九年級數(shù)學(xué)上冊 21 一元二次方程教案 （新版）新人教版

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第二十一章　一元二次方程 1.了解一元二次方程及方程的解的概念. 2.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程. 3.會用一元二次方程根的判別式判斷方程根的情況. 4.了解一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系. 5.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程,并利用一元二次方程模型解決簡單的實際問題. 1.通過一元二次方程概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生對概念理解的完整性和深刻性. 2.通過對一元二次方程解法的探究,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴密性及嚴謹性,同時培養(yǎng)學(xué)生尋求簡便方法的探索精神及創(chuàng)新意識. 3.通過列一元二次方程解應(yīng)用題,進一步培養(yǎng)學(xué)生化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 1.在學(xué)習(xí)一元二次方程的過程中,讓學(xué)生體驗知識之間的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生愛數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)的興趣. 2.通過學(xué)習(xí)直接開平方法、因式分解法解一元二次方程,向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想在研究數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用;通過對求根公式的推導(dǎo),向?qū)W生滲透分類思想. 3.體會數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用到生活,由可設(shè)未知數(shù)列方程向?qū)W生滲透方程的思想,由此培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識. 方程是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)內(nèi)容,在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位,一元二次方程是一元一次方程、二元一次方程(組)的后繼學(xué)習(xí),本章在初中代數(shù)中占著非常重要的地位,起著承前啟后的作用,一方面對以前學(xué)過的一些內(nèi)容進行綜合地應(yīng)用,如探究解方程的方法時開平方、一元一次方程、完全平方公式、因式分解等知識都有應(yīng)用,另一方面,一元二次方程又是前邊所學(xué)知識的繼續(xù)和發(fā)展,是學(xué)好二次函數(shù)不可缺少的知識,是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基工程. 本章主要讓學(xué)生進一步體會方程的模型思想,會解一元二次方程,解方程的基本思想是化歸思想,將“二次”方程轉(zhuǎn)化成兩個“一次”方程是解一元二次方程的基本方法.其中配方法是初中數(shù)學(xué)中的基本方法,通過對配方法的學(xué)習(xí),探究出一元二次方程的求根公式,然后讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活,通過學(xué)習(xí)進一步培養(yǎng)學(xué)生化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題、解決問題的能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識. 【重點】 1.一元二次方程及其有關(guān)的概念. 2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 3.建立一元二次方程模型解決實際問題. 【難點】 1.用配方法解一元二次方程. 2.用公式法解一元二次方程. 3.一元二次方程根的判別式. 4.一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系. 5.建立一元二次方程模型解決實際問題的. 1.一元二次方程是初中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)模型之一,通過建立一元二次方程模型解決實際問題,可以使學(xué)生更深入地體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系,所以可從實際問題抽象出一元二次方程的有關(guān)概念及其數(shù)學(xué)符號表示,讓學(xué)生用類比思想理解并掌握一元二次方程的概念及其一般形式. 2.學(xué)生已經(jīng)具備了解一元二次方程的基本思想——化歸,即把方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程,教材由實際背景引入,建立一元二次方程模型,探究將二次降為一次的方法,轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.配方法是推導(dǎo)一元二次方程的求根公式的工具,引導(dǎo)學(xué)生用配方法導(dǎo)出求根公式,在推導(dǎo)求根公式的過程中,方程形式的不斷推廣,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的從特殊到一般的過程.教材探究一元二次方程解法的過程,對于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和運算能力有很大幫助. 3.一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系的學(xué)習(xí),不僅為了一元二次方程理論的完整性,更重要的是初高中的銜接問題,根據(jù)求根公式,探究一元二次方程兩根和與積分別與系數(shù)之間的關(guān)系,在教學(xué)活動中,可以讓學(xué)生通過給出的幾個一元二次方程的根,探索發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系,最后通過求根公式去驗證總結(jié),以此培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的嚴謹性和數(shù)學(xué)思維能力. 4.