九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 21 一元二次方程教案 （新版）新人教版

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第二十一章　一元二次方程 1.了解一元二次方程及方程的解的概念. 2.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程. 3.會(huì)用一元二次方程根的判別式判斷方程根的情況. 4.了解一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系. 5.能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程,并利用一元二次方程模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 1.通過(guò)一元二次方程概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生對(duì)概念理解的完整性和深刻性. 2.通過(guò)對(duì)一元二次方程解法的探究,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生尋求簡(jiǎn)便方法的探索精神及創(chuàng)新意識(shí). 3.通過(guò)列一元二次方程解應(yīng)用題,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 1.在學(xué)習(xí)一元二次方程的過(guò)程中,讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)之間的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生愛(ài)數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)的興趣. 2.通過(guò)學(xué)習(xí)直接開(kāi)平方法、因式分解法解一元二次方程,向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用;通過(guò)對(duì)求根公式的推導(dǎo),向?qū)W生滲透分類(lèi)思想. 3.體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又應(yīng)用到生活,由可設(shè)未知數(shù)列方程向?qū)W生滲透方程的思想,由此培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí). 方程是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)內(nèi)容,在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位,一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程(組)的后繼學(xué)習(xí),本章在初中代數(shù)中占著非常重要的地位,起著承前啟后的作用,一方面對(duì)以前學(xué)過(guò)的一些內(nèi)容進(jìn)行綜合地應(yīng)用,如探究解方程的方法時(shí)開(kāi)平方、一元一次方程、完全平方公式、因式分解等知識(shí)都有應(yīng)用,另一方面,一元二次方程又是前邊所學(xué)知識(shí)的繼續(xù)和發(fā)展,是學(xué)好二次函數(shù)不可缺少的知識(shí),是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基工程. 本章主要讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程的模型思想,會(huì)解一元二次方程,解方程的基本思想是化歸思想,將“二次”方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)“一次”方程是解一元二次方程的基本方法.其中配方法是初中數(shù)學(xué)中的基本方法,通過(guò)對(duì)配方法的學(xué)習(xí),探究出一元二次方程的求根公式,然后讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,通過(guò)學(xué)習(xí)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí). 【重點(diǎn)】 1.一元二次方程及其有關(guān)的概念. 2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 3.建立一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題. 【難點(diǎn)】 1.用配方法解一元二次方程. 2.用公式法解一元二次方程. 3.一元二次方程根的判別式. 4.一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系. 5.建立一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題的. 1.一元二次方程是初中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)模型之一,通過(guò)建立一元二次方程模型解決實(shí)際問(wèn)題,可以使學(xué)生更深入地體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系,所以可從實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程的有關(guān)概念及其數(shù)學(xué)符號(hào)表示,讓學(xué)生用類(lèi)比思想理解并掌握一元二次方程的概念及其一般形式. 2.學(xué)生已經(jīng)具備了解一元二次方程的基本思想——化歸,即把方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程,教材由實(shí)際背景引入,建立一元二次方程模型,探究將二次降為一次的方法,轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.配方法是推導(dǎo)一元二次方程的求根公式的工具,引導(dǎo)學(xué)生用配方法導(dǎo)出求根公式,在推導(dǎo)求根公式的過(guò)程中,方程形式的不斷推廣,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的從特殊到一般的過(guò)程.教材探究一元二次方程解法的過(guò)程,對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力有很大幫助. 3.一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系的學(xué)習(xí),不僅為了一元二次方程理論的完整性,更重要的是初高中的銜接問(wèn)題,根據(jù)求根公式,探究一元二次方程兩根和與積分別與系數(shù)之間的關(guān)系,在教學(xué)活動(dòng)中,可以讓學(xué)生通過(guò)給出的幾個(gè)一元二次方程的根,探索發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系,最后通過(guò)求根公式去驗(yàn)證總結(jié),以此培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)思維能力. 4.數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,并應(yīng)用于生活中,數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān),應(yīng)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生分析其中的已知量、未知量及其等量關(guān)系,建立一元二次方程模型,得出方程的解,并檢驗(yàn)所得的結(jié)果是否符合實(shí)際,得出合乎實(shí)際的結(jié)果,讓學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的建模思想,逐步形成應(yīng)用意識(shí). 21.1一元二次方程 2課時(shí) 21.2 解一元二次方程 21.2.1配方法(2課時(shí)) 21.2.2公式法(1課時(shí)) 21.2.3因式分解法(1課時(shí)) 21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系(1課時(shí)) 5課時(shí) 21.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程 2課時(shí) 21.1　一元二次方程 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式,正確認(rèn)識(shí)二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng). 3.體會(huì)一元二次方程是刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)模型. 4.理解一元二次方程解的概念. 1.通過(guò)一元二次方程的引入,培養(yǎng)學(xué)生建模思想,歸納、分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力. 2.體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又回歸生活的理念. 3.由設(shè)未知數(shù)、列方程向?qū)W生滲透方程的思想,從而進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 1.