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線性方程組解的結(jié)構(gòu)（解法）
一、齊次線性方程組的解法
【定義】 r(A)= r
n時, 可以r(A |b) =n+1.
⑴ 唯一解： 線性方程組有唯一解
【例題4】 解線性方程組
解：
可見，則方程組有唯一解，所以方程組的解為
⑵ 無解：線性方程組無解（或若階梯形方程組出現(xiàn)，則原方程組無解）
【例題5】解線性方程組
解：，可見，所以原方程組無解.
⑶ 無窮多解：線性方程組有無窮多解
【例題6】解線性方程組
解：
可見，則方程組有無窮多解，其同解方程組為
（其中,為自由未知量）
令得原方程組的一個特解.
又原方程組的導出組的同解方程組為（其中,為自由未知量）
令，，得；令，，得，
于是得到導出組的一個基礎(chǔ)解系為 ，。
所以，原方程組的通解為 （，）.
【例題7】 求線性方程組： 的全部解.
解：
可見，所以方程組有無窮多解，其同解方程組為
（其中為自由未知量）
令，可得原方程組的一個特解.
又原方程組的導出組的同解方程組為（其中為自由未知量）
令（注：這里取-2為了消去分母取單位向量的倍數(shù)），得，
于是得到導出組的一個基礎(chǔ)解系為.
所以，原方程組的通解為 （）.
【例題8】求非齊次線性方程組的全部解。
解：
因為，所以非齊次線性方程組有無窮多組解，取自由未知量為，
原方程組與方程組同解
取自由未知量為，得原方程組的一個特解：
再求其導出組的基礎(chǔ)解系，其導出組與方程組同解
對自由未知量分別取，代入上式得到其導出組的一個基礎(chǔ)解系為：
則原方程組的全部解為：
三、證明與判斷
【例題9】已知是齊次線性方程組AX＝0的一個基礎(chǔ)解系，證明也是齊次線性方程組AX＝0的一個基礎(chǔ)解系。
證：由已知可得：齊次線性方程組AX＝0的基礎(chǔ)解系含有3個解向量，并且由齊次線性方程組解的性質(zhì)可知都是AX＝0的解；因此只要證明線性無關(guān)即可。
設(shè)存在數(shù)使
成立。
整理得： ?。?）
已知是齊次線性方程組AX＝0的一個基礎(chǔ)解系，即得線性無關(guān)，則由(1)得，解得： 所以線性無關(guān)。
即也是齊次線性方程組AX＝0的一個基礎(chǔ)解系。
【例題10】已知是齊次線性方程組AX＝0的一個基礎(chǔ)解系，若 。
討論t滿足什么條件時,是齊次線性方程組AX＝0的一個基礎(chǔ)解系
解：首先，是齊次線性方程組AX＝0的解，只須證線性無關(guān).
由已知有：
因為：線性無關(guān)， 即，
所以當t 1 ±1時, 是齊次線性方程組AX＝0的一個基礎(chǔ)解系
【例題11】已知n階矩陣A的各行元素之和均為零,且r(A)=n-1,求線性方程組AX=0的通解.
解 ：由r(A)=n-1知AX=0的基礎(chǔ)解系有一個非零解向量.
又， 即
（k為任意常數(shù)）為所求通解.
【例題12】設(shè)X1,X2,…, Xt 是非齊次線性方程組 AX =b10 的解向量,
證明： 對于X0=k1 X1+k2 X2+…+kt Xt
當k1 +k2+…+kt =1時, X0是AX=b的解；當k1 +k2+…+kt =0時, X0是AX=0的解.
證 ：AX0=A(k1 X1+k2 X2+…+kt Xt) =k1 AX1+k2 AX2+…+ktAXt=k1 b+k2 b+…+ktb=(k1+k2+…+kt)b
故：當k1+k2 +…+kt=1時, AX0 =b
當k1 +k2+…+kt =0時, AX0=0
由此可見, 非齊次方程組的解對于線性組合并不一定封閉,只有組合系數(shù)的和等于1的時候,解向量組的線性組合才是非齊次方程組的解!
【例題13】已知為的兩個不同解,是的一個基礎(chǔ)解系.為任意常數(shù). 則的通解為（ ） 答案B
【例題14】設(shè)是四元非齊次線性方程組AX＝b的三個解向量，且矩陣A的秩為3，，求AX＝b的通解。
解：因為A的秩為3，則AX＝0的基礎(chǔ)解系含有4－3＝1個解向量。
由線性方程組解的性質(zhì)得：是AX＝0的解，
則解得AX＝0的一個非零解為：。
由此可得AX＝b的通解為：。
【例題15】設(shè)A是4階方陣, (≠0)是4×1矩陣, 是的解,
且滿足
試求方程組的通解.
解：先求的一個特解
再求的一個基礎(chǔ)解系
，
因為線性無關(guān)，所以是的一個基礎(chǔ)解系.
故方程組的通解是
， 為任意常數(shù).
【例題16】設(shè)矩陣A＝。
證明：AB＝0的充分必要條件是矩陣B的每一列向量都是齊次方程組AX=0的解。
證：把矩陣B按列分塊：，其中是矩陣B的第i列向量，
零矩陣也按列分塊
則
必要性：AB＝0可得： 精品文檔，你值得期待
，即是齊次方程組AX=0的解。
充分性：矩陣B的每一列向量都是齊次方程組AX=0的解，
即有
得：，即證。
她，不自覺地已經(jīng)墜入了暮年人的園地里，當一種暗示發(fā)現(xiàn)時，使人如何的難堪！而且，電影似的人生，又怎樣能掙扎？尤其是她，十年前痛恨老年人的她！她曾經(jīng)在海外壯游，在崇山峻嶺上長嘯，在凍港內(nèi)滑冰，在廣座里高談。但現(xiàn)在呢？往事悠悠，當年的豪舉都如煙云一般霏霏然的消散，尋不著一點的痕跡，她也惟有付之一嘆，青年的容貌，盛氣，都漸漸地消磨去了。她怕見舊時的摯友。她改變了的容貌，氣質(zhì)，無非添加他們或她們的驚異和竊議罷了。為了躲避，才來到這幽僻的一隅，而花，鳥，風，日，還要逗引她愁煩。她開始詛咒這逼人太甚的春光了
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