2019-2020年高中數學 1.6 3微積分學基本定理定積分計算教案 新人教A版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數學 1.6 3微積分學基本定理定積分計算教案 新人教A版選修2-2教學目的與要求：1. 理解并掌握微積分基本定理的內容及意義. 具有應用微積分基本定理證明定積分有關問題的能力.2. 熟練應用積分第二中值定理證明定積分有關問題.教學重點，難點：1. 微積分基本定理的內容及意義. 應用微積分基本定理證明定積分有關問題的能力.2. 應用積分第二中值定理證明定積分有關問題.教學內容：當函數的可積性問題告一段落,并對定積分的性質有了足夠的認識之后,接著要來解決一個以前多次提到過的問題在定積分形式下證明連續(xù)函數必定存在原函數.一 變限積分與原函數的存在性設f在a,b上可積,根據定積分的性質4,對任何x(a,b), f在a, x上也可積.于是,由 (1)定義了一個以積分上限x為自變量的函數,稱為變上限的定積分.類似地,又可定義變下限的定積分: (2)與統(tǒng)稱為變限積分.注：在變限積分(1)與(2)中,不可再把積分變量寫成x(例如)以免與積分上、下限的x相混淆.變限積分所定義的函數有著重要的性質.由于 因此下面只討論變上限積分的情形.定理9.9 若f在a,b上可積,則由(1)式所定義的函數在a,b上連續(xù).證 對a,b上任一確定的點x,只要x+xa,b,按定義式(1)有 因f在a,b上有界,可設于是,當x0時有 當x0時則有由此得到 即證得在點x連續(xù).由x的任意性, 在a,b上處處連續(xù). 定理9.10 (原函數存在定理) 若f在a,b上連續(xù),則由(1)式所定義的函數在a,b上處處可導,且 (3)證 對a,b上任一確定的x,當x0且x+xa,b時,按定義式(1)和積分第一中值定理,有 由于f在點x連續(xù),故有 由x在a,b上的任意性,證得是f在a,b上的一個原函數. 注 本定理溝通了導數和定積分這兩個從表面看去似不相干的概念之間的內在聯系;同時也證明了“連續(xù)函數必有原函數”這一基本結論,并以積分形式(1)給出了f的一個原函數,正因為定理9.10的重要作用而被譽為微積分學基本定理. 且可用它可以給出牛頓-萊布尼茨公式的另一證明。因f的任意兩個原函數只能相差一個常數,所以當f為連續(xù)函數時,它的任一函數F必滿足 若在此式中令x=a,得到C=F(a),從而有再令x= b,即得 (4)這是牛頓一菜布尼茨公式的又一證明.比照定理9.1,現在只需假設被積函數f為連續(xù)函數,其原函數F的存在性已為定理9.10所保證,無需另作假設.利用變限積分又能證明下述積分第二中值定理.定理9.11 (積分第二中值定理) 設函數f在a,b上可積.(i)若函數g在a,b上減,且g(x)0,則存在a,b使得 (5)(ii)若函數g在a,b上增,且g(x)0,則存在,使得 (6)證 下面只證(i),類似地可證(ii).設 由于f在a,b上可積,因此F在a,b上連續(xù),從而存在最大值M和最小值m. 若g(a)=0,由假設,此時對任何式恒成立.下面設g(a)0,這時(5)式即為 (5)所以問題轉化為只須證明 (7)因為由此可借助F的介值性立刻證得(5).當然(7)式又等同于 (7)下面就來證明這個不等式.由條件f有界,設而g必為可積,從而對任給的0,必有分割T:a=x0x1xn=b,使 現把按積分區(qū)間可加性寫成 對于I1,必有 對于,由于F(x0)=F(a)=0,和 可得 再由于是利用I=1,2,n估計得I2.同理由F(xi)m,i=1,2,n又有I2mg(a). 綜合得到 由為任意小正數,這便證得 即不等式（7）成立，隨之有（7），（5）和（5）式成立。 