)＞0，故f(x＋1)－f(x)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x≥7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f(x＋1)－f(x)總是下降． (2)由題意可知0.1＋15ln＝0.85，整理得＝e0.05， 解得a＝6≈20.56＝123，而123∈(121,127]，由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科． 變式遷移4 在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的質(zhì)量M(kg)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(kg)的函數(shù)關(guān)系是v＝xxln(1＋)，要使火箭的最大速度可達(dá)12 km/s，則燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的比值是__________． 答案　e6－1 解析　v＝12 km/s＝1.2104 m/s， 代入v＝xxln(1＋)中得： 1．2104＝xxln(1＋)?＝e6－1，即燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的比值是e6－1. 題型五 對(duì)號(hào)函數(shù)模型 例5圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示．已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x(單位：m)，修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y(單位：元)． (1)將y表示為x的函數(shù)； (2)試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用． 解析　(1)如圖所示，設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為am， 則y＝45x＋180(x－2)＋1802a＝225x＋360a－360， 由已知xa＝360，得a＝. 所以y＝225x＋－360(x＞0)． (2)∵x＞0，∴225x＋≥2＝10800. ∴y＝225x＋－360≥10440. 當(dāng)且僅當(dāng)225x＝時(shí)，等號(hào)成立． 即當(dāng)x＝24m時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元． 變式遷移5 某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最大為210噸． (1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬(wàn)元，那么年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？ 解析　(1)生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本為f(x)＝＝＋－48(0＜x≤210)， 由于＋－48≥2 －48＝240－48＝32， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝200時(shí)等號(hào)成立． 故年產(chǎn)量為200噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低為32萬(wàn)元． (2)設(shè)年利潤(rùn)為s，則s＝40x－(－48x＋8000)＝－＋88x－8000＝－(x－220)2＋1680(0＜x≤210)， 由于s在(0,210]上為增函數(shù)，故當(dāng)x＝210時(shí)，s取得最大值為1660. 故年產(chǎn)量為210噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)為1660萬(wàn)元． 【教師備課資源】 題型六 一次函數(shù)模型 例6商店出售茶壺和茶杯，茶壺每只定價(jià)20元，茶杯每只定價(jià)5元，該商店現(xiàn)推出兩種優(yōu)惠辦法： (1)買(mǎi)一只茶壺贈(zèng)送一只茶杯； (2)按購(gòu)買(mǎi)總價(jià)的92%付款． 某顧客需購(gòu)買(mǎi)茶壺4只，茶杯若干只(不少于4只)，若以購(gòu)買(mǎi)x只茶杯的付款為y元，試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出如果該顧客需購(gòu)買(mǎi)茶杯40只，應(yīng)選擇哪種優(yōu)惠辦法？ 解析　由優(yōu)惠辦法(1)得函數(shù)關(guān)系式為y1＝204＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)． 由優(yōu)惠辦法(2)得函數(shù)關(guān)系式為y2＝(204＋5x)92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)． 當(dāng)該顧客需購(gòu)買(mǎi)茶杯40只時(shí)，采用優(yōu)惠辦法(1)應(yīng)付款y1＝540＋60＝260(元)；采用優(yōu)惠辦法(2)應(yīng)付款y2＝4.640＋73.6＝257.6(元)，由于y2＜y1，因此應(yīng)選擇優(yōu)惠辦法(2)． 