高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題3 突破點7 用樣本估計總體 理

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突破點7　用樣本估計總體 提煉1 頻率分布直方圖 (1)頻率分布直方圖中橫坐標表示組距，縱坐標表示，頻率＝組距. (2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1. (3)利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)，在頻率分布直方圖中： ①最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)； ②中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的； ③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和. 提煉2 莖葉圖的優(yōu)點 (1)所有的信息都可以從莖葉圖中得到． (2)可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布情況. 提煉3 樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)． (2)樣本平均數(shù)＝(x1＋x2＋…＋xn)． (3)樣本方差s2＝(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． (4)樣本標準差 s＝. 回訪　用樣本估計總體 1．(2015全國卷Ⅱ節(jié)選)某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下： A地區(qū)：62　73　81　92　95　85　74　64　53 76 78　86　95　66　97　78　88　82　76 89 B地區(qū)：73　83　62　51　91　46　53　73　64 82 93　48　65　81　74　56　54　76　65 79 根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)； 圖71 解]　兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下： 2分 通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散. 4分 2．(2013全國卷Ⅱ)經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1 t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖72所示．經銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農產品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤． 圖72 (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X∈100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入100,110)的頻率)．求T的數(shù)學期望． 解]　(1)當X∈100,130)時， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 當X∈130,150]時， T＝500130＝65 000. 所以T＝4分 (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈120, 150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.7分 (3)依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 10分 所以E(T)＝45 0000.1＋53 0000.2＋61 0000.3＋65 0000.4＝59 400.12分 熱點題型1　頻率分布直方圖 題型分析：頻率分布直方圖多以生活中的實際問題為背景，考查學生運用已知數(shù)據(jù)分析問題的能力，難度中等. 　(2016合肥三模)某高中為了解全校學生每周參與體育運動的情況，隨機從全校學生中抽取100名學生，統(tǒng)計他們每周參與體育運動的時間如下： 每周參與運動的時間(單位：小時) 0,4) 4,8) 8,12) 12,16) 16,20] 頻數(shù) 24 40 28 6 2 (1)作出樣本的頻率分布直方圖； (2)①估計該校學生每周參與體育運動的時間的中位數(shù)及平均數(shù)； ②若該校有學生3 000人，根據(jù)以上抽樣調查數(shù)據(jù)，估計該校學生每周參與體育運動的時間不低于8小時的人數(shù)． 解]　(1)頻率分布直方圖如圖所示： (2)①由數(shù)據(jù)估計中位數(shù)為4＋4＝6.6，8分 估計平均數(shù)為20.24＋60.4＋100.28＋140.06＋180.02＝6.88.10分 ②將頻率看作概率知P(t≥8)＝0.36， ∴3 0000.36＝1 080.12分 解決該類問題的關鍵是正確理解已知數(shù)據(jù)的含義．掌握圖表中各個量的意義，通過圖表對已知數(shù)據(jù)進行分析． 提醒：(1)小長方形的面積表示頻率，其縱軸是，而不是頻率． (2)各組數(shù)據(jù)頻率之比等于對應小長方形的高度之比． 變式訓練1]　某電子商務公司隨機抽取1 000名網絡購物者進行調查．這1 000名購物者2015年網上購物金額(單位：萬元)均在區(qū)間0.3,0.9]內，樣本分組為：0.3,0.4)，0.4,0.5)，0.5,0.6)，0.6,0.7)，0.7,0.8)，0.8,0.9]，購物金額的頻率分布直方圖如下： 圖73 電子商務公司決定給購物者發(fā)放優(yōu)惠券，其金額(單位：元)與購物金額關系如下： 購物金額分組 0.3,0.5) 0.5,0.6) 0.6,0.8) 0.8,0.9] 發(fā)放金額 50 100 150 200 (1)求這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)； (2)以這1 000名購物者購物金額落在相應區(qū)間的頻率作為概率，求一個購物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率． 解]　(1)購物者的購物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表： x 0.3≤x<0.5 0.5≤x<0.6 0.6≤x<0.8 0.8≤x≤0.9 y 50 100 150 200 頻率 0.4 0.3 0.28 0.02 這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為： ＝96.4分 (2)由獲得優(yōu)惠券金額y與 購物金額x的對應關系，有 P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝(2＋0.8)0.1＝0.28， P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.20.1＝0.02，10分 從而，獲得優(yōu)惠券不少于150元的概率為 P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.12分 熱點題型2　莖葉圖 題型分析：結合樣本數(shù)據(jù)和莖葉圖對總體作出估計是高考命題的熱點，應引起足夠的重視，難度中等. 　(2016福州模擬)長時間用手機上網嚴重影響著學生的身體健康，某校為了解A，B兩班學生手機上網的時長，分別從這兩個班中隨機抽取5名同學進行調查，將他們平均每周手機上網的時長作為樣本，繪制成莖葉圖如圖74所示(圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字)． 圖74 (1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值，并據(jù)此估計哪個班的學生平均上網時間較長； (2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取一個不超過19的數(shù)據(jù)記為a，從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機提取一個不超過21的數(shù)據(jù)記為b，求a>b的概率． 解]　(1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(9＋11＋14＋20＋31)＝17.3分 由此估計A班學生每周平均上網時間17小時； B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(11＋12＋21＋25＋26)＝19， 由此估計B班學生每周平均上網時間較長.6分 (2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個，分別為9,11,14，B班的樣本數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個，分別為11,12,21，從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機抽取一個共有：9種不同情況，分別為(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,21)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)， 其中a>b的情況有(14,11)，(14,12)兩種， 故a>b的概率P＝.12分 作莖葉圖時先要弄清“莖”和“葉”分別代表什么，根據(jù)莖葉圖，可以得到數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)，也可從圖中直接估計出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小與穩(wěn)定性． 變式訓練2]　(名師押題)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表： (1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差； (2)以十位數(shù)為莖，個位數(shù)為葉，作出這20名工人年齡的莖葉圖； (3)求這20名工人年齡的方差． 解]　(1)由題表中的數(shù)據(jù)易知，這20名工人年齡的眾數(shù)是30，極差為40－19＝21.2分 (2)這20名工人年齡的莖葉圖如下： 6分 (3)這20名工人年齡的平均數(shù)＝(191＋283＋293＋305＋314＋323＋401)＝30，8分 故方差s2＝ 1(19－30)2＋3(28－30)2＋3(29－30)2＋5(30－30)2＋4(31－30)2＋3(32－30)2＋1(40－30)2]＝(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)＝12.6.12分