培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)、自主學(xué)習(xí)和合作交流的意識(shí). 2.激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣,體會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的快樂(lè),培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí). 3.體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系. 【重點(diǎn)】 1.一元二次方程的概念及一般形式. 2.一元二次方程的解(根). 【難點(diǎn)】 1.正確識(shí)別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”. 2.由實(shí)際問(wèn)題列出一元二次方程. 第課時(shí) 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式,正確認(rèn)識(shí)二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng). 1.通過(guò)一元二次方程的引入,培養(yǎng)學(xué)生的建模思想,歸納、分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力. 2.體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又回歸生活的理念. 1.培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)、自主學(xué)習(xí)和合作交流的意識(shí). 2.激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣,體會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)的快樂(lè),培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí). 【重點(diǎn)】　一元二次方程的概念及其一般形式. 【難點(diǎn)】 1.由具體問(wèn)題抽象出一元二次方程. 2.正確識(shí)別一般式中的“項(xiàng)”及“系數(shù)”. 【教師準(zhǔn)備】　多媒體課件1~3. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)一元一次方程和二元一次方程的定義. 導(dǎo)入一: 請(qǐng)同學(xué)們閱讀章前問(wèn)題,并回答問(wèn)題. 要設(shè)計(jì)一座2 m高的人體雕塑,使雕塑的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比,等于下部與全部(全身)的高度比,雕塑的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高? 如圖所示,雕像的上部高度AC與下部高度BC應(yīng)有如下等量關(guān)系:AC∶BC=BC∶2,即BC2=2AC. 設(shè)雕塑下部高x m, 可得方程x2=2(2-x), 整理得x2+2x-4=0. 【問(wèn)題】　這個(gè)方程是不是我們以前學(xué)過(guò)的方程? [設(shè)計(jì)意圖]　幫助學(xué)生初步感知上述方程與以往學(xué)過(guò)的方程形式的不同,通過(guò)學(xué)生的好奇心激發(fā)本節(jié)課的學(xué)習(xí)欲望. 導(dǎo)入二: 觀察下列方程: (1)3x-5=0;(2)2x2+3x-2=0;(3)x+3y=0;(4)x2+(x+1)(x-1)=0. 哪些是我們學(xué)過(guò)的一元一次方程?其他方程與一元一次方程有什么不同? 【師生活動(dòng)】　復(fù)習(xí)方程、一元一次方程的概念、二元一次方程的概念. 【學(xué)生活動(dòng)】　小組合作交流:觀察新方程,分析元和次,嘗試為新方程定義. [設(shè)計(jì)意圖]　讓學(xué)生體會(huì)一元二次方程是刻畫(huà)某些實(shí)際問(wèn)題的模型,通過(guò)復(fù)習(xí)一元一次方程和二元一次方程的概念,讓學(xué)生用類(lèi)比的方法從已有的知識(shí)體系自然地構(gòu)建出新知識(shí). 導(dǎo)入三: 數(shù)字中有許多有趣而奇妙的現(xiàn)象,很多秘密等待著我們?nèi)ヌ剿靼l(fā)現(xiàn)!現(xiàn)在,我們先來(lái)做一個(gè)數(shù)字游戲:大家先計(jì)算出10,11,12三個(gè)數(shù)字的平方和,再計(jì)算出13和14的平方和,看看兩個(gè)平方和相等嗎?你還能找到五個(gè)連續(xù)整數(shù),使前三個(gè)數(shù)的平方和等于后兩個(gè)數(shù)的平方和嗎?試試看! 如果設(shè)中間的一個(gè)數(shù)為x,請(qǐng)根據(jù)這一問(wèn)題列出方程. [設(shè)計(jì)意圖]　本問(wèn)題可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)中的奧秘,激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望.學(xué)生通過(guò)設(shè)未知數(shù),尋找等量關(guān)系,初步認(rèn)識(shí)一元二次方程. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,生活中處處有數(shù)學(xué).我們一起探究下面的方程是怎樣的方程,看看是不是一元一次方程,或者是不是二元一次方程. 一、一元二次方程的定義 給出課本問(wèn)題1、問(wèn)題2的兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題,設(shè)未知數(shù),建立方程. 問(wèn)題1 【課件1】　如圖所示,有一塊矩形鐵皮,長(zhǎng)100 cm,寬50 cm,在它的四角各切去一個(gè)同樣的正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個(gè)無(wú)蓋方盒.如果要制作的無(wú)蓋方盒的底面積為3600 cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形? 教師引導(dǎo)學(xué)生思考并回答: 如果設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為x cm,那么盒底的長(zhǎng)是　　　　,寬是　　　　,根據(jù)方盒的底面積為3600 cm2,得　　　　　　　　. 整理,得　　　　　　　　. 化簡(jiǎn),得　　　　　　　　. 解:設(shè)切去的正方形的邊長(zhǎng)為x cm,那么盒底的長(zhǎng)是(100-2x)cm,寬是(50-2x)cm. 根據(jù)題意,得(100-2x)(50-2x)=3600. 整理,得4x2-300x+1400=0. 化簡(jiǎn),得x2-75x+350=0. 問(wèn)題2 【課件2】　要組織一次排球邀請(qǐng)賽,參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng),根據(jù)場(chǎng)地和時(shí)間等條件,賽程計(jì)劃安排7天,每天安排4場(chǎng)比賽,比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)隊(duì)參賽? 思路一 教師引導(dǎo)學(xué)生思考并回答: 全部比賽共有　　　　場(chǎng). 若設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽,則每個(gè)隊(duì)要與其他　　　　個(gè)隊(duì)各賽一場(chǎng),全部比賽共有　　　　 場(chǎng). 由此,我們可以列出方程　, 化簡(jiǎn)得　　　　　　　　. 【師生活動(dòng)】　設(shè)未知數(shù)、 根據(jù)題意列出方程,老師點(diǎn)評(píng)并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型,并整理. 解:設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽,則每個(gè)隊(duì)要與其他(x-1)個(gè)隊(duì)各賽一場(chǎng),全部比賽共有x(x-1)場(chǎng). 根據(jù)題意,得x(x-1)=47. 整理,得x2-x=28.化簡(jiǎn),得x2-x=56. 思路二 小組活動(dòng),共同探究,思考下列問(wèn)題. (1)分析題意,題中的已知條件是什么? (2)分析題意,題中的等量關(guān)系是什么? (3)如何設(shè)未知數(shù)?根據(jù)題中等量關(guān)系怎樣列方程? 【師生活動(dòng)】　教師在巡視過(guò)程中及時(shí)解決疑難問(wèn)題,學(xué)生討論后小組展示討論結(jié)果,教師及時(shí)補(bǔ)充. 解:設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x個(gè)隊(duì)參賽,則每個(gè)隊(duì)要與其他(x-1)個(gè)隊(duì)各賽一場(chǎng),全部比賽共有x(x-1)場(chǎng). 根據(jù)題意,得x(x-1)=47. 整理,得x2-x=28.