點(diǎn)評(píng)　注意分析問(wèn)題時(shí)要抓住實(shí)質(zhì)，本題的實(shí)質(zhì)是一個(gè)一次函數(shù)問(wèn)題. 變式遷移6 某超市銷(xiāo)售一種奧運(yùn)紀(jì)念品，每件售價(jià)11.7元，后來(lái)，此紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)降低了6.4%，售價(jià)不變，從而超市銷(xiāo)售這種紀(jì)念品的利潤(rùn)提高了8%.則這種紀(jì)念品的原進(jìn)價(jià)是________元． 答案　6.5 解析　設(shè)原進(jìn)價(jià)為x元，則依題意有(11.7－x)(1＋8%)＝11.7－(1－6.4%)x，解得x＝6.5. 題型七 函數(shù)模型的確定 例7以下是某地區(qū)不同身高的未成年男性體重的平均值表： 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 體重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 15.70 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否從我們已學(xué)過(guò)的函數(shù)y＝ax＋b，y＝alnx，y＝abx中選擇一種函數(shù)，使它比較近似地反映出該地區(qū)未成年男性體重y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式？試求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式； (2)若體重超過(guò)相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么該地區(qū)某一中學(xué)生身高為175cm，體重為78kg，他的體重是否正常？ 解析　根據(jù)散點(diǎn)圖選擇函數(shù)關(guān)系式． (1)記身高為x，體重為y，作(x，y)的散點(diǎn)圖(略)．根據(jù)變化趨勢(shì)；增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快，事實(shí)上不畫(huà)散點(diǎn)圖，從表中也能觀察出這個(gè)變化趨勢(shì)，再根據(jù)“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，直線上升，指數(shù)爆炸”這個(gè)規(guī)律，應(yīng)選擇指數(shù)函數(shù)模型：y＝abx，反映上述數(shù)據(jù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 把(70,7.90)，(160,47.25)兩組數(shù)據(jù)代入上述關(guān)系，得 利用計(jì)算器，得a＝2，b＝1.02. 所以，該地區(qū)未成年男性體重關(guān)于身高的近似函數(shù)關(guān)系式可選為y＝21.02x. 將沒(méi)有使用的表中自變量代入檢驗(yàn)，可知所求函數(shù)模型能較好地反映題中關(guān)系． (2)把x＝175代入y＝21.02x得y＝21.02175≈63.98. 由于7863.98≈1.22＞1.2，因此可認(rèn)為這名男生體型偏胖． 點(diǎn)評(píng)　根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，然后通過(guò)觀察散點(diǎn)圖變化趨勢(shì)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，再利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)擬合功能得出具體的函數(shù)關(guān)系式，再用得到的函數(shù)模型解決相應(yīng)的問(wèn)題，這是函數(shù)應(yīng)用的基本過(guò)程，但由于選擇函數(shù)模型的多種性，造成考查這種能力有一定困難，因此本題采用限定函數(shù)模型，若是進(jìn)一步限定所取散點(diǎn)，則所得具體函數(shù)將是唯一的，這樣的題型是可以在考試中出現(xiàn)的，因?yàn)榇鸢肝ㄒ唬喚硪簿捅容^方便，也基本達(dá)到了考查應(yīng)用函數(shù)模型解題的能力這一目的. 變式遷移7 南方某地市場(chǎng)信息中心為了分析本地區(qū)蔬菜的供求情況，通過(guò)調(diào)查得到家種野菜“蘆蒿”的市場(chǎng)需求量和供應(yīng)量數(shù)據(jù)(見(jiàn)下表)． 蘆蒿的市場(chǎng)需求量信息表(表1) 需求量y噸 40 38 37.1 36 32.8 30 價(jià)值x千元/噸 2 2.4 2.6 2.8 3.4 4 蘆蒿的市場(chǎng)供應(yīng)量信息表(表2) 價(jià)值y千元/噸 2 2.5 3.2 4.46 5 5.3 供應(yīng)量x噸 29 32 36.3 40.9 44.6 47 (1)試寫(xiě)出描述蘆蒿市場(chǎng)需求量y關(guān)于價(jià)格x的近似函數(shù)關(guān)系式； (2)試根據(jù)這些信息，探求市場(chǎng)對(duì)蘆蒿的供求平衡量(需求量與供應(yīng)量相等，又稱(chēng)供求平衡)，近似到噸． 解析　(1)在直角坐標(biāo)系中，由表(1)描出數(shù)對(duì)(x，y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，由圖可知這些點(diǎn)近似地構(gòu)成一條直線(其中四個(gè)點(diǎn)在一條直線上)，所以蘆蒿的市場(chǎng)需求量關(guān)于價(jià)格的近似函數(shù)關(guān)系式為y－40＝(x－2)，即y＝50－5x?