《圓周角定理》練習(xí)題(A).doc

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《圓周角定理》練習(xí)題 一．選擇題（共16小題） 1．如圖，A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，若∠BOC=76°，則∠BAC的度數(shù)是（　?。? A．152° B．76° C．38° D．14° 2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ACO=45°，則∠B的度數(shù)為（　?。? A．30° B．35° C．40° D．45° 第1題圖 第2題圖 第3題圖 3．如圖，在圖中標(biāo)出的4個(gè)角中，圓周角有（　?。﹤€(gè)． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于弦AB，若∠C=25°，則∠BOD的度數(shù)是（　?。? A．25° B．30° C．40° D．50° 5．如圖，已知在⊙O中，點(diǎn)A，B，C均在圓上，∠AOB=80°，則∠ACB等于（　?。〢．130° B．140° C．145° D．150° 第4題圖 第5題圖 第6題圖 6．如圖，MN是⊙O的直徑，∠PBN=50°，則∠MAP等于（　?。? A．50° B．40° C．30° D．20° 7．如圖，CD是⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠ABD=20°，則∠ADC的度數(shù)為） A．40° B．50° C．60° D．70° 8．如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∠ABC=50°，則∠DAB等于（　?。? A．55° B．60° C．65° D．70° 第7題圖 第8題圖 第9題圖 9．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為圓上兩點(diǎn)，∠AOC=130°，則∠D等于（　　） A．25° B．30° C．35° D．50° 10．如圖，∠1、∠2、∠3、∠4的大小關(guān)系是（　　） A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2 C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠2 11．如圖，AB是半圓O的直徑，∠BAC=60°，D是半圓上任意一點(diǎn)，那么∠D的度數(shù)是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 第10題圖 第11題圖 第12題圖 12．如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，則∠ADB的度數(shù)為（　?。? A．15° B．20° C．25° D．50° 13．在⊙O中，點(diǎn)A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，則弦AB所對的圓周角是（　　） A．42° B．84° C．42°或138° D．84°或96° 14．如圖所示，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，∠ACB的角平分線CD交⊙O于D，則∠ABD的度數(shù)等于（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 15．已知如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，則∠CBA的度數(shù)為（　?。? A．60° B．50° C．40° D．30° 第10題圖 第11題圖 第12題圖 16．如圖，AB是圓的直徑，AB⊥CD，∠BAD=30°，則∠AEC的度數(shù)等于（　?。? A．30° B．50° C．60° D．70° 　 二．填空題（共8小題） 17．如圖，⊙O的直徑CD經(jīng)過弦EF的中點(diǎn)G，∠DCF=20°，則∠EOD等于　?。? 第17題圖 第18題圖 第19題圖 18．如圖，點(diǎn)A、B在⊙O上，∠AOB=100°，點(diǎn)C是劣弧AB上不與A、B重合的任意一點(diǎn)，則∠C=　　°． 19．在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，則⊙O的直徑為　　cm． 20．如圖，⊙O中弦AB等于半徑R，則這條弦所對的圓心角是　　，圓周角是　?。? 第20題圖 第21題圖 第22題圖 21．如圖，等腰△ABC的底邊BC的長為4cm，以腰AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則DE的長為　　cm． 22．如圖，在“世界杯”足球比賽中，甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進(jìn)攻，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同樣乙已經(jīng)助攻沖到B點(diǎn)，丙助攻到C點(diǎn)．