化簡(jiǎn),得x2-x=56. [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)師生共同探討,找到實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系,列出方程,為引出一元二次方程的概念做鋪墊,同時(shí)可提高學(xué)生利用方程思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力. (教師板書(shū)導(dǎo)入一和課本問(wèn)題所列的三個(gè)方程) 請(qǐng)口答下面問(wèn)題. (1)上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)? (2)按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定,它們最高次數(shù)是幾? (3)方程兩邊都是整式嗎? 【學(xué)生活動(dòng)】　小組合作交流,類(lèi)比一元一次方程定義,嘗試給出一元二次方程的定義. 老師點(diǎn)評(píng):(1)都只含一個(gè)未知數(shù)x;(2)它們的最高次數(shù)都是2;(3)方程兩邊都是整式. 像這樣的方程,等號(hào)兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫做一元二次方程. [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)小組活動(dòng),學(xué)生通過(guò)類(lèi)比一元一次方程的定義得到一元二次方程的定義,從而達(dá)到真正理解定義的目的,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　我們了解了一元二次方程的概念,現(xiàn)在同學(xué)們比一比誰(shuí)理解得更透徹吧. 【課件3】　請(qǐng)搶答下列各式是否為一元二次方程. (1)4x2=81;　　(2)2(x2-1)=3y. 【師生活動(dòng)】　以搶答的形式來(lái)完成此題,并讓學(xué)生找出錯(cuò)誤理由.教師應(yīng)注意對(duì)學(xué)生給出的答案進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和歸納. [設(shè)計(jì)意圖]　進(jìn)一步強(qiáng)化一元二次方程的概念滿(mǎn)足的三個(gè)條件,采取搶答的形式,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性. [知識(shí)拓展]　判斷一個(gè)方程是一元二次方程需同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件:(1)是整式方程;(2)只含有一個(gè)未知數(shù);(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.同時(shí)要注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0. 二、一元二次方程的一般形式 【思考】　(1)類(lèi)比一元一次方程的一般形式,你能不能寫(xiě)出一元二次方程的一般形式? 一般地,任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,經(jīng)過(guò)整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).這種形式叫做一元二次方程的一般形式. 一個(gè)一元二次方程經(jīng)過(guò)整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng),b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng). (2)二次項(xiàng)系數(shù)為什么不能為0? 學(xué)生思考回答. [設(shè)計(jì)意圖]　讓學(xué)生自己概括一般形式是對(duì)一元二次方程另一個(gè)角度的理解,是對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的應(yīng)用能力的提升,同時(shí)通過(guò)思考強(qiáng)調(diào)一元二次方程概念中的易錯(cuò)點(diǎn). 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　我們已經(jīng)知道了一元二次方程的一般形式,試試我們能不能完成以下問(wèn)題. 　將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并寫(xiě)出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng). 〔解析〕　一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),因此,對(duì)方程3x(x-1)=5(x+2)必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理,包括去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)等. 解:去括號(hào),得3x2-3x=5x+10. 移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng),得一元二次方程的一般形式為3x2-8x-10=0. 其中二次項(xiàng)系數(shù)為3,一次項(xiàng)系數(shù)為-8,常數(shù)項(xiàng)為-10. [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)試一試,讓學(xué)生了解求一元二次方程的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)時(shí),需先化成一元二次方程一般形式再求解,同時(shí)加深對(duì)一元二次方程一般形式的理解. [知識(shí)拓展]　1.一元二次方程的一般形式的特點(diǎn)是方程的右邊為0,左邊是關(guān)于未知數(shù)的二次整式. 2.一元二次方程的項(xiàng)或系數(shù)是針對(duì)一元二次方程的一般形式而言的,所以寫(xiě)項(xiàng)或系數(shù)時(shí),要先化成一般形式,并且項(xiàng)或系數(shù)都包括前邊的符號(hào). 1.一元二次方程概念需要滿(mǎn)足三個(gè)條件: (1)是整式方程;(2)只含有一個(gè)未知數(shù);(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2. 2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),易錯(cuò)點(diǎn)是忽略強(qiáng)調(diào)a≠0. 3.確定一元二次方程的項(xiàng)與系數(shù)時(shí),一定先化成一般形式,書(shū)寫(xiě)時(shí)應(yīng)注意包括前邊的符號(hào). 1.在下列方程中,一元二次方程有 (　　) ①3x2+7=0;②ax2+bx+c=0;③(x-2)(x+5)=x2-1;④3x2- =0. A.1個(gè)　　B.2個(gè)　　C.3個(gè)　　D.4個(gè) 解析:一元二次方程必須滿(mǎn)足三個(gè)條件:(1)只含有一個(gè)未知數(shù);(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(3)是整式方程,同時(shí)注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0.①和④滿(mǎn)足這幾個(gè)條件,②中二次項(xiàng)系數(shù)可能為0,③化簡(jiǎn)后不含有二次項(xiàng),不符合定義.故選B. 2.方程3x2-3=2x+1的二次項(xiàng)系數(shù)為　　　　,一次項(xiàng)系數(shù)為　　　　,常數(shù)項(xiàng)為　　　　. 解析:通過(guò)移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng),化成一元二次方程的一般形式,為3x2-2x-4=0,所以二次項(xiàng)系數(shù)為3,一次項(xiàng)系數(shù)為-2,常數(shù)項(xiàng)為-4. 答案:3　-2　-4 3.若(m-2)=-3是關(guān)于x的一元二次方程,則m=　　　　. 解析:根據(jù)一元二次方程概念知未知數(shù)x的最高次數(shù)是2,且二次項(xiàng)系數(shù)不為0,所以m2-2=2,m-2≠0,解得m=-2.故填-2. 第1課時(shí) 一、一元二次方程的定義 只含有一個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程. 二、一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng),b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng). 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第4頁(yè)習(xí)題21.1的1,2題. 【選做題】 教材第4頁(yè)習(xí)題21.1的4,5,6題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.下列方程為一元二次方程的是 (　　) A.1-x2=0 B.2(x2-1)=3y C.-=0 D.(x-3)2=(x+3)2 2.若ax2-5x+3=0是一元二次方程,則不等式3a+6>0的解集是 (　　) A.a>-2　　　　　　　B.a<-2 C.a>-2且a≠0 D.a> 3.生物興趣小組的同學(xué),將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈(zèng)送一件,全組共互贈(zèng)了182件,如果全組有x名同學(xué),則根據(jù)題意列出的方程是(　　) A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182 C.2x(x+1)=182 D.x(x-1)=1822 4.