7.5第1課時 三角形內角和定理

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7.5三角形內角和定理 第1課時 三角形內角和定理 教學目標 【知識與技能】 掌握“三角形內角和定理”的證明及簡單的應用. 【過程與方法】 通過一題多變,建立思考情境,形成獨立思考、合作交流的學習模式,培養(yǎng)理性說理能力. 【情感態(tài)度價值觀】 培養(yǎng)學生創(chuàng)造性,弘揚個性發(fā)展,體驗解決問題的成就感,使學生感悟邏輯推理的數(shù)學價值. 教學重難點 【教學重點】 理解三角形內角和定理及其簡單的應用. 【教學難點】 三角形內角和定理的證明方法. 課前準備 【教師準備】教學導入圖片和例題圖片. 【學生準備】量角器、三角板等作圖工具. 教學過程 一、導入新課 導入一: 師:我們知道,三角形內角和等于多少度? 生:(齊聲)三角形的內角和是180°. 師:你們還記得這個結論的探索過程嗎? 請看試驗:將三角形紙片的三個角剪下,隨意將它們拼湊在一起. 生:由試驗可知三角形的內角和正好為一個平角. 師:但觀察與試驗得到的結論,并不一定正確、可靠,這樣就需要通過數(shù)學證明.那么怎樣證明呢?這節(jié)課我們一起探究一下三角形內角和定理的證明.(教師板書課題) [設計意圖]　對比過去撕紙等探索過程,體會思維試驗和符號化的理性作用.將自己的操作轉化為符號語言對于學生來說還存在一定困難,因此需要一個臺階,使學生逐步過渡到嚴格的證明. 導入二: 課件出示《三角形家族的“官司”風波》. 故事導入:很久很久以前的一天,數(shù)學國際法庭來了三位告狀者,它們是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.“它們干什么來了?”“是來打官司的.”這不它們在法庭外剛一見面又爭吵起來: 銳角三角形說:“我們銳角三角形的內角和度數(shù)最大!” 直角三角形說:“不對!是我們直角三角形的內角和最大!” 鈍角三角形說:“你們別吵了!還是我們鈍角三角形的內角和最大!” 問題1 【課件1】　如果你是法庭庭長,你認為該怎樣對它們宣判?為什么? 問題2 【課件2】　你們還記得小學是怎樣探索三角形內角和的嗎?誰能給大家說一說或者展示一下嗎? 問題3 【課件3】　小學的證明方法固然好,但是這些方法可靠嗎?現(xiàn)在有更加科學嚴密、更有說服力的證明方法嗎? [處理方式]　學生觀察并讀出對話及問題.問題1學生能夠順利解決;問題2學生一次回答出全部答案會有困難,根據(jù)學生已有的知識經驗,學生間互相補充能夠解決,學生邊說邊在講臺上演示測量法、折拼法、剪拼法(撕拼法).學生回答時語言可能不準確,教師及時引導糾正.教師根據(jù)學生回答利用課件展示三種方法.對于問題3,學生通過思考、聯(lián)想前面所學,應該能夠解決.學生只要能夠回答出用推理的方法證明三角形內角和即可,不要求作出具體回答. 1.測量法. 2.折拼法: 3.剪拼法(撕拼法): [設計意圖]　通過學生動手測量、折紙與剪紙等操作讓學生獲得直接經驗,為下面探究推理證明提供直接經驗. 導入三: 出示下面的投影片 工人師傅將凹型零件(圖(1))加工成斜面EC與槽底CD成55°角的燕尾槽(圖(2))的程序是:將垂直的銑刀傾斜偏轉35°角(圖(3)),就能得到55°的燕尾槽底角.為什么銑刀偏轉35°角就能得到55°的燕尾槽底角呢? [設計意圖]　通過問題的解答,再現(xiàn)所學知識,為新知識的接納做心理和知識上的準備,引出新課內容. 2、 新知構建 (1).探索三角形內角和定理 [過渡語]　我們已經知道三角形內角和等于180°,這個定理是怎樣證明的呢? 思路一 [活動內容1]　證明思路的探索分析. (多媒體出示)剪拼法圖示(動態(tài)): 問題1 【課件1】　如圖所示,當∠A移到∠1的位置時,殘邊CD和邊AB有何位置關系?為什么? 問題2 【課件2】　在剪拼法中,通過移動角拼成了一個平角;如果不實際移動角,那么你還有其他方法可以達到同樣的效果嗎? [處理方式]　教師先出示圖,學生讀題回答.對于問題1可讓學生到黑板前指圖回答,注意語言表達及學生指圖的準確性,發(fā)現(xiàn)不當處,及時強調.問題2可以讓學生合作完成.如果有困惑,教師可作引導.利用課件圖形,結合問題1引導學生進行逆向思考:“如果先移動角,那么可以得到平行線;反過來,如果我們先畫出平行線,會得到什么呢?”此時教師在空白ΔABC上規(guī)范作出射線CD,使CD∥AB,學生自然推出∠1=∠A.教師追問:“你還可以得到哪些角相等?說說理由.”學生得出∠2=∠B后,一個平角自然就擺放在學生眼前了,達到了移角的效果.此時教師順勢引出輔助線:為了證明的需要,在原來的圖形上添作的線叫做輔助線.(教師板書:輔助線)在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線. [設計意圖]　利用剪撕紙得來的直接經驗和逆向思維的方式,引導學生初步感悟輔助線的來源和作用,提高學生分析問題的能力. [活動內容2]　說一說,寫一寫. 