有三種射門方式：第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門．第三種是甲將球傳給丙，由丙射門．僅從射門角度考慮，應(yīng)選擇　　種射門方式． 三．解答題（共16小題） 25．28．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求AB和BD的長． 26．如圖，已知CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)M，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，且∠BPC=60°．試判斷△ABC的形狀，并說明你的理由． 27、如圖，△ABC的高AD、BE相交于點(diǎn)H，延長AD交ABC的外接圓于點(diǎn)G，連接BG． 求證：HD=GD． 28．已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E．∠BAC=40° （1）求∠EBC的度數(shù)； （2）求證：BD=CD． 29．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半徑． 30．如圖，AB是⊙O的直徑，過圓上一點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)C是弧AF的中點(diǎn)，連接AF交CD于點(diǎn)E，連接BC交AF于點(diǎn)G． （1）求證：AE=CE；． 31．如圖，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分線交外接圓于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M． （1）求證：BE=CM． （2）求證：AB﹣AC=2BE． 32．如圖，OA是⊙0的半徑，以O(shè)A為直徑的⊙C與⊙0的弦AB相交于點(diǎn)D．求證：AD=BD． 33．如圖，已知：AB是⊙O的弦，D為⊙O上一點(diǎn)，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求證：M是弧AB的中點(diǎn)． 34．如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直徑，求證：∠ACD=∠BCE． 35．已知：如圖，AE是⊙O的直徑，AF⊥BC于D，證明：BE=CF． 36．已知AB為⊙O的直徑，弦BE=DE，AD，BE的延長線交于點(diǎn)C，求證：AC=AB． 37．如圖，AB是圓O的直徑，OC⊥AB，交⊙O于點(diǎn)C，D是弧AC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，EC⊥CD，交BD于點(diǎn)F．問：AD與BF相等嗎？為什么？ 38．如圖，AB是⊙O的直徑，AC、DE是⊙O的兩條弦，且DE⊥AB，延長AC、DE相交于點(diǎn)F，求證：∠FCD=∠ACE． 39．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，作CE⊥AD，垂足為E，CE的延長線與AB交于F．試分析∠ACF與∠ABC是否相等，并說明理由． 40．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為△ABC的外角平分線，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，CD，判斷△DBC的形狀，并說明理由． 　 41．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，G是上的任意一點(diǎn)，AG、DC的延長線相交于點(diǎn)F，∠FGC與∠AGD的大小有什么關(guān)系？為什么？ 42．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上一點(diǎn)，D是弧AC中點(diǎn)，DE⊥AB垂足為E，AC分別與DE、DB相交于點(diǎn)F、G，則AF與FG是否相等？為什么？ 43．如圖，OA是⊙O的半徑，以O(shè)A為直徑的⊙C與⊙O的弦AB交于點(diǎn)D，求證：D是AB的中點(diǎn)． 44．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，以DC為直徑的⊙O交△ABC的邊于G，F(xiàn)，E點(diǎn)． 求證：（1）F是BC的中點(diǎn)； （2）∠A=∠GEF． 45．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足為P，DH⊥BH垂足為H，求證：CH=CP，AP=BH． 　  《圓周角定理》2222222222 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共16小題） 1．（2012?呼倫貝爾）如圖，A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，若∠BOC=76°，則∠BAC的度數(shù)是（　?。? A．