2019-2020年高三下學(xué)期期中練習(xí) 數(shù)學(xué)理.doc

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2019-2020年高三下學(xué)期期中練習(xí) 數(shù)學(xué)理 本試卷共4 頁，150 分．考試時長120 分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上 作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回． 一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共40 分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項． 1．函數(shù)的定義域為 A．［0，＋）+ B．［1，＋）+ ) C．（－，0］+ D．（－，1］ 【知識點】函數(shù)的定義域與值域 【試題解析】要使函數(shù)有意義，需滿足：即 所以函數(shù)的定義域為：． 故答案為：A 【答案】A 2．某程序的框圖如圖所示，若輸入的z＝i（其中i為虛數(shù)單位），則輸出的S 值為 A．－1 　　 B．1 　　　 C．－i 　　 D．i 【知識點】算法和程序框圖 【試題解析】由題知：n=9時，否，是， 則輸出 的值為。 故答案為：D 【答案】D 3．若x，y 滿足，則的最大值為 A．　　　　B．3 C．　　　　D．4 【知識點】線性規(guī)劃 【試題解析】作可行域： 由圖知：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過點C（1，3）時，目標(biāo)函數(shù)值最大，為 故答案為：C 【答案】C 4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則其體積為 A．　　　B． C．　　D． 【知識點】空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的三視圖與直觀圖 【試題解析】該三棱錐的底面是以2為底，以為高的三角形，高為1， 所以 故答案為：A 【答案】A 5．已知數(shù)列 的前n 項和為Sn，則“ 為常數(shù)列”是“”的 A．充分不必要條件 　　B．必要不充分條件 C．充分必要條件 　　　D．既不充分也不必要條件 【知識點】充分條件與必要條件 【試題解析】若為常數(shù)列，則； 反過來，若，則，即為常數(shù)列。 所以“為常數(shù)列”是“，”的充分必要條件。 故答案為：C 【答案】C 6．在極坐標(biāo)系中，圓C1 :與圓C2:相交于 A，B兩點，則｜AB｜＝ A．1 　　B．　 C．　　 D． 2 【知識點】圓與圓的位置關(guān)系 【試題解析】化圓為標(biāo)準(zhǔn)方程， 兩圓方程作差，得相交弦AB所在直線方程為： 圓的圓心為（1，0），半徑為1． 所以圓心到直線AB的距離為： 所以弦長的一半為：即弦長為：。 故答案為：B 【答案】B 7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是 A． 　　B． C． 　　　D． 【知識點】函數(shù)的奇偶性分段函數(shù)，抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 【試題解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以 設(shè) 即所以 故答案為：C 【答案】C 8．某生產(chǎn)基地有五臺機(jī)器，現(xiàn)有五項工作待完成，每臺機(jī)器完成每項工作后獲得的效益值 如表所示．若每臺機(jī)器只完成一項工作，且完成五項工作后獲得的效益值總和最大，則 下列敘述正確的是 A．甲只能承擔(dān)第四項工作　B．乙不能承擔(dān)第二項工作 C．丙可以不承擔(dān)第三項工作 　D．丁可以承擔(dān)第三項工作 【知識點】加法計數(shù)原理 【試題解析】由表知：五項工作獲得效益值總和最大為17+23+14+11+15=80，但不能同時取得。 要使總和最大，甲可以承擔(dān)第一或四項工作；丙只能承擔(dān)第三項工作；丁則不可以承擔(dān)第三項工作，所以丁承擔(dān)第五項工作；乙若承擔(dān)第二項工作，則甲承擔(dān)第四項工作；戊承擔(dān)第一項工作，此時效益值總和為17+23+14+11+13=78． 乙若不承擔(dān)第二項工作，承擔(dān)第一項，甲承擔(dān)第二項工作，則戊承擔(dān)第四項工作，此時效益值總和為17+22+14+11+15=79． 所以乙不能承擔(dān)第二項工作。 故答案為：B 【答案】B 二、填空題共6 小題，每小題5 分，共30 分． 9．已知向量，若，則t ＝ _______． 【知識點】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算 【試題解析】由題知：若，則 故答案為： 【答案】 10．在等比數(shù)列中，a2＝2，且，則的值為_______． 【知識點】等比數(shù)列 【試題解析】在等比數(shù)列中， 由得：解得：或 所以 故答案為： 【答案】 11．在三個數(shù)中，最小的數(shù)是_______． 