問題1 【課件1】　你能用簡潔的語言完整地說一說分析思路嗎? 問題2 【課件2】　你能用數(shù)學推理的方法證明它嗎? 問題3 【課件3】　證明的關鍵是什么?說說你的想法. [處理方式]　問題1小組交流后學生代表發(fā)言,展示交流成果.學生發(fā)言時,教師注意提示學生文字命題的證明步驟以及數(shù)學語言表達的規(guī)范性.對于問題2,教師引導學生再次明確輔助線的作法及其相關要求:(1)這里的CD稱為輔助線;(2)輔助線通常畫成虛線.師生合作,教師規(guī)范完成輔助線的添加后,余下的證明過程由一名學生在黑板上獨立完成,其余學生在練習本上寫出完整的證明過程.教師巡視,幫助、鼓勵困難學生解決問題.學生板演完成后師生共同評價,評價時重點強調輔助線的作法及證明過程的規(guī)范性.對于問題3,學生回答時,可能語言不準確,教師及時引導,讓學生自主感悟體會到證明的關鍵是添加輔助線,把三角形內角和轉化成一個平角. 【多媒體展示】　已知:如圖所示,ΔABC. 求證:∠A+∠B+∠ACB=180°. 證明:如圖所示,延長BC至D,過點C作射線CE∥AB,則∠1=∠A(兩直線平行,內錯角相等), ∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義), ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換). 師:命題“三角形的內角和等于180°”經過了我們嚴密地推理證明,它是真命題.此時我們可以理直氣壯地稱之為三角形內角和定理. 【課件展示】　三角形內角和定理:三角形的內角和等于180°. [設計意圖]　用平行線的性質定理來推導出三角形內角和定理,讓學生再次體會推理證明的嚴密性和數(shù)學的嚴謹.同時讓學生初步理解添加輔助線的原因及添加輔助線的注意事項,培養(yǎng)學生的分析能力和邏輯推理能力. 思路二 [過渡語]　根據(jù)上面給出的基本事實和三角形內角和定理,你能用自己的語言說一說這一結論的證明思路嗎?你能用較為簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流. 接下來同學們來證明:三角形的內角和等于180°這個真命題.這是一個文字命題,證明時需要先干什么呢? 生:需要先畫出圖形,根據(jù)命題的條件和結論,結合圖形寫出已知、求證. 師:對,下面大家來證明,哪位同學上黑板給大家板演呢? 生1:已知:如圖所示,ΔABC. 求證:∠A+∠B+∠ACB=180°. 證明:作BC的延長線CD,過點C作射線CE∥AB, 則∠ACE=∠A(兩直線平行,內錯角相等),∠ECD=∠B(兩直線平行,同位角相等). ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定義), ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換). 生2:老師,我的證明過程是這樣的: 證明:作BC的延長線CD,作∠ECD=∠B,則EC∥AB(同位角相等,兩直線平行), ∴∠A=∠ACE(兩直線平行,內錯角相等). ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°), ∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代換). 師:同學們寫的證明過程都很好,在證明過程中,我們僅僅添畫了一條射線CE,使處于原三角形中不同位置的三個角,巧妙地拼“湊”到了一起.為了證明的需要,在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線. 我們通過推理的過程,得證了命題:三角形的內角和等于180°是真命題,這時稱它為定理,即三角形內角和定理. (2)、想一想,做一做 【問題】你還能用其他方法證明三角形內角和定理嗎? [處理方式]　學生先嘗試獨立完成,教師巡視引導.絕大多數(shù)學生會想到圖形(1)的方法.對于圖形(2),可能只有少數(shù)學生想到或者全體學生都想不到.當只有少數(shù)學生想到時,教師指名學生說說方法和理由.如果全體學生都想不到,教師可以追問:“我們移動其中一塊,能否得到平行線呢?”并引導學生擺出圖形(2).結合圖形(2),學生會恍然大悟:應該如何添加輔助線,進而解決圖形(2)的證明過程.教師巡視時,有意識尋找證明過程正確規(guī)范的作業(yè),全班展示、評價. 【參考答案】　 證法1:過點A作DE∥BC. ∵DE∥BC, ∴∠1=∠B,∠2=∠C(兩直線平行,內錯角相等). ∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定義), ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換). 證法2:過點A作AD∥BC. ∵AD∥BC, ∴∠1=∠B(兩直線平行,內錯角相等),∠DAC+∠C=180°(兩直線平行,同旁內角互補). 