2018-2019學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3.2 平面與平面垂直的判定課件 新人教A版必修2.ppt

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2.3.2平面與平面垂直的判定,課標(biāo)要求:1.了解二面角及其平面角的定義,并會(huì)求簡單二面角的大小.2.理解兩個(gè)平面互相垂直的定義.3.理解兩個(gè)平面垂直的判定定理,并能用定理判定面面垂直.,自主學(xué)習(xí)新知建構(gòu)自我整合,導(dǎo)入(實(shí)例導(dǎo)入)建筑工人在準(zhǔn)備砌墻時(shí),常常在較高處固定一條端點(diǎn)系有鉛錘的線,再沿著該線砌墻,就能保證所砌的墻面和水平面垂直.,【情境導(dǎo)學(xué)】(教學(xué)備用),想一想實(shí)例中墻面滿足什么條件時(shí)和水平面垂直?(墻面經(jīng)過水平面的一條垂線),1.二面角(1)定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫二面角的,這兩個(gè)半平面叫二面角的.圖中的二面角可記作:二面角-AB-或-l-或P-AB-Q.,知識(shí)探究,棱,面,(2)二面角的平面角:如圖,在二面角-l-的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面和內(nèi)分別作的射線OA,OB,則射線OA和OB構(gòu)成的AOB叫做二面角的平面角.平面角是的二面角叫做直二面角.,垂直于棱l,直角,探究1:教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角?答案:可以構(gòu)成三個(gè)二面角,如圖所示.分別是-a-,-c-,-b-.這三個(gè)二面角都是90.,2.平面與平面垂直(1)定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是,就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面與垂直,記作.(2)判定定理,直二面角,另一個(gè)平,面的垂線,探究2:過平面外一點(diǎn),可以作多少個(gè)與已知平面垂直的平面?答案:無數(shù)多個(gè).過平面外一點(diǎn)可以作平面的一條垂線,過此垂線可以作出無數(shù)個(gè)平面,這些平面都與已知平面垂直.,自我檢測,1.(二面角)下列結(jié)論:(1)兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角;(2)異面直線a,b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面垂直,則a,b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ).(3)二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā),分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線所成角的最小角;(4)二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系.其中正確的是()(A)(B)(C)(D),B,2.(判定定理)對于直線m,n和平面,能得出的一個(gè)條件是()(A)mn,m,n(B)mn,=m,n(C)mn,n,m(D)mn,m,n3.(面面垂直的判定)在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)面中,與面ABCD垂直的平面有()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè),C,D,4.(面面垂直判定定理)在三棱錐P-ABC中,已知PAPB,PBPC,PCPA,則在三棱錐P-ABC的四個(gè)面中,互相垂直的面有對.,答案:3,5.(二面角)如圖,P是邊長為2的正方形ABCD所在平面外一點(diǎn),PAAB,PABC,且PC=5,則二面角P-BD-A的余弦值為.,答案:,題型一,求二面角,【例1】如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中:(1)求二面角D-AB-D的大小;,課堂探究典例剖析舉一反三,解:(1)在正方體ABCD-ABCD中,AB平面ADDA,所以ABAD,ABAD,因此DAD為二面角D-AB-D的平面角,在RtDDA中,DAD=45.所以二面角D-AB-D的大小為45.,解:(2)因?yàn)镸是CD的中點(diǎn),所以MA=MB,取AB的中點(diǎn)N,連接MN,則MNAB.取CD的中點(diǎn)H,連接HN,則HNAB.從而MNH是二面角M-AB-D的平面角.MNH=45.所以二面角M-AB-D的大小為45.,(2)若M是CD的中點(diǎn),求二面角M-AB-D的大小.,方法技巧,(1)二面角的平面角滿足:頂點(diǎn)在二面角的棱上;兩邊分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi);兩邊分別與二面角的棱垂直.(2)二面角的平面角是兩條射線所成的角,因此二面角不一定是銳角,其范圍為0180.,即時(shí)訓(xùn)練1-1:(2018遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一測試)正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-C的平面角等于.,解析:因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體,所以AB平面BCC1B1,因?yàn)锽C平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,所以ABBC,ABBC1,所以CBC1為二面角C1-AB-C的平面角,又ABCD-A1B1C1D1為正方體.所以C1BC=45.答案:45,【備用例1】在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的正方形,PD平面ABCD,PD=a.(1)求證:AC平面PBD;,(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以ACBD,又PD平面ABCD,所以ACPD,又PDBD=D,所以AC平面PBD.,(2)求二面角P-BC-D的平面角;,(2)解:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以BCCD,又PD平面ABCD,所以BCPD.又CDPD=D,所以BC平面PCD,所以BCPC,所以PCD為二面角P-BC-D的平面角,在RtPCD中,因?yàn)镻D=DC=a,所以PCD=45,即二面角P-BC-D的平面角為45.,(3)求二面角P-AC-D的平面角的正切值.,題型二,平面與平面垂直的判定,【例2】(1)如圖(1)在四面體ABCD中,BD=a,AB=AD=CB=CD=AC=a.,求證:平面ABD平面BCD;,(2)如圖(2),在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AC上,且DEA1E.