152° B．76° C．38° D．14° 【解答】解：∵所對的圓心角是∠BOC，圓周角是∠BAC， 又∵∠BOC=76°， ∴∠A=76°×=38°． 故選C． 　 2．（2015?眉山）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ACO=45°，則∠B的度數(shù)為（　?。? A．30° B．35° C．40° D．45° 【解答】解：∵OA=OC，∠ACO=45°， ∴∠OAC=45°， ∴∠AOC=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴∠B=∠AOC=45°． 故選D． 　 3．（2010秋?海淀區(qū)校級期末）如圖，在圖中標(biāo)出的4個(gè)角中，圓周角有（　?。﹤€(gè)． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∠1和∠3符合圓周角的定義， ∠2頂點(diǎn)不在圓周上， ∠4的一邊不和圓相交， 故圖中圓周角有∠1和∠3兩個(gè)． 故選B． 　 4．（2015?珠海）如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于弦AB，若∠C=25°，則∠BOD的度數(shù)是（　　） A．25° B．30° C．40° D．50° 【解答】解：∵在⊙O中，直徑CD垂直于弦AB， ∴=， ∴∠DOB=2∠C=50°． 故選：D． 　 5．（1997?陜西）如圖，已知在⊙O中，點(diǎn)A，B，C均在圓上，∠AOB=80°，則∠ACB等于（　?。? A．130° B．140° C．145° D．150° 【解答】解：設(shè)點(diǎn)E是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，連接EA，EB ∵∠AOB=80° ∴∠E=∠AOB=40° ∴∠ACB=180°﹣∠E=140°． 故選：B． 　 6．如圖，MN是⊙O的直徑，∠PBN=50°，則∠MAP等于（　?。? A．50° B．40° C．30° D．20° 【解答】解：連接OP， 可得∠MAP=∠MOP，∠NBP=∠NOP， ∵M(jìn)N為直徑， ∴∠MOP+∠NBP=180°， ∴∠MAP+∠NBP=90°， ∵∠PBN=50°， ∴∠MAP=90°﹣∠PBN=40°． 故選B． 　 7．（2007?太原）如圖，CD是⊙O的直徑，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠ABD=20°，則∠ADC的度數(shù)為（　?。? A．40° B．50° C．60° D．70° 【解答】解：∵∠ABD=20° ∴∠C=∠ABD=20° ∵CD是⊙O的直徑 ∴∠CAD=90° ∴∠ADC=90°﹣20°=70°． 故選D． 　 8．（2013?蘇州）如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∠ABC=50°，則∠DAB等于（　?。? A．55° B．60° C．65° D．70° 【解答】解：連結(jié)BD，如圖， ∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，即弧CD=弧AD， ∴∠ABD=∠CBD， 而∠ABC=50°， ∴∠ABD=×50°=25°， ∵AB是半圓的直徑， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAB=90°﹣25°=65°． 故選C． 　 9．（2009?棗莊）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D為圓上兩點(diǎn)，∠AOC=130°，則∠D等于（　　） A．25° B．30° C．35° D．50° 【解答】解：∵∠AOC=130°， ∴∠BOC=50°， ∴∠D=∠BOC=25°．故選A． 　 10．（2013秋?沙洋縣校級月考）如圖，∠1、∠2、∠3、∠4的大小關(guān)系是（　?。? A．∠4＜∠1＜∠2＜∠3 B．∠4＜∠1=∠3＜∠2 C．∠4＜∠1＜∠3∠2 D．∠4＜∠1＜∠3=∠2 【解答】解：如圖，利用圓周角定理可得：∠1=∠3=∠5=∠6， 根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得：∠5＞∠4，∠2＞∠6， ∴∠4＜∠1=∠3＜∠2， 故選B． 　 11．（2012秋?天津期末）如圖，AB是半圓O的直徑，∠BAC=60°，D是半圓上任意一點(diǎn)，那么∠D的度數(shù)是（　?。? A．30° B．45° C．60° D．90° 【解答】解：連接BC， ∵AB是半圓的直徑 ∴∠ACB=90° ∵∠BAC=60°， ∴∠ABC=90°﹣∠BAC=30°， ∴∠D=∠ABC=30°． 故選A． 　 12．（2009?塘沽區(qū)二模）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，則∠ADB的度數(shù)為（　?。? A．15° B．20° C．25° D．50° 【解答】解：∵OA⊥BC，∠AOC=50°， ∴， ∴∠ADB=∠AOC=25°． 故選C． 　 13．（2012秋?