方程2x2=3(x+6)化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為 (　　) A.2,3,-6 B.2,-3,-18 C.2,-3,6 D.2,3,6 5.把一元二次方程(x-2)(x+3)=1化為一般形式是　　　　　　　　　　. 6.若方程kx2+x=3x2+1是關(guān)于x的一元二次方程,則k的取值范圍是　　　　. 7.將下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng). (1)(2x-1)2=6; (2)3x2+5(2x+1)=0. 8.根據(jù)下列問(wèn)題,列出關(guān)于x的方程,并將其化成一元二次方程的一般形式. (1)有一個(gè)面積為54 m2的長(zhǎng)方形,將它的一邊剪短5 m,另一邊剪短2 m,恰好變成一個(gè)正方形,這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少? (2)三個(gè)連續(xù)整數(shù)兩兩相乘,再求和,結(jié)果為242,這三個(gè)數(shù)分別是多少? 9.求方程x2+3=2x-4的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的積. 【能力提升】 10.若關(guān)于x的方程(k2-4)x2+x+5=0是一元二次方程,求k的取值范圍. 11.若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常數(shù)項(xiàng)為0,求m的值. 12.當(dāng)m取何值時(shí),x2m-1+10x+m=0是關(guān)于x的一元二次方程? 13.求證:關(guān)于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不論m取何值,該方程都是一元二次方程. 【拓展探究】 14.已知關(guān)于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0. (1)x為何值時(shí),此方程是一元一次方程? (2)x為何值時(shí),此方程是一元二次方程?并寫(xiě)出一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng). 【答案與解析】 1.A(解析:B中含有兩個(gè)未知數(shù),C中方程不是整式方程,D中方程化簡(jiǎn)后不含有x的二次項(xiàng),只有A符合一元二次方程定義.故選A.) 2.C(解析:根據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0可得a≠0,解不等式得a>-2.故選C.) 3.B(解析:每名同學(xué)都贈(zèng)出(x-1)件,所以x名同學(xué)共贈(zèng)出x(x-1)件,根據(jù)題意可列方程為x(x-1)=182.故選B.) 4.B(解析:化簡(jiǎn)得2x2-3x-18=0,所以二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為2,-3,-18.故選B.) 5.x2+x-7=0(解析:根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則化簡(jiǎn)方程左邊,然后移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng),可得x2+x-7=0.) 6.k≠3(解析:根據(jù)一元二次方程的定義知一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0,所以k≠3.) 7.解:(1)4x2-4x-5=0,二次項(xiàng)系數(shù)為4,一次項(xiàng)系數(shù)為-4,常數(shù)項(xiàng)為-5.　(2)3x2+10x+5=0,二次項(xiàng)系數(shù)為3,一次項(xiàng)系數(shù)為10,常數(shù)項(xiàng)為5. 8.解:(1)設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x m,根據(jù)題意得(x+5)(x+2)=54,化簡(jiǎn)得x2+7x-44=0.　(2)設(shè)這三個(gè)連續(xù)整數(shù)為x-1,x,x+1,根據(jù)題意得x(x-1)+(x-1)(x+1)+x(x+1)=242,化簡(jiǎn)得3x2-243=0. 9.解:將方程化簡(jiǎn)可得x2-2x+7=0,所以二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)分別為,-2,7,所以(-2)7=-28. 10.解析:一元二次方程滿(mǎn)足二次項(xiàng)系數(shù)不為0,該題易忽略二次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù). 解:依題意得k2-4≠0,且k-1≥0,解得k≥1且k≠2. 11.解:由題意得解得m=-1. 12.解:由題意得2m-1=2,解得m=. 13.解析:要證明不論m取何值,該方程都是一元二次方程,只要證明m2-8m+17≠0即可. 證明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0,∴不論m取何值,該方程都是一元二次方程. 14.解析:本題是含有字母系數(shù)的方程問(wèn)題,根據(jù)一元一次方程和一元二次方程的定義,分別進(jìn)行討論求解. 解:(1)由題意得即m=1時(shí),關(guān)于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程.　(2)由題意得m2-1≠0,即m≠1時(shí),關(guān)于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程.此方程的二次項(xiàng)系數(shù)是m2-1,一次項(xiàng)系數(shù)是-(m+1),常數(shù)項(xiàng)是m. 因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程及相關(guān)概念,所以本節(jié)課主要采用啟發(fā)式、類(lèi)比法教學(xué).教學(xué)中力求體現(xiàn)“問(wèn)題情境—數(shù)學(xué)模型—概念歸納”的模式.但是由于學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程的能力有限,所以通過(guò)小組討論,共同探究,從具體的問(wèn)題情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)方程,從而突破難點(diǎn).讓學(xué)生在實(shí)際生活情境中,經(jīng)過(guò)自主探索和合作交流的學(xué)習(xí)過(guò)程,產(chǎn)生積極的情感體驗(yàn),進(jìn)而創(chuàng)造性地解決問(wèn)題,有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升. 在教學(xué)過(guò)程中,小組合作交流還存在個(gè)別學(xué)生參與意識(shí)不強(qiáng)的現(xiàn)象,有些問(wèn)題教師引導(dǎo)不到位,比如根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型,通過(guò)題意不能找到等量關(guān)系時(shí),沒(méi)有很好地幫助學(xué)生提高分析問(wèn)題的能力,再如問(wèn)題2中排球賽問(wèn)題,學(xué)生對(duì)尋找題中的等量關(guān)系遇到了困難,不能理解為什么除以2,遇到問(wèn)題時(shí)給學(xué)生思考時(shí)間較短. 學(xué)生為了解決實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行小組合作交流時(shí),教師應(yīng)給足夠的時(shí)間進(jìn)行探究,讓學(xué)生更好地體會(huì)建模思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,對(duì)于學(xué)生的發(fā)言,給予充分的肯定,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情,真正讓學(xué)生在課堂上動(dòng)起來(lái).同時(shí)應(yīng)該注重學(xué)生能力的培養(yǎng),在引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題時(shí)設(shè)計(jì)出更有價(jià)值的問(wèn)題. 練習(xí)(教材第4頁(yè)) 1.解:(1)5x2-4x-1=0,二次項(xiàng)系數(shù)為5,一次項(xiàng)系數(shù)為-4,常數(shù)項(xiàng)為-1.　(2)4x2-81=0,二次項(xiàng)系數(shù)為4,一次項(xiàng)系數(shù)為0,常數(shù)項(xiàng)為-81.　(3)4x2+8x-25=0,二次項(xiàng)系數(shù)為4,一次項(xiàng)系數(shù)為8,常數(shù)項(xiàng)為-25.　(4)3x2-7x+1=0,二次項(xiàng)系數(shù)為3,一次項(xiàng)系數(shù)為-7,常數(shù)項(xiàng)為1. 2.解:(1)4x2=25,4x2-25=0.　(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.　(3)x1=(1-x)2,x2-3x+1=0.　 (1)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又應(yīng)用到生活中去,所以以不同的生活情境問(wèn)題導(dǎo)入新課,通過(guò)分析題意,構(gòu)建方程模型,讓學(xué)生掌握利用方程解決問(wèn)題的方法,既突破了本節(jié)課的難點(diǎn),又很自然地引出了本節(jié)課的重點(diǎn). (2)類(lèi)比方法是數(shù)學(xué)中重要的方法,所以本節(jié)課類(lèi)比以前學(xué)過(guò)的一元一次方程的有關(guān)概念,讓學(xué)生通過(guò)自主學(xué)習(xí),共同探究,很自然地突破了重難點(diǎn). (3)本節(jié)課重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)的掌握通過(guò)不同的形式的練習(xí)加以鞏固,讓學(xué)生積極參與,培養(yǎng)競(jìng)爭(zhēng)意識(shí),激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)教師隨時(shí)注意學(xué)生們出現(xiàn)的問(wèn)題,及時(shí)引導(dǎo)和反饋,使學(xué)生在快樂(lè)中掌握知識(shí). 　已知關(guān)于x的方程(2k+1)x2-4kx+(k-1)=0. (1)當(dāng)k為何值時(shí),此方程是一元一次方程?求出這個(gè)一元一次方程的根. (2)當(dāng)k為何值時(shí),此方程是一元二次方程?并寫(xiě)出這個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng). 〔解析〕　(1)一元一次方程中不含有二次項(xiàng),所以二次項(xiàng)系數(shù)為0.(2)一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)不為0. 〔答案〕　(1)k=-,x=. (2)k≠-;二次項(xiàng)系數(shù)為2k+1,一次項(xiàng)系數(shù)為-4k,常數(shù)項(xiàng)為k-1. 第課時(shí) 1.了解一元二次方程根的概念. 2.會(huì)判定一個(gè)數(shù)是否為一個(gè)一元二次方程的根,以及利用它們解決一些具體問(wèn)題. 3.理解方程的解在實(shí)際問(wèn)題中的意義. 1.通過(guò)觀察歸納一元二次方程根的概念,培養(yǎng)學(xué)生歸納、分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力. 2.應(yīng)用一元二次方程根的定義計(jì)算,體會(huì)整體思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力. 1.培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)、自主學(xué)習(xí)和合作交流的意識(shí). 2.體驗(yàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、又應(yīng)用于生活中,理解知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系. 【重點(diǎn)】　判定一個(gè)數(shù)是否為方程的根. 【難點(diǎn)】　由實(shí)際問(wèn)題列出的一元二次方程解出根后,檢驗(yàn)根是否符合實(shí)際問(wèn)題. 【教師準(zhǔn)備】　多媒體課件1和課件2. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)一元二次方程的定義. 導(dǎo)入一: 根據(jù)下列問(wèn)題,列出關(guān)于x的方程,并將所列方程化成一般形式. 一個(gè)面積為48 m2的矩形苗圃,它的長(zhǎng)比寬多2 m,苗圃的寬為x m. 【學(xué)生活動(dòng)】　分析等量關(guān)系,列出方程x(x+2)=48,化成一般形式為x2+2x-48=0. 根據(jù)所列的方程將表格填完整. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … x2+2x-48 　　【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立填空,口答結(jié)果,教師點(diǎn)評(píng)結(jié)果. 導(dǎo)入二: 把x=1,2,0,分別代入一元二次方程3x2=2x中,哪些數(shù)可以使方程左右兩邊相等? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考計(jì)算,獨(dú)立回答問(wèn)題,老師點(diǎn)評(píng). [設(shè)計(jì)意圖]　從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程數(shù)學(xué)模型,既復(fù)習(xí)了上節(jié)課內(nèi)容,又利于對(duì)本節(jié)課新知識(shí)的接受,同時(shí)通過(guò)計(jì)算從已有的舊知識(shí)很自然地構(gòu)建新知識(shí). 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　通過(guò)上邊的計(jì)算,x的值與方程有什么樣的關(guān)系呢?讓我們一起走進(jìn)今天的知識(shí)殿堂. 一、一元二次方程的根 思路一 問(wèn)題:(1)觀察導(dǎo)入一所填表格,x取什么值時(shí),代數(shù)式x2+2x-48的值為0? (2)通過(guò)表格可得方程x2+2x-48=0(x>0)的解是什么? (3)下列數(shù):1,2,0,,哪些是方程3x2=2x的解? 〔答案〕　(1)x=6時(shí),代數(shù)式x2+2x-48的值為0. (2)方程x2+2x-48=0(x>0)的解是x=6. (3)0,. 【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考后,教師引導(dǎo)學(xué)生回答,并及時(shí)補(bǔ)充. 使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 思路二 【學(xué)生活動(dòng)】　思考并回答:什么是一元一次方程的解? 教師及時(shí)補(bǔ)充. 自主學(xué)習(xí)課本第3頁(yè),小組討論交流,并回答以下問(wèn)題: (1)什么是一元二次方程的根? 【課件1】　使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 思考:一元二次方程的根是不是唯一的? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考回答,教師點(diǎn)評(píng). [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)教師的引導(dǎo)(思路一),或自主學(xué)習(xí)后小組討論交流(思路二),讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程,達(dá)到真正理解和掌握概念,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和分析問(wèn)題的能力. (2)導(dǎo)入中的兩個(gè)方程x2+2x-48=0(x>0),3x2=2x的根是什么? 〔答案〕　x=6;x=0或x=. 二、練習(xí)鞏固 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　我們了解了什么是一元二次方程的根的概念,請(qǐng)回答下列問(wèn)題. (1)下面哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考計(jì)算后,以搶答形式回答問(wèn)題,并說(shuō)明理由.教師及時(shí)對(duì)學(xué)生給出的答案和理由做出評(píng)價(jià). 解:把這些數(shù)分別代入方程,使方程左右兩邊相等的數(shù)是方程的根.-4,3是方程的根. [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)該練習(xí),進(jìn)一步強(qiáng)化一元二次方程的根的概念,采取搶答的形式,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí). (2)李明在寫(xiě)作業(yè)時(shí),一不小心,把方程5x2+■x-3=0的一次項(xiàng)的系數(shù)用墨水覆蓋住了,但知道方程的一個(gè)根是x=-2,請(qǐng)你幫助李明求出覆蓋的系數(shù). 解:設(shè)覆蓋的系數(shù)為a. 把x=-2代入方程可得5(-2)2+(-2)a-3=0, 即20-2a-3=0,解得a=. ∴覆蓋的系數(shù)為. (3)若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一個(gè)解是x=1,求2014-a-b的值. 解:把x=1代入方程可得a+b+5=0, ∴a+b=-5, ∴2014-a-b=2014-(a+b)=2014-(-5) =2014+5=2019. 【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考后,小組討論交流,學(xué)生板書(shū)解題過(guò)程,教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)后,引導(dǎo)學(xué)生歸納:已知方程的根時(shí),常采用的解題思路是什么?(把方程的根代入方程,使方程左右兩邊相等,求出待定系數(shù)的值,注意整體思想在解題中的應(yīng)用.) [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)小組討論,加深對(duì)一元二次方程的根的概念的理解,培養(yǎng)學(xué)生合作意識(shí)和歸納總結(jié)能力.課件展示練習(xí)(2)(3)的解答過(guò)程,強(qiáng)化學(xué)生書(shū)寫(xiě)的嚴(yán)謹(jǐn)性,培養(yǎng)學(xué)生整體思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)生活中處處有數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活中. [知識(shí)拓展]　1.