求證:平面A1AD平面BCC1B1;,證明:(2)因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為正三棱柱,所以BB1平面ABC,又AD平面ABC,所以ADBB1,又D為BC的中點(diǎn),所以ADBC,又BCBB1=B,所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADA1,所以平面A1AD平面BCC1B1.,求證:平面A1DE平面ACC1A1.,證明:因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為正三棱柱,所以AA1平面ABC,又DE平面ABC,所以AA1DE,又DEA1E,A1EAA1=A1,所以DE平面ACC1A1,又DE平面A1DE,所以平面A1DE平面ACC1A1.,變式探究:若本例中(2)改為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,F為A1C1的中點(diǎn),求證:平面AB1F平面ACC1A1.,證明:因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為正三棱柱,所以AA1平面A1B1C1,又FB1平面A1B1C1,所以AA1FB1,又A1B1C1為等邊三角形,F為A1C1的中點(diǎn),所以B1FA1C1,又A1C1AA1=A1,所以B1F平面ACC1A1,又B1F平面AB1F,所以平面AB1F平面ACC1A1.,判定兩平面垂直的常用方法:(1)定義法:即說明兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一個(gè)平面垂直,即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”;(3)性質(zhì)法:兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面,則另一個(gè)也垂直于此平面.,方法技巧,即時(shí)訓(xùn)練2-1:(2018石家莊期末)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,E為PD的中點(diǎn).若PA平面ABCD,PA=AD,求證:平面AEC平面PDC.,證明:因?yàn)镻A平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD,又ADCD,且ADPA=A,所以CD平面PAD,又AE平面PAD,所以CDAE.因?yàn)镻A=AD,E為PD中點(diǎn),所以AEPD.又CDPD=D,所以AE平面PDC,又AE平面AEC,所以平面AEC平面PDC.,【備用例2】如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中點(diǎn).證明:平面ABM平面A1B1M.,【備用例3】(2014北京卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點(diǎn).(1)求證:平面ABE平面B1BCC1;,(1)證明:因?yàn)樵谌庵鵄BC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面所以BB1AB,又因?yàn)锳BBC,BB1BC=B,所以AB平面B1BCC1,因?yàn)锳B平面ABE.所以平面ABE平面B1BCC1.,(2)求證:C1F平面ABE;,(2)證明:取AB的中點(diǎn)G,連接EG,FG.因?yàn)镋,F分別是A1C1,BC的中點(diǎn),所以FGAC,且FG=AC.因?yàn)锳CA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1.所以四邊形FGEC1為平行四邊形,所以C1FEG.又因?yàn)镋G平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.,(3)求三棱錐E-ABC的體積.,題型三,線面垂直、面面垂直的綜合問題,【思考】如何作二面角的平面角?,提示:作二面角的三種常用方法:(1)定義法:在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖,則AOB為二面角-l-的平面角.,(2)垂直法:過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖,AOB為二面角-l-的平面角.(3)垂線法:過二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線,垂足為B,由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則AOB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖,AOB為二面角-l-的平面角.,【例3】如圖,在三棱錐P-ABC中,PA平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=2.(1)求證:平面PAB平面ABC;,(2)E為BA的延長線上一點(diǎn),若二面角P-EC-B的大小為30,求BE的長.,(2)解:如圖,取AB的中點(diǎn)F,連接PF.因?yàn)镻A=PB,所以PFAB.由(1)知平面PAB平面ABC,又平面PAB平面ABC=AB,PF平面PAB,所以PF平面ABC,PFEC.過F作FGEC于G,連接PG.因?yàn)镻FEC,PFFG=F,所以EC平面FPG.因?yàn)镻G平面FPG,所以ECPG.,(1)證明垂直關(guān)系時(shí)要注意利用線面垂直、線線垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化.(2)求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角,這就需要緊扣它的三個(gè)條件,即這個(gè)角的頂點(diǎn)是否在棱上;角的兩邊是否分別在兩個(gè)半平面內(nèi);這兩邊是否都與棱垂直.在具體作圖時(shí),還要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧,如:線面的垂直,圖形的對稱性,與棱垂直的面等.,方法技巧,即時(shí)訓(xùn)練3-1:如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點(diǎn),BE平面ABCD.(1)證明:平面AEC平面BED;,(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以ACBD.又BE平面ABCD,所以BEAC,又BDBE=B,所以AC平面BED,又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.,(2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為,求該三棱錐的側(cè)面積.,謝謝觀賞！,