宜興市校級期中）在⊙O中，點(diǎn)A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，則弦AB所對的圓周角是（　?。? A．42° B．84° C．42°或138° D．84°或96° 【解答】解：如圖，∵∠AOB=84°， ∴∠ACB=∠AOB=×84°=42°， ∴∠ADB=180°﹣∠ACB=138°． ∴弦AB所對的圓周角是：42°或138°． 故選C． 　 14．（2011?南岸區(qū)一模）如圖所示，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，∠ACB的角平分線CD交⊙O于D，則∠ABD的度數(shù)等于（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【解答】解：連接AD， ∵在⊙O中，AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， ∵CD是∠ACB的角平分線， ∴=， ∴AD=BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD=45°． 故選C． 　 15．（2015秋?合肥校級期末）已知如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，則∠CBA的度數(shù)為（　?。? A．60° B．50° C．40° D．30° 【解答】解：連接AC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， ∵∠A=∠CDB=40°， ∴∠CBA=90°﹣∠A=50°． 故選B． 　 16．（2013?萬州區(qū)校級模擬）如圖，AB是圓的直徑，AB⊥CD，∠BAD=30°，則∠AEC的度數(shù)等于（　?。? A．30° B．50° C．60° D．70° 【解答】解：∵∠BAD=30°， ∴=60°， ∵AB是圓的直徑，AB⊥CD， ∴==60°， ∴=180°﹣60°=120°， ∴∠AEC==×120°=60°． 故選C． 　 二．填空題（共8小題） 17．（2016?大冶市模擬）如圖，⊙O的直徑CD經(jīng)過弦EF的中點(diǎn)G，∠DCF=20°，則∠EOD等于　40°　． 【解答】解：∵⊙O的直徑CD過弦EF的中點(diǎn)G，∠DCF=20°， ∴弧DF=弧DE，且弧的度數(shù)是40°， ∴∠DOE=40°， 答案為40°． 　 18．（2015?歷城區(qū)二模）如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，∠ABC=50°，則∠DAB的度數(shù)是　65°　． 【解答】解：連結(jié)BD，如圖， ∵點(diǎn)D是 的中點(diǎn)，即弧CD=弧AD， ∴∠ABD=∠CBD， 而∠ABC=50°， ∴∠ABD=×50°=25°， ∵AB是半圓的直徑， ∴∠ADB=90°， ∴∠DAB=90°﹣25°=65°． 故答案為65°． 　 19．（2013秋?濱湖區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)A、B在⊙O上，∠AOB=100°，點(diǎn)C是劣弧AB上不與A、B重合的任意一點(diǎn)，則∠C=　130　°． 【解答】解：在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連結(jié)AD、BD，如圖， ∴∠D=∠AOB=×100°=50°， ∵∠D+∠C=180°， ∴∠C=180°﹣50°=130°． 故答案為130． 　 20．（2008秋?蘇州校級期中）球員甲帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同伴乙已經(jīng)助攻沖到B點(diǎn)．有兩種射門方式：第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門．僅從射門角度考慮，應(yīng)選擇　第二種　種射門方式較為合理． 【解答】解：連接OC． 根據(jù)圓周角定理，得∠PCQ=∠B， 根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠PCQ＞∠A， 則∠B＞∠A． 故答案為第二種． 　 21．（2015?黃島區(qū)校級模擬）在⊙O中，弦AB=2cm，∠ACB=30°，則⊙O的直徑為　4　cm． 【解答】解：連接OA，OB， ∵∠ACB=30°， ∴∠AOB=60°， ∴△AOB是等邊三角形， ∴OA=OB=AB=2cm， ∴⊙O的直徑=4cm． 故答案為：4． 　 22．（2014春?海鹽縣校級期末）如圖，⊙O中弦AB等于半徑R，則這條弦所對的圓心角是　60°　，圓周角是　30°或150°　． 【解答】解：連結(jié)OA、OB，∠APB和∠AP′B為弦AB所對的圓周角，如圖， ∵弦AB等于半徑R， ∴△OAB為等邊三角形， ∴∠AOB=60°， ∴∠APB=∠AOB=30°， ∴∠AP′B=180°﹣∠APB=150°， 即這條弦所對的圓心角是60°，圓周角是30°或150°． 故答案為60°；是30°或150°． 　 23．（2012?