又∵∠DAC=∠1+∠2, ∴∠1+∠2+∠C=180°(等量代換), ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換). [設計意圖]　通過學生獨立運用較簡單的方法證明三角形內角和定理,感受體會“輔助線”的作法和作用,提高一題多解的能力,體會思維的多樣性和基本的轉化思想. (3)、議一議 【問題】綜上所述,添加輔助線的目的是什么?你是怎樣理解輔助線的? [處理方式]教師先快速地展示三種輔助線的添加圖形,學生結合圖片先在小組內討論交流,形成小組成果,然后全班交流、隨時互評.學生討論時,教師參與其中,傾聽學生的討論,引導學生從輔助線的作用、作法、要求去交流.學生通過觀察圖形得出:添加輔助線的目的是構造180°的平角或同旁內角. 【課件展示】　添加輔助線的目的: 三角形內角和平角、同旁內角 【教師總結】(1)輔助線通常畫成虛線;(2)輔助線要正確、規(guī)范地寫出作法,并標明字母,便于書寫證明過程;(3)輔助線能把題目中可利用的隱藏條件顯露出來,化難為易. 為便于學生掌握,總結四句話:小小輔助線,作時畫虛線,寫清其來源,隱藏條件見. [設計意圖]添加輔助線是教學中的一個難點,學生通過思考、討論、交流對輔助線的認識,展示思維過程,然后在老師的引導下達成共識,進一步加深了對輔助線的理解,易于突破教學難點,提高學生解決問題的能力. (4)、探究活動 剛才同學們對輔助線掌握得很好.接下來,我將平角或同旁內角的位置移動或者改造一下,使它再有一些難度,看誰還能攻克它? [處理方式]　教師先出示圖(1),思考:怎樣添加輔助線?學生思考討論,由于圖形較直觀,學生能夠解決輔助線的添加問題;學生完成后教師出示圖(2);為便于學生敘述證明過程,教師再出示圖(3).學生根據(jù)圖(3)口述證明過程.學生在口述證明過程時,教師注意數(shù)學語言表達的規(guī)范性和推理證明的邏輯性. (1) (2) [設計意圖]　用多種方法證明三角形內角和定理,培養(yǎng)一題多解的能力,同時提高學生添加輔助線的技能、技巧,提高解決問題的能力. (5)、典例解析,應用新知 [活動內容1]　通過剛才的學習,同學們不僅知道了輔助線,而且利用它用多種方法證明了三角形內角和定理,你們覺得學了這些知識,能解決哪些問題呢? 【課件展示】　 如圖所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平分線,求∠ADB的度數(shù). [處理方式]　學生先結合圖形讀題,指圖說出已知條件和要解決的問題,然后說說分析思路及求解過程,最后學生板演,師生共同評價.如果學生有困難,可以先在小組內討論交流. 在學生板演時,教師巡視指導,幫助、鼓勵學困生完成任務.集體評價時,教師強調證明過程的規(guī)范性和嚴謹性. 解:在ΔABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形內角和定理). ∵∠B=38°,∠C=62°(已知), ∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性質). ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°(角平分線的定義). 在ΔADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形內角和定理). ∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已證), ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性質). [設計意圖]　學生通過三角形內角和定理的簡單應用,及時加深了對所學知識的理解,規(guī)范學生的證明過程,培養(yǎng)了學生良好的學習數(shù)學的習慣. 三、課堂總結 四、課堂練習 1.三角形三個內角的和等于　　　　.? 答案:180° 2.如下圖所示的是三角形內角和定理的幾種證明方法,可分別記作　　　　法,　　　　法,　　　　法.? 答案:拼湊　作平行線　折疊 3. 如圖所示,AD是∠BAC的平分線,若∠ADC=110°,且∠DAC=∠C,求ΔABC的三個內角的度數(shù). 解:∵∠ADC=110°,∠DAC=∠C,∴∠C=180°-110°2=35°,∴∠BAC=2∠DAC=2∠C=70°,∴∠B=180°-70°-35°=75°. 4.在ΔABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,求∠A,∠B,∠C的度數(shù). 解:設∠A,∠B,∠C的度數(shù)分別為x,3x,5x, 則x+3x+5x=180°, 解得x=20°, ∴∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°. 五、板書設計 第1課時 1.探索三角形內角和定理 2.想一想,做一做 3.議一議 4.探索活動 5.典例解析,應用新知 六、布置作業(yè) 【必做題】教材隨堂練習第2,3題. 【選做題】教材習題7.6第5題. - 9 -