判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的根的方法:將這個(gè)數(shù)代入一元二次方程,如果方程左右兩邊相等,那么該數(shù)是方程的根;如果方程左右兩邊不相等,那么該數(shù)不是方程的根. 2.已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右兩邊相等,可以求待定系數(shù)的值. 【課件2】 1.一元二次方程的根的概念 使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.判定一個(gè)數(shù)是不是某個(gè)一元二次方程的根時(shí),把這個(gè)數(shù)代入方程,滿(mǎn)足方程的數(shù)就是方程的根,不滿(mǎn)足方程的數(shù)就不是方程的根. 3.已知一元二次方程的根,求某個(gè)待定系數(shù)的值時(shí),將方程的根代入方程求解. 1.以-2為根的一元二次方程可能是 (　　) A.x2+2x-2=0　　　B.x2-x-2=0 C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0 解析:把x=-2分別代入各方程,使得方程x2+x-2=0 左右兩邊相等.故選D. 2.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一個(gè)解,則m的值是 (　　) A.-3　　　B.3　　　C.0　　　D.0或3 解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3.故選A. 3.已知m是方程x2-x-2=0的一個(gè)根,則代數(shù)式m2-m的值等于 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:把x=m代入方程可得m2-m-2=0,所以m2-m=2.故選D. 4.已知實(shí)數(shù)a,b(a≠b)滿(mǎn)足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,則關(guān)于一元二次方程x2-3x+1=0的根的說(shuō)法中正確的是 (　　) A.x=a,x=b都不是該方程的解 B.x=a是該方程的解,x=b不是該方程的解 C.x=b是該方程的解,x=a不是該方程的解 D.x=a,x=b都是該方程的解 解析:根據(jù)已知條件,當(dāng)x=a,x=b時(shí)a2-3a+1=0,b2-3b+1=0成立,所以x=a,x=b都是方程x2-3x+1=0的解.故選D. 5.已知方程x2+bx+a=0有一個(gè)根是-a(a≠0),則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是 (　　) A.ab B. C.a+b D.a-b 解析:把x=-a代入方程可得(-a)2-ab+a=0,即a2-ab+a=0,所以a(a-b+1)=0,因?yàn)閍≠0,所以a-b+1=0,所以a-b=-1是常數(shù).故選D. 第2課時(shí) 一、一元二次方程的根 二、練習(xí)鞏固 (1)?　? (2)?　? (3)?　? 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第4頁(yè)習(xí)題21.1的3題. 【選做題】 教材第4頁(yè)習(xí)題21.1的7題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.方程x(x-1)=2的兩根為 (　　) A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2 2.已知x=1是方程x2-2mx+1=0的根,則m的值是 (　　) A.1 B.0 C.0或1 D.0或-1 3.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根,則等于 (　　) A.1 B.-1 C.0 D.2 4.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一個(gè)根為1,一個(gè)根為-1,則a+b+c=　　　　,a-b+c=　　　　. 5.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個(gè)根,則代數(shù)式a2+b2+2ab的值是　　　　. 6.關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一個(gè)根為0,則a的值是　　　　. 7.若x=1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根,求代數(shù)式2014(a+b+c)的值. 【能力提升】 8.已知x=2是關(guān)于x的方程x2-2a=0的一個(gè)解,則一次函數(shù)y=ax-1的圖象不經(jīng)過(guò)第　　　　象限. 9.如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之和等于一次項(xiàng)系數(shù),求證-1必是該方程的一個(gè)根. 10.已知m,n都是方程x2+2013x-2014=0的根,試求代數(shù)式(m2+2013m-2013)(n2+2013n+2013)的值. 【拓展探究】 11.已知方程x2-5x+5=0的一個(gè)根為m,求m+的值. 【答案與解析】 1.D(解析:把x=0,x=1分別代入方程,可得左邊=0,右邊=2,則左邊≠右邊,所以A,B,C錯(cuò)誤;把x=-1,x=2分別代入方程,可得方程左右兩邊相等.故選D.) 2.A(解析:把x=1代入方程可得1-2m+1=0,解得m=1.故選A.) 3.A(解析:把x=-1代入方程可得a-b+c=0,∴a+c=b,∴==1.故選A.) 4.0　0(解析:把x=1代入方程可得a+b+c=0,把x=-1代入方程可得a-b+c=0.) 5.1(解析:把x=1代入方程可得1+a+b=0,∴a+b=-1,∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.故填1.) 6.-2(解析:把x=0代入方程可得a2-4=0,∴a2=4,∴a=2,又a-2≠0,∴a=-2.故填-2.) 7.解:將x=1代入ax2+bx+c=0,得a+b+c=0,所以2014(a+b+c)=0. 8.二(解析:把x=2代入方程可得a=3,所以一次函數(shù)的解析式為y=3x-1,則該一次函數(shù)圖象過(guò)第一、三、四象限.故填二.) 9.證明:根據(jù)題意,得a+c=b,即a-b+c=0.當(dāng)x=-1時(shí),ax2+bx+c=a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=0,∴-1必是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根. 10.解:∵m,n都是方程x2+2013x-2014=0的根,∴m2+2013m-2014=0,n2+2013n-2014=0,∴m2+2013m=2014,n2+2013n=2014,∴(m2+2013m-2013)(n2+2013n+2013)=(2014-2013)(2014+2013)=4027. 11.解:∵方程x2-5x+5=0的一個(gè)根是m,∴m2-5m+5=0,∴m2+5=5m,∴m+===5. 本節(jié)課學(xué)習(xí)了一元二次方程的根的概念,類(lèi)比一元一次方程的根的概念,通過(guò)自主學(xué)習(xí)、小組交流、共同歸納、練習(xí)檢測(cè)等環(huán)節(jié)讓學(xué)生在愉悅的課堂上掌握了本節(jié)課的重點(diǎn),學(xué)生在課堂中發(fā)揮主體作用,讓數(shù)學(xué)課堂有了生命力.在本節(jié)課,大多數(shù)學(xué)生能體驗(yàn)成功的快樂(lè),激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.在練習(xí)的設(shè)計(jì)上,由簡(jiǎn)單的判斷是不是一元二次方程的根,深入到解決實(shí)際問(wèn)題,學(xué)生經(jīng)歷由淺入深、由易到難的過(guò)程,提高了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,同時(shí)滲透了整體思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力得到提高. 本節(jié)課內(nèi)容較為簡(jiǎn)單,雖采取了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、共同探究的方法,但是還是沒(méi)有放開(kāi)手腳,教師還是急于解決下邊的問(wèn)題,給學(xué)生思考、交流的時(shí)間還不是很充足,應(yīng)該把課堂大膽交給學(xué)生,讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程,加深對(duì)知識(shí)的理解和掌握.另外課堂氣氛雖然很活躍,但是有部分學(xué)生面對(duì)稍有難度的題目時(shí),沒(méi)有解決問(wèn)題的思路,所以在以后的教學(xué)中,應(yīng)更加注重中下游學(xué)生解決問(wèn)題的能力. 本章內(nèi)容的難點(diǎn)為一元二次方程的應(yīng)用,教材設(shè)計(jì)上幾乎每個(gè)課時(shí)都安排了與生活息息相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.本節(jié)課內(nèi)容較為簡(jiǎn)單,在設(shè)計(jì)上注重與實(shí)際問(wèn)題有關(guān)的題目,逐步培養(yǎng)學(xué)生的建模思想,為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊.此外,在練習(xí)中多設(shè)計(jì)與學(xué)過(guò)的知識(shí)有聯(lián)系的題目,如將完全平方公式、因式分解、代數(shù)式的化簡(jiǎn)等與一元二次方程的根結(jié)合,并重視整體思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用,使學(xué)生的發(fā)散思維得到提升. 習(xí)題21.1(教材第4頁(yè)) 1.解:(1)3x2-6x+1=0,二次項(xiàng)系數(shù)為3,一次項(xiàng)系數(shù)為-6,常數(shù)項(xiàng)為1.　(2)4x2+5x-81=0,二次項(xiàng)系數(shù)為4,一次項(xiàng)系數(shù)為5,常數(shù)項(xiàng)為-81.　(3)x2+5x=0,二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為5,常數(shù)項(xiàng)為0.　(4)2x2-4x+2=0,二次項(xiàng)系數(shù)為2,一次項(xiàng)系數(shù)為-4,常數(shù)項(xiàng)為2.　(5)x2+10=0,二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為0,常數(shù)項(xiàng)為10. (6)x2+2x-2=0,二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為2,常數(shù)項(xiàng)為-2. 2.解:(1)設(shè)這個(gè)圓的半徑為R m,由圓的面積公式得πR2=2π,∴πR2-2π=0.　(2)設(shè)這個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為x cm,由直角三角形的面 積公式得x(x-3)=9,∴x2-3x-18=0. 3.解:-4,3是方程x2+x-12=0的根. 4.解:設(shè)矩形的寬為x cm,則矩形的長(zhǎng)為(x+1)cm,由題意得x(x+1)=132,即x2+x-132=0. 5.解:設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m,則矩形的寬為(0.5-x)m,由矩形的面積公式得x(0.5-x)=0.06,∴x2-0.5x+0.06=0. 6.解:設(shè)有n人參加聚會(huì),根據(jù)題意可知(n-1)+(n-2)+…+2+1=10,即=10,∴n2-n-20=0. 7.解:由題意可知22-c=0,∴c=4,∴原方程為x2-4=0,∴x=2,∴這個(gè)方程的另一個(gè)根為-2. 1.一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要模型,它與生活實(shí)際息息相關(guān),所以以生活實(shí)際問(wèn)題為背景導(dǎo)入新課,建立一元二次方程模型,體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,又應(yīng)用到生活中去,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,降低學(xué)習(xí)難度. 2.由于前邊學(xué)習(xí)了一元一次方程的根的概念,所以本節(jié)課的難點(diǎn)易于突破,應(yīng)用數(shù)學(xué)中的類(lèi)比方法,復(fù)習(xí)一元一次方程的根的概念后,通過(guò)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組交流方式探究新知識(shí),重難點(diǎn)基本能夠解決,教師適時(shí)點(diǎn)撥即可讓學(xué)生掌握重難點(diǎn). 3.整體思想及學(xué)過(guò)的知識(shí)與本節(jié)課的重點(diǎn)結(jié)合成為了本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn),在習(xí)題的設(shè)計(jì)上要難易適中,有適當(dāng)?shù)奶荻?尊重學(xué)生差異,教師對(duì)思考有困難的學(xué)生多關(guān)注,培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的提升. 　已知實(shí)數(shù)m是方程x2+x-1=0的一個(gè)根,求代數(shù)式m3+2m2+2014的值. 〔解析〕　因?yàn)閙是方程x2+x-1=0的根,所以m2+m-1=0,求出m2+m=1,把m3+2m2+2014化簡(jiǎn),利用整體代入法將m2+m=1代入求值,注意化簡(jiǎn)時(shí)拆項(xiàng)、部分項(xiàng)提公因式. 解:∵m是方程x2+x-1=0的根, ∴m2+m-1=0,∴m2+m=1, ∴m3+2m2+2014=m(m2+m)+m2+2014 =m+m2+2014=1+2014=2015. 21.2　解一元二次方程 1.能用解一元二次方程的四種方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程. 2.會(huì)根據(jù)方程的不同特點(diǎn),靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠? 3.不解方程,會(huì)判斷一元二次方程根的情況. 4.能利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題,增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力. 1.探究一元二次方程的解法過(guò)程中,體會(huì)轉(zhuǎn)化、降次、分類(lèi)等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 2.使學(xué)生參與對(duì)一元二次方程解法的探索,體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生觀察和總結(jié)的能力,發(fā)展數(shù)學(xué)思維. 　　3.通過(guò)正確、熟練地解一元二次方程,提高學(xué)生的綜合運(yùn)算能力. 1.通過(guò)師生的共同活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生積極參與、主動(dòng)探索的精神,發(fā)展學(xué)生合作意識(shí). 2.通過(guò)對(duì)一元二次方程解法的探究,感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)和合情推理能力. 3.由生活實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程,增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 【重點(diǎn)】 1.利用四種方法解一元二次方程. 2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系. 【難點(diǎn)】　選擇靈活的方法解一元二次方程. 21.2.1　配方法 1.會(huì)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程. 2.理解并掌握用配方法解簡(jiǎn)單的一元二次方程. 1.體會(huì)轉(zhuǎn)化、降次等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生基本的運(yùn)算技巧和能力. 2.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析、綜合等能力,會(huì)應(yīng)用學(xué)過(guò)的知識(shí)去解決新的問(wèn)題. 1.鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)地參與知識(shí)的形成過(guò)程,激發(fā)求知的欲望,體驗(yàn)成功的快樂(lè),增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣和自信心. 2.通過(guò)用配方法將一元二次方程變形的過(guò)程,讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法,并增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 【重點(diǎn)】　運(yùn)用直接開(kāi)平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程. 【難點(diǎn)】 1.一元二次方程根的確定. 2.判斷一個(gè)方程是否適合用直接開(kāi)平方的方法求解. 第課時(shí) 1.使學(xué)生理解直接開(kāi)平方法的定義和基本思想. 2.會(huì)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程. 3.知道形如(x+n)2=p(p≥0)的方程可以用直接開(kāi)平方法求解. 1.體會(huì)轉(zhuǎn)化、降次等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生基本的運(yùn)算技巧和能力. 2.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析、綜合等能力,會(huì)應(yīng)用學(xué)過(guò)的知識(shí)去解決新的問(wèn)題. 1.培養(yǎng)學(xué)生積極參與、主動(dòng)探索的精神,發(fā)展學(xué)生合作意識(shí). 2.鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)地參與知識(shí)的形成過(guò)程,激發(fā)求知的欲望,體驗(yàn)成功的快樂(lè),增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣和自信心. 