義烏市模擬）如圖，等腰△ABC的底邊BC的長為4cm，以腰AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則DE的長為　2　cm． 【解答】 解：連接AD， ∵∠DEC為圓內(nèi)接四邊形ABDE的外角， ∴∠DEC=∠B， 又等腰△ABC，BC為底邊， ∴AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠DEC=∠C， ∴DE=DC， ∵AB為圓O的直徑， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∴BD=CD=BC，又BC=4cm， ∴DE=2cm． 故答案為：2 　 24．（2012秋?哈密地區(qū)校級月考）如圖，在“世界杯”足球比賽中，甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進(jìn)攻，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同樣乙已經(jīng)助攻沖到B點(diǎn)，丙助攻到C點(diǎn)．有三種射門方式：第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門．第三種是甲將球傳給丙，由丙射門．僅從射門角度考慮，應(yīng)選擇　第二　種射門方式． 【解答】解：設(shè)AP與圓的交點(diǎn)是C，連接CQ； 則∠PCQ＞∠A； 由圓周角定理知：∠PCQ=∠B； 所以∠B＞∠A； 因此選擇第二種射門方式更好． 故答案為：第二． 　 三．解答題（共16小題） 25．（2009?沈陽模擬）如圖，△ABC的高AD、BE相交于點(diǎn)H，延長AD交ABC的外接圓于點(diǎn)G，連接BG． 求證：HD=GD． 【解答】證明：∵∠C=∠G，△ABC的高AD、BE， ∴∠C+∠DAC=90°，∠AHE+∠DAC=90°， ∴∠C=∠AHE， ∵∠AHE=∠BHG=∠C， ∴∠G=∠BHG， ∴BH=BG， 又∵AD⊥BC， ∴HD=DG． 　 26．（2013秋?虞城縣校級期末）如圖，已知CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)M，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，且∠BPC=60°．試判斷△ABC的形狀，并說明你的理由． 【解答】解：△ABC為等邊三角形．理由如下： ∵AB⊥CD，CD為⊙O的直徑， ∴弧AC=弧BC， ∴AC=BC， 又∵∠BPC=∠A=60°， ∴△ABC為等邊三角形． 　 27．（2013秋?耒陽市校級期末）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，AC交⊙O于點(diǎn)E．∠BAC=40° （1）求∠EBC的度數(shù)； （2）求證：BD=CD． 【解答】（1）解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠BAC=40°， ∴∠C=（180°﹣40°）=70°， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠AEB=90°， ∴∠EBC=90°﹣∠C=20°； 證明：連結(jié)AD，如圖， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， 而AB=AC， ∴BD=DC． 　 28．（2014秋?高密市期中）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點(diǎn)，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求AB和BD的長． 【解答】解：如圖，∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°，∠ADB=90°． ∴AB===10（cm）． ∵AC=6cm，BC=8cm， ∵CD是∠ACB的平分線， ∴∠ACD=∠BCD，則=， ∴AD=BD， ∴BD=AB=5cm． 綜上所述，AB和BD的長分別是10cm，5cm． 　 29．（2013秋?宜興市校級期中）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半徑． 【解答】解：作直徑CD，連結(jié)BD，如圖， ∵CD為直徑， ∴∠CBD=90°， ∵∠D=∠A=30°， ∴CD=2BC=2×3=6， ∴⊙O的半徑為3cm． 　 30．（2010秋?瑞安市校級月考）如圖，AB是⊙O的直徑，過圓上一點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)C是弧AF的中點(diǎn)，連接AF交CD于點(diǎn)E，連接BC交AF于點(diǎn)G． （1）求證：AE=CE； （2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的長． 