【知識點】對數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 【試題解析】 故答案為： 【答案】 12．已知雙曲線C：的一條漸近線l 的傾斜角為，且C 的一個焦點到l 的距離 為，則C 的方程為_______． 【知識點】雙曲線 【試題解析】由題知：所以，所以 因為雙曲線的焦點到漸近線的距離為b，所以b=2，所以 所以的方程為： 故答案為： 2， 【答案】2， 13．如圖，在三角形三條邊上的6個不同的圓內(nèi)分別填入數(shù)字1，2，3 中的一個． （ⅰ）當(dāng)每條邊上的三個數(shù)字之和為4 時，不同的填法有_______種； （ⅱ）當(dāng)同一條邊上的三個數(shù)字都不同時，不同的填法有_______種． 【知識點】乘法計數(shù)原理加法計數(shù)原理 【試題解析】當(dāng)每條邊上的三個數(shù)字之和為4時，這三個數(shù)字為1，1，2． 最上面為2時，中間都是1，最下面為1，2，1，1種； 最上面為1時，左中為1時，最下面為2，1，1，1種； 左中為2時，右中可以是1，2兩種； 所以共4種填法。 當(dāng)同一條邊上的三個數(shù)字都不同時，最上面有3種填法，左中有2種填法，其余都唯一， 所以共種填法。 故答案為： 【答案】 14．已知函數(shù)，對于實數(shù)t ，若存在a＞0，b ＞0 ，滿足：，使得 2，則記a＋b的最大值為H（t ）． （?。┊?dāng) ＝2x時，H（0）＝ _______． （ⅱ）當(dāng)且t時，函數(shù)H（t）的值域為_______． 【知識點】函數(shù)綜合 【試題解析】（i） t=0．當(dāng)時， ，使得，即 所以 （ii）當(dāng)且時， 當(dāng)時， 由題得： 因為H（t）在[1，單調(diào)遞增，所以H（ 當(dāng)時， 由題得： 因為H（t）在（單調(diào)遞減，所以H（ 綜上，H，的值域為 故答案為： 【答案】 三、解答題共6 小題，共80 分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程． 15．（本小題滿分13 分） 如圖，在△ABC 中，點D在邊 AB上，且．記∠ACD＝ ，∠BCD＝． （Ⅰ）求證： ； （Ⅱ）若，求BC 的長． 【知識點】余弦定理正弦定理 【試題解析】（Ⅰ） 在中，由正弦定理，有 在中，由正弦定理，有 因為，所以 因為， 所以 （Ⅱ）因為，， 由（Ⅰ）得 設(shè)，由余弦定理， 代入，得到， 解得，所以． 【答案】見解析 16．（本小題滿分13 分） xx 年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國兒童基金會等機(jī)構(gòu)將青蒿素作為一線抗瘧藥品推 廣．xx 年12 月10 日，我國科學(xué)家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法 上的貢獻(xiàn)獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎．目前，國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速． 某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產(chǎn)量的影響，在山上和山下的試驗田中 分別種植了100 株青蒿進(jìn)行對比試驗．現(xiàn)在從山上和山下的試驗田中各隨機(jī)選取了4 株青蒿作為樣本，每株提取的青蒿素產(chǎn)量（單位：克）如下表所示： （Ⅰ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計山下試驗田青蒿素的總產(chǎn)量； （Ⅱ）記山上與山下兩塊試驗田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為，，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)， 試估計與的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)論）； （Ⅲ）從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機(jī)選取1 株，記這2 株的產(chǎn)量總和為，求 隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【知識點】隨機(jī)變量的期望與方差隨機(jī)變量的分布列樣本的數(shù)據(jù)特征 【試題解析】(I)由山下試驗田4株青蒿樣本青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù) 則山下試驗田株青蒿的青蒿素產(chǎn)量估算為 g （Ⅱ）比較山上、山下單株青蒿素青蒿素產(chǎn)量方差和，結(jié)果為． （Ⅲ）依題意，隨機(jī)變量可以取， ， ， ， 隨機(jī)變量的分布列為 隨機(jī)變量的期望 【答案】見解析 17．（本小題滿分14 分） 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點M ，N 分別為線段PB，PC 上的點，MN⊥PB． （Ⅰ）求證： BC⊥平面PAB ； （Ⅱ）求證：當(dāng)點M 不與點P ，B 重合時，M ，N ，D ， A 四個點在同一個平面內(nèi)； （Ⅲ）當(dāng)PA＝AB＝2，二面角C－AN －D的大小為時，求PN 的長． 