推論 設函數f在a,b上可積。若g為單調函數，則存在a,b，使得 （8）證 若g為單調遞減函數，令h(x)=g(x)-g(b),則 h為非負、遞減函數。由定理9.11(),存在，使得 =由于 因此證得 若g為單調遞增函數，只須令h(x)=g(x)-g(a),并由定理9.11(ii)和(6),同樣可證得(8)式成立.注 積分第二中值定理以及它的推論是今后建立反常積分收斂判別法的工具.二 換元積分法與分部積分法對原函數的存在性有了正確的認識,就能順利地把不定積分的換元積分法和分部積分法移植到定積分計算中來.定理9.12 (定積分換元積分法) 若函數f在a,b上連續(xù), 則有定積分換元公式: (9)證 由于(9)式兩邊的被積分函數都是連續(xù)函數,因此它們的原函數都存在.設F是f在a,b上的一個原函數,由復合函數微分法 可見F是的一個原函數.根據牛頓一菜布尼茨公式,證得 =F 注1從以上證明看到,在用換元法計算定積分時,一旦得到了用新變量表示的原函數后,不作變量還原,而只要用新的積分限代入并求其差值就可以了.這就是定積分換元積分法與不定積分法的區(qū)別,這一區(qū)別的原因在于不定積分所求的是被積函數的原函數,理應保留與原來相同的自變量;而定積分的計算結果是一確定的數,如果(9)式一邊的定積分計算出來了,那么另一邊的定積分自然也求得了.注2 如果在定理9.12的條件中只假定f為可積函數,但還要求是單調的,那么(9)式仍然成立.(本節(jié)習題第14題.)例1 計算解 令應用公式(9),并注意到在第一象限中cos t0,則有 = 例2 計算解 逆向使用公式(9),令 例3 計算J解 令得到 對最末第二個定積分作變換有 它與上面第三個定積分相消.故得 J= 事實上,例3中的被積函數的原函數雖然存在,但難以用初等函數來表示,因此無法直接使用牛頓一菜布尼茨公式.可是像上面那樣,利用定積分的性質和換元公式(9),消去了其中無法求出原函數的部分,最終得出這個積分的值.換元積分法還可用來證明一些特殊的積分性質,如本節(jié)習題中的第5,6,7等題.定理9.13 (定積分分部積分法) 若為a,b上的連續(xù)可微函數,則有定積分分部積分公式: (10)證 因為是 在a,b上的一原函數,所以有移項后即為(10)式. 為方便起見,公式(10)允許寫成 (10)例3 計算解 例5 計算解 當n2時,用分部積分求得Jn=.移項整理后得到遞推公式:. (11)由于 重復應用遞推式(11)便得 (12)令可得 因而這兩個定積分是等值的。 由例5結論（12）可導出著名的沃利斯（Wallis）公式： （13）事實上，由把（12）代入，得到 由此又得因為所以故得 （即（13）式）。沃利斯公式（13）揭示了與整數之間的一種很不尋常的關系。三 泰勒公式的積分型余項若在a,b上u(x)、v(x)有n+1階連續(xù)導函數，則有 （14）這是推廣的分部積分公式，讀者不難用數學歸納法加以證明。下面應用公式（14）導出泰勒公式的積分型余項。設函數f在點x0的某一領域U(x0)內有n+1階連續(xù)導函數。令 利用（14）式得 =，其中Rn(x)即為泰勒公式的n階余項。由此求得 （15）這就是泰勒公式的積分型余項.由于f（n+1）（t）連續(xù)，（x-t）n在x0,x( x, x0)上保持同號，因此由推廣的積分第一中值定理，可將（15）式寫作 =，其中這就是以前所熟悉的拉格朗日型余項。如果直接用積分第一中值定理于（15），則得 由于 因此又進一步把 改寫為 （16）特別當x0=0時又有 。 （17）公式（16）、（17）稱為泰勒公式的柯西型余項。注: 各種形式的泰勒公式余項，將在第十四章里顯示它們的功用.課后作業(yè)題：4. 1) 3) 5) 7) 9) 11) 5. 2) 6. 7.