【解答】（1）證明：∵點(diǎn)C是弧AF的中點(diǎn)， ∴∠B=∠CAE， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=90°， 即∠ACE+∠BCD=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠CAE=∠ACE， ∴AE=CE …（6分） （2）解：∵∠ACB=90°， ∴∠CAE+∠CGA=90°， 又∵∠ACE+∠BCD=90°， ∴∠CGA=∠BCD， ∵AG=10， ∴CE=EG=AE=5， ∵ED：AD=3：4， ∴AD=4，DE=3， ∴AC=…（10分）． 　 31．（2015秋?揚(yáng)中市期中）如圖，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分線交外接圓于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M． （1）求證：BE=CM． （2）求證：AB﹣AC=2BE． 【解答】證明：（1）連接BD，DC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∴弧BD=弧CD， ∴BD=CD， ∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC， ∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM， 在Rt△DEB和Rt△DMC中， ， ∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL）， ∴BE=CM． （2）∵DE⊥AB，DM⊥AC， ∵∠M=∠DEA=90°， 在Rt△DEA和Rt△DMA中 ∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL）， ∴AE=AM， ∴AB﹣AC， =AE+BE﹣AC， =AM+BE﹣AC， =AC+CM+BE﹣AC， =BE+CM， =2BE． 　 32．（2013?寧夏模擬）如圖，OA是⊙0的半徑，以O(shè)A為直徑的⊙C與⊙0的弦AB相交于點(diǎn)D．求證：AD=BD． 【解答】證明：連結(jié)OD，如圖， ∵OA為⊙C的直徑， ∴∠ADO=90°， ∴OD⊥AB， ∴AD=BD． 　 33．（2011秋?寧波期中）如圖，已知：AB是⊙O的弦，D為⊙O上一點(diǎn)，DC⊥AB于C，DM平分∠CDO．求證：M是弧AB的中點(diǎn)． 【解答】解：連接OM ∵OD=OM， ∴∠ODM=∠OMD， ∵DM平分∠ODC， ∴∠ODM=∠CDM， ∴∠CDM=∠OMD， ∴CD∥OM， ∵CD⊥AB， ∴OM⊥AB， ∴弧AM=弧BM， 即點(diǎn)M為劣弧AB的中點(diǎn)． 　 34．（2009秋?哈爾濱校級期中）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直徑，求證：∠ACD=∠BCE． 【解答】解：連接AE， ∵CE為直徑， ∴∠EAC=90°， ∴∠ACE=90°﹣∠AEC， ∵CD是高，D是垂足， ∴∠BCD=90°﹣∠B， ∵∠B=∠AEC（同弧所對的圓周角相等）， ∴∠ACE=∠BCD， ∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD， ∴∠ACD=∠BCE． 　 35．已知：如圖，AE是⊙O的直徑，AF⊥BC于D，證明：BE=CF． 【解答】證明：∵AE是⊙O的直徑， ∴∠ABE=90°， ∴∠E+∠BAE=90°， ∵AF⊥BC于D， ∴∠FAC+∠ACB=90°， ∵∠E=∠ACB， ∴∠BAE=∠FAC， ∴弧BE=弧CF， ∴BE=CF． 　 36．（2015秋?哈爾濱校級期中）已知AB為⊙O的直徑，弦BE=DE，AD，BE的延長線交于點(diǎn)C，求證：AC=AB． 【解答】證明：連接AE， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠AEB=90°， ∴∠AEB=∠AEC=90°， ∵弦BE=DE， ∴=， ∴∠DAE=∠BAE， ∵∠C=90°﹣∠DAE，∠B=90°﹣∠BAE， ∴∠B=∠C， ∴AC=AB． 　 37．如圖，AB是圓O的直徑，OC⊥AB，交⊙O于點(diǎn)C，D是弧AC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，EC⊥CD，交BD于點(diǎn)F．問：AD與BF相等嗎？為什么？ 【解答】解：AD和BF相等．理由：如圖， 連接AC、BC， ∵OC⊥AB， ∴∠BOC=90° ∴∠BDC=∠BAC=45° ∵EC⊥CD， ∴∠DCE=∠ACB=90°， ∴△DCF和△ACB都是等腰直角三角形， ∴DC=FC，AC=BC， ∵∠DCA+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°， ∴∠DCA=∠FCB 在△ACD和△BCF中， {，∴△ACD≌△BCF ∴DA=BF． 　 38．如圖，AB是⊙O的直徑，AC、DE是⊙O的兩條弦，且DE⊥AB，延長AC、DE相交于點(diǎn)F，求證：∠FCD=∠ACE． 【解答】證明：連接AD，AE， ∵AB是直徑．AB⊥DE， ∴AB平分DE，弧ACE=弧AD， ∴∠ACD=∠ADE， ∵A、C、E、D四點(diǎn)共圓， ∴∠FCE=∠ADE， ∴∠FCE=∠ACD， ∴∠FCE+∠DCE=∠DAC+∠ECD， ∴∠FCD=∠ACE． 　 