、?表(2)同理可知蘆蒿的市場(chǎng)價(jià)格關(guān)于供應(yīng)量的近似函數(shù)關(guān)系式為y＝x－，所以蘆蒿的市場(chǎng)供應(yīng)量關(guān)于價(jià)格的近似函數(shù)關(guān)系為y＝6x＋17?、? (2)解①、②聯(lián)立的方程組，得x＝3，y＝35，則市場(chǎng)對(duì)蘆蒿的供求平衡量為35噸． 題型八 幾類(lèi)函數(shù)模型增長(zhǎng)差異 例8研究函數(shù)y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增長(zhǎng)情況． 分析　畫(huà)出函數(shù)的圖象，先觀察圖象，然后給出具體的計(jì)算，或者給出一個(gè)粗略的估計(jì)，如本題中令f(x)＝0.5ex－x2－1，計(jì)算知f(2)＜0，f(3)＞0，則可以取x0＝3，即當(dāng)x＞3時(shí)，不等式ln(x＋1)＜x2－1＜0.5ex－2恒成立． 解析　分別在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出三個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，從圖象上可以看出函數(shù)y＝0.5ex－2的圖象首先超過(guò)了函數(shù)y＝ln(x＋1)的圖象，然后又超過(guò)了y＝x2－1的圖象，即存在一個(gè)滿足0.5ex0－2＝x－1的x0(這個(gè)x0的近似值可以用二分法求得)，當(dāng)x＞x0時(shí)，ln(x＋1)＜x2－1＜0.5ex－2. 變式遷移8 研究函數(shù)y＝0.1x與函數(shù)y＝lgx在(0，＋∞)上的變化情況． 解析　在同一坐標(biāo)系中分別畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，可以看出，兩個(gè)函數(shù)都是增函數(shù)，只在某一段區(qū)域上函數(shù)y＝lgx的圖象位于函數(shù)y＝0.1x圖象的上方，而當(dāng)x＞10時(shí)，恒有l(wèi)gx＜0.1x. 方 法 路 路 通 1．分析不同類(lèi)型函數(shù)增長(zhǎng)差異的方法是 (1)在同一坐標(biāo)系下正確、規(guī)范地作圖； (2)找到不同函數(shù)圖象的交點(diǎn)； (3)注重每種函數(shù)自身的單調(diào)性； (4)整體把握． 2．幾類(lèi)常見(jiàn)函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)是 (1)直線型y＝kx＋b(k＞0)函數(shù)平穩(wěn)增長(zhǎng)； (2)對(duì)數(shù)型y＝logax(a＞1)函數(shù)增長(zhǎng)緩慢； (3)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)函數(shù)增長(zhǎng)迅速． 一般稱(chēng)為直線上升，對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，指數(shù)爆炸． 3．解答應(yīng)用題的基本思想和程序 (1)解應(yīng)用題的基本思想 (2)解答應(yīng)用問(wèn)題的程序概括為“四步八字”，即 ①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型． ②建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型． ③求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論． ④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原. 正 誤 題 題 辨 例如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a＞b)．在AB、AD、CD、CB上分別截取AE、AH、CG、CF都等于x，當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形EFGH的面積最大？求出這個(gè)最大面積． 錯(cuò)解　設(shè)四邊形EFGH的面積為S， 由題意得S△AEH＝S△CFG＝x2， S△BEF＝S△DHG＝(a－x)(b－x)． 由此得S＝ab－2[x2＋(a－x)(b－x)] ＝－2x2＋(a＋b)x ＝－2(x－)2＋. 當(dāng)x＝時(shí)，S取得最大值. 點(diǎn)擊　錯(cuò)誤的原因在于忽略了這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值范圍：0＜x≤b.由于a＞b＞0，所以當(dāng)a＞3b時(shí)，＞b，自變量x不能取得，面積S不能取得最大值. 正解　由前面的計(jì)算可得S＝－2(x－)2＋， 由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|0＜x≤b}，因?yàn)閍＞b＞0，所以0＜b＜. 若≤b，即a≤3b，當(dāng)x＝時(shí)面積S取得最大值； 若＞b，即a＞3b時(shí)，函數(shù)S＝－2(x－)2＋在(0，b]上是增函數(shù)，因此，當(dāng)x＝b時(shí)，面積S取得最大值ab－b2.綜上可知，若a≤3b，當(dāng)x＝時(shí)，四邊形EFGH的面積取得最大值；若a＞3b，當(dāng)x＝b時(shí)，四邊形EFGH的面積取得最大值ab－b2.