【重點(diǎn)】　運(yùn)用直接開(kāi)平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程. 【難點(diǎn)】　如何識(shí)別一個(gè)一元二次方程可以用直接開(kāi)平方法求解. 【教師準(zhǔn)備】　預(yù)想學(xué)生在解方程過(guò)程中容易出現(xiàn)的問(wèn)題. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)一元二次方程根的定義. 導(dǎo)入一: 有這樣一首詩(shī):一群猴子分兩隊(duì),高高興興在游戲.八分之一再平方,蹦蹦跳跳樹(shù)林里;其余十二嘰喳喳,伶俐活潑又調(diào)皮.告我總數(shù)共多少,兩隊(duì)猴子在一起? 學(xué)生列出方程,并思考怎樣解這個(gè)一元二次方程,教師引出課題. 導(dǎo)入二: (1)什么是一個(gè)數(shù)的平方根?平方根有哪些性質(zhì)? (2)計(jì)算: 9的平方根是　　　　,的平方根是　　　　. (3)如果x2=36,那么x的值是　　　　. 【師生活動(dòng)】　共同復(fù)習(xí)平方根的概念和性質(zhì). [設(shè)計(jì)意圖]　由實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)入新課,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,同時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生分析解決問(wèn)題,為以后學(xué)習(xí)一元二次方程的應(yīng)用打下基礎(chǔ).通過(guò)復(fù)習(xí)平方根的概念和性質(zhì),讓學(xué)生很自然地應(yīng)用舊知識(shí)解決新問(wèn)題. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　我們復(fù)習(xí)了平方根的定義,根據(jù)平方根的定義可以解某些特殊的一元二次方程,讓我們嘗試解這些方程吧! 一、例題講解 (教材問(wèn)題1)一桶油漆可刷的面積為1500 dm2,李林用這桶油漆恰好刷完10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱長(zhǎng)嗎? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考,教師引導(dǎo)回答下列問(wèn)題. (1)設(shè)其中一個(gè)盒子的棱長(zhǎng)為x dm,則這個(gè)盒子的表面積為　　　　dm2; (2)據(jù)題意可得等量關(guān)系為　　　　　　　　; (3)根據(jù)等量關(guān)系可列方程　　　　　　　　; (4)化簡(jiǎn)可得　　　　　　　　. 【學(xué)生活動(dòng)】　小組交流討論如何解這個(gè)方程,學(xué)生回答問(wèn)題后,教師及時(shí)補(bǔ)充. 解:設(shè)其中一個(gè)盒子的棱長(zhǎng)為x dm,則這個(gè)盒子的表面積為6x2 dm2. 根據(jù)題意,得106x2=1500,整理,得x2=25. 根據(jù)平方根的意義,得x=5. 即x1=5,x2=-5(不合題意,舍去). 答:其中一個(gè)盒子的棱長(zhǎng)為5 dm. 問(wèn)題思考:x=5都是方程x2=25的根,在這里為什么舍去一個(gè)根?(棱長(zhǎng)不能為負(fù)數(shù),所以正方體盒子的棱長(zhǎng)為5 dm.) 二、共同探究1　直接開(kāi)平方法 1.例解方程 解下列方程. (1)x2=4;　(2)x2-2=0. 【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考回答,教師規(guī)范書(shū)寫(xiě). 解:(1)根據(jù)平方根的意義得x=2, ∴x1=2,x2=-2. (2)移項(xiàng)得x2=2,∴x=, ∴ x1=,x2 =-. [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)簡(jiǎn)單例題,探究利用平方根的意義解一元二次方程的方法,學(xué)生做好新舊知識(shí)銜接的同時(shí),易于理解和掌握本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn),教師板書(shū)解答過(guò)程,達(dá)到規(guī)范學(xué)生做題習(xí)慣的目的. 2.歸納概念 通過(guò)直接將某一個(gè)數(shù)開(kāi)平方解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法. 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　我們知道了直接開(kāi)平方法解一元二次方程方程的定義,讓我們比一比看誰(shuí)算得快吧! 3.即時(shí)鞏固 解下列方程.(搶答) (1)x2=9;　　(2)9x2-144=0. 【師生活動(dòng)】　學(xué)生獨(dú)立思考計(jì)算后,進(jìn)行搶答,教師對(duì)學(xué)生的成果點(diǎn)評(píng). 解:(1)根據(jù)平方根的意義,得x=3, ∴x1=3,x2=-3. (2)移項(xiàng),得9x2=144,系數(shù)化為1,得x2=16, 根據(jù)平方根的意義,得x=4, ∴x1=4,x2=-4. [設(shè)計(jì)意圖]　設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單的練習(xí),鞏固直接開(kāi)平方法的應(yīng)用,以搶答形式回答,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí). 4.總結(jié)歸納 一般地,對(duì)于方程x2=p: (1)當(dāng)p>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1=,x2=-; (2)當(dāng)p=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=0; (3)當(dāng)p<0時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根. [設(shè)計(jì)意圖]　師生共同探究,得出一般結(jié)論,達(dá)到真正理解和掌握直接開(kāi)平方法解方程的目的,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力. 三、共同探究2　解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程 　　[過(guò)渡語(yǔ)]　通過(guò)上邊的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)會(huì)解形如x2=p的方程,如果我們給這樣的方程進(jìn)行變化,同學(xué)們又該如何求出方程的解呢? 解下列方程. (1)(x+3)2=5;　(2)4(x+3)2=5. 思路一 教師引導(dǎo)分析方程特點(diǎn),方程(1)中,把x+3看作整體,用直接開(kāi)平方法,將方程化為x+3=,即x+3=或x+3=-,達(dá)到降次的目的,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程求解. 方程(2)中,也把x+3看作整體,兩邊同時(shí)除以4,方程化為(x+3)2=,仿照方程(1)的解法可直接開(kāi)平方求解. 思路二 思考:方程有什么特點(diǎn)?是不是形如x2=p的方程?如果不是,能不能化成這種形式? 教師提出問(wèn)題,學(xué)生針對(duì)問(wèn)題進(jìn)行小組討論交流,共同探究,教師在巡視過(guò)程中針對(duì)學(xué)生遇到的困難給予提示,即整體思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 解:(1)直接開(kāi)平方,得x+3=, 即x+3=或x+3=-, ∴方程的根為x1=-3+,x2=-3-. (2)兩邊同時(shí)除以4,得(x+3)2=, 即x+3=或x+3=-, ∴方程的根為x1=-3+,x2=-3-. [設(shè)計(jì)意圖]　通過(guò)給學(xué)過(guò)的方程“穿衣服”,激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)新知識(shí)的樂(lè)趣,方程層層遞進(jìn)的變化,讓學(xué)生在熟悉的知識(shí)中易于理解和掌握新知識(shí),同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生用整體思想思考問(wèn)題的意識(shí). 歸納總結(jié): (1)通過(guò)上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考,教師提示:由方程(x+3)2=5,到方程x+3=或x+3=-,方程的次數(shù)有什么變化?將新知識(shí)化成原來(lái)學(xué)過(guò)的知識(shí),是數(shù)學(xué)中常用的轉(zhuǎn)化思想. “降次”是解一元二次方程的基本策略,直接開(kāi)平方法是根據(jù)平方根的意義,把一個(gè)一元二次方程“降次”,達(dá)到轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程的目的. (2)能用直接開(kāi)平方法解的一元二次方程有什么特點(diǎn)?方程的解是什么? 【師生活動(dòng)】　學(xué)生思考,小組討論,歸納總結(jié). 如果一個(gè)一元二次方程具有(x+n)2=p(p≥0)的形式,那么就可以用直接開(kāi)平方法求解,方程的解為x1=-n-,x2=-n+. (3)用直接開(kāi)平方法解一元二次方程的一般步驟