【知識點】利用直線方向向量與平面法向量解決計算問題空間的角垂直 【試題解析】（Ⅰ）證明：在正方形中，， 因為平面，平面， 所以． 因為，且，平面， 所以平面 （Ⅱ）證明：因為平面，平面， 所以 在中，，， 所以． 在正方形中，， 所以， 所以可以確定一個平面，記為 所以四個點在同一個平面內(nèi) （Ⅲ）因為平面，平面， 所以，． 又，如圖，以為原點， 所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 所以． 設(shè)平面的一個法向量為， 平面的一個法向量為， 設(shè)，， 因為，所以， 又，所以，即， 取， 得到， 因為， 所以，即， 取得， 到， 因為二面大小為， 所以， 所以 解得， 所以 【答案】見解析 18．（本小題滿分13 分） 已知函數(shù)f (x) ＝ln x＋－1， （Ⅰ）求函數(shù) f (x)的最小值； （Ⅱ）求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）求證：直線 y＝x不是曲線 y ＝g(x)的切線。 【知識點】導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)求最值和極值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【試題解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為， 當(dāng)變化時，，的變化情況如下表： 函數(shù)在上的極小值為， 所以的最小值為 （Ⅱ）解：函數(shù)的定義域為， 由（Ⅰ）得，，所以 所以的單調(diào)增區(qū)間是，無單調(diào)減區(qū)間． （Ⅲ）證明：假設(shè)直線是曲線的切線． 設(shè)切點為，則，即 又，則． 所以， 得，與矛盾 所以假設(shè)不成立，直線不是曲線的切線 【答案】見解析 19．（本小題滿分14 分） 已知橢圓C：的離心率為，橢圓C 與y 軸交于A ， B 兩點， 且｜AB｜＝2． （Ⅰ）求橢圓C 的方程； （Ⅱ）設(shè)點P是橢圓C上的一個動點，且點P在 y軸的右側(cè)．直線PA，PB與直線x＝ 4 分別交于M ， N 兩點．若以MN 為直徑的圓與x 軸交于兩點E ， F ，求點P 橫 坐標(biāo)的取值范圍及｜EF｜的最大值． 【知識點】圓錐曲線綜合橢圓 【試題解析】（Ⅰ）由題意可得，， ， 得， 解， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （Ⅱ）設(shè)，，， 所以，直線的方程為， 同理：直線的方程為， 直線與直線的交點為， 直線與直線的交點為， 線段的中點， 所以圓的方程為， 令，則， 因為，所以， 所以， 因為這個圓與軸相交，該方程有兩個不同的實數(shù)解， 所以，解得． 設(shè)交點坐標(biāo)，則（） 所以該圓被軸截得的弦長為最大值為2． 【答案】見解析 20．（本小題滿分13 分） 給定正整數(shù)n(n≥3)，集合．若存在集合A，B，C，同時滿足下 列條件： ① U n ＝A∪B∪C，且A∩B ＝ B∩C ＝A∩C＝； ②集合A 中的元素都為奇數(shù)，集合B 中的元素都為偶數(shù)，所有能被3 整除的數(shù)都在集 合C 中（集合C 中還可以包含其它數(shù)）； ③集合A ， B ，C 中各元素之和分別記為SA ， SB ，SC ，有SA ＝SB ＝SC ； 則稱集合 Un為可分集合． （Ⅰ）已知U8為可分集合，寫出相應(yīng)的一組滿足條件的集合A ， B ，C ； （Ⅱ）證明：若n 是3 的倍數(shù)，則Un不是可分集合； （Ⅲ）若Un為可分集合且n 為奇數(shù)，求n 的最小值． （考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效） 【知識點】數(shù)列綜合應(yīng)用 【試題解析】（I）依照題意，可以取，， （II）假設(shè)存在是的倍數(shù)且是可分集合． 設(shè)，則依照題意， 故， 而這個數(shù)的和為，故， 矛盾， 所以是3的倍數(shù)時，一定不是可分集合 (Ⅲ)35． 因為所有元素和為，又中元素是偶數(shù)，所以=(為正整數(shù)) 所以，因為為連續(xù)整數(shù)，故這兩個數(shù)一個為奇數(shù)，另一個為偶數(shù) 由（Ⅱ）知道，不是3的倍數(shù)，所以一定有是的倍數(shù)． 當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，而， 所以一定有既是的倍數(shù)，又是的倍數(shù)，所以， 所以． 定義集合，即集合由集合中所有不是3的倍數(shù)的奇數(shù)組成， 定義集合，即集合由集合中所有不是3的倍數(shù)的偶數(shù)組成， 根據(jù)集合的性質(zhì)知道，集合， 此時集合中的元素之和都是，而， 此時中所有的倍數(shù)的和為， ， 顯然必須從集合中各取出一些元素，這些元素的和都是， 所以從集合中必須取偶數(shù)個元素放到集合中，所以， 所以，此時 而令集合， 集合， 集合， 檢驗可知，此時是可分集合， 所以的最小值為． 【答案】見解析