39．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，作CE⊥AD，垂足為E，CE的延長線與AB交于F．試分析∠ACF與∠ABC是否相等，并說明理由． 【解答】解： 延長CE交⊙O于M， ∵AD是⊙O的直徑，作CE⊥AD， ∴弧AC=弧AM， ∴∠ACF=∠ABC（在同圓中，等弧所對的圓周角相等）． 　 40．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為△ABC的外角平分線，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，CD，判斷△DBC的形狀，并說明理由． 【解答】解：△DBC為等腰三角形．理由如下： ∵AD為△ABC的外角平分線， ∴∠EAD=∠DAC， ∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC， ∴∠DBC=∠DCB， ∴△DBC為等腰三角形． 　　 一．解答題（共6小題） 1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，G是上的任意一點(diǎn)，AG、DC的延長線相交于點(diǎn)F，∠FGC與∠AGD的大小有什么關(guān)系？為什么？ 【解答】解：∠FGC與∠AGD相等．理由如下： 連接AD，如圖， ∵CD⊥AB， ∴=， ∴∠AGD=∠ADC， ∵∠FGC=∠ADC， ∴∠FGC=∠AGD 　 2．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上一點(diǎn)，D是弧AC中點(diǎn)，DE⊥AB垂足為E，AC分別與DE、DB相交于點(diǎn)F、G，則AF與FG是否相等？為什么？ 【解答】解：AF=FG， 理由是：連接AD， ∵AB是直徑，DE⊥AB， ∴∠ADB=∠DEB=90°， ∴∠ADE=∠ABD， ∵D為弧AC中點(diǎn)， ∴∠DAC=∠ABD， ∴∠ADE=∠DAC， ∴AF=DF，∠FAE=∠DAC， ∴DF=FG， ∴AF=FG． 　 3．如圖，AB為⊙O的直徑，以O(shè)A為直徑作⊙C，AD為⊙O的弦，交⊙C于E，試問，當(dāng)D點(diǎn)在⊙O上運(yùn)動時(shí)（不與A重合），AE與ED的長度有何關(guān)系？證明你的結(jié)論． 【解答】解：AE=ED． 理由：連接OE， ∵AO是⊙C的直徑， ∴∠OEA=90°， ∴OE⊥AD， ∵OE過圓O的圓心O， ∴AE=ED． 　 4．如圖，OA是⊙O的半徑，以O(shè)A為直徑的⊙C與⊙O的弦AB交于點(diǎn)D，求證：D是AB的中點(diǎn)． 【解答】證明：連接OD， ∵OA為⊙C的直徑， ∴∠ODA=90°，即OD⊥AB， ∴D是AB的中點(diǎn)． 　 5．（2007?鄂爾多斯）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，以DC為直徑的⊙O交△ABC的邊于G，F(xiàn)，E點(diǎn)． 求證：（1）F是BC的中點(diǎn)； （2）∠A=∠GEF． 【解答】證明一： （1）連接DF，∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)， ∴BD=DC=AB，（2分） ∵DC是⊙O的直徑， ∴DF⊥BC，（4分） ∴BF=FC，即F是BC的中點(diǎn)；（5分） （2）∵D，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)， ∴DF∥AC，（6分） ∴∠A=∠BDF，（7分） ∵∠BDF=∠GEF（圓周角定理），（8分） ∴∠A=∠GEF．（9分） 證明二： （1）連接DF，DE， ∵DC是⊙O直徑， ∴∠DEC=∠DFC=90°．（1分） ∵∠ECF=90°， ∴四邊形DECF是矩形． ∴EF=CD，DF=EC．（2分） ∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°， ∴EF=CD=BD=AB．（3分） ∴△DBF≌△EFC．（4分） ∴BF=FC，即F是BC的中點(diǎn)．（5分） （2）∵△DBF≌△EFC， ∴∠BDF=∠FEC，∠B=∠EFC．（6分） ∵∠ACB=90°（也可證AB∥EF，得∠A=∠FEC）， ∴∠A=∠FEC．（7分） ∵∠FEG=∠BDF（同弧所對的圓周角相等 ），（8分） ∴∠A=∠GEF．（9分） （此題證法較多，大綱卷參考答案中，又給出了兩種不同的證法，可供參考．） 　 6．（2000?蘭州）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的外角∠DCH=∠DCA，DP⊥AC垂足為P，DH⊥BH垂足為H，求證：CH=CP，AP=BH． 【解答】證明：（1）在△DHC與△DPC中， ∵∠DCH=∠DCA，DP⊥AC，DH⊥BH，DC為公共邊， ∴△DHC≌△DPC， ∴CH=CP． （2）連接DB，由圓周角定理得， ∠DAC=∠DBH， ∵△DHC≌△DPC， ∴DH=DP， ∵DP⊥AC，DH⊥BH， ∴∠DHB=∠DPC=90°， ∴△DAP≌△DBH， ∴AP=BH． 　 第37頁（共37頁）