數(shù)學(xué)來源于生活,并應(yīng)用于生活中,數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān),應(yīng)用一元二次方程解決實際問題,引導(dǎo)學(xué)生分析其中的已知量、未知量及其等量關(guān)系,建立一元二次方程模型,得出方程的解,并檢驗所得的結(jié)果是否符合實際,得出合乎實際的結(jié)果,讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的數(shù)學(xué)活動過程,培養(yǎng)學(xué)生的建模思想,逐步形成應(yīng)用意識. 21.1一元二次方程 2課時 21.2 解一元二次方程 21.2.1配方法(2課時) 21.2.2公式法(1課時) 21.2.3因式分解法(1課時) 21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系(1課時) 5課時 21.3 實際問題與一元二次方程 2課時 21.1　一元二次方程 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式,正確認識二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項. 3.體會一元二次方程是刻畫實際問題的重要數(shù)學(xué)模型. 4.理解一元二次方程解的概念. 1.通過一元二次方程的引入,培養(yǎng)學(xué)生建模思想,歸納、分析問題及解決問題的能力. 2.體會數(shù)學(xué)來源于生活,又回歸生活的理念. 3.由設(shè)未知數(shù)、列方程向?qū)W生滲透方程的思想,從而進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 1.培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識、自主學(xué)習(xí)和合作交流的意識. 2.激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣,體會學(xué)數(shù)學(xué)的快樂,培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識. 3.體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系. 【重點】 1.一元二次方程的概念及一般形式. 2.一元二次方程的解(根). 【難點】 1.正確識別一般式中的“項”及“系數(shù)”. 2.由實際問題列出一元二次方程. 第課時 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式,正確認識二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項. 1.通過一元二次方程的引入,培養(yǎng)學(xué)生的建模思想,歸納、分析問題及解決問題的能力. 2.體會數(shù)學(xué)來源于生活,又回歸生活的理念. 1.培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識、自主學(xué)習(xí)和合作交流的意識. 2.激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣,體會學(xué)數(shù)學(xué)的快樂,培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識. 【重點】　一元二次方程的概念及其一般形式. 【難點】 1.由具體問題抽象出一元二次方程. 2.正確識別一般式中的“項”及“系數(shù)”. 【教師準(zhǔn)備】　多媒體課件1~3. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)一元一次方程和二元一次方程的定義. 導(dǎo)入一: 請同學(xué)們閱讀章前問題,并回答問題. 要設(shè)計一座2 m高的人體雕塑,使雕塑的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比,等于下部與全部(全身)的高度比,雕塑的下部應(yīng)設(shè)計為多高? 如圖所示,雕像的上部高度AC與下部高度BC應(yīng)有如下等量關(guān)系:AC∶BC=BC∶2,即BC2=2AC. 設(shè)雕塑下部高x m, 可得方程x2=2(2-x), 整理得x2+2x-4=0. 【問題】　這個方程是不是我們以前學(xué)過的方程? [設(shè)計意圖]　幫助學(xué)生初步感知上述方程與以往學(xué)過的方程形式的不同,通過學(xué)生的好奇心激發(fā)本節(jié)課的學(xué)習(xí)欲望. 導(dǎo)入二: 觀察下列方程: (1)3x-5=0;(2)2x2+3x-2=0;(3)x+3y=0;(4)x2+(x+1)(x-1)=0. 哪些是我們學(xué)過的一元一次方程?其他方程與一元一次方程有什么不同? 【師生活動】　復(fù)習(xí)方程、一元一次方程的概念、二元一次方程的概念. 【學(xué)生活動】　小組合作交流:觀察新方程,分析元和次,嘗試為新方程定義. [設(shè)計意圖]　讓學(xué)生體會一元二次方程是刻畫某些實際問題的模型,通過復(fù)習(xí)一元一次方程和二元一次方程的概念,讓學(xué)生用類比的方法從已有的知識體系自然地構(gòu)建出新知識. 導(dǎo)入三: 數(shù)字中有許多有趣而奇妙的現(xiàn)象,很多秘密等待著我們?nèi)ヌ剿靼l(fā)現(xiàn)!現(xiàn)在,我們先來做一個數(shù)字游戲:大家先計算出10,11,12三個數(shù)字的平方和,再計算出13和14的平方和,看看兩個平方和相等嗎?你還能找到五個連續(xù)整數(shù),使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和嗎?試試看! 如果設(shè)中間的一個數(shù)為x,請根據(jù)這一問題列出方程. [設(shè)計意圖]　本問題可以使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)中的奧秘,激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望.學(xué)生通過設(shè)未知數(shù),尋找等量關(guān)系,初步認識一元二次方程. 　　[過渡語]　數(shù)學(xué)來源于生活,生活中處處有數(shù)學(xué).我們一起探究下面的方程是怎樣的方程,看看是不是一元一次方程,或者是不是二元一次方程. 一、一元二次方程的定義 給出課本問題1、問題2的兩個實際問題,設(shè)未知數(shù),建立方程. 問題1 【課件1】　如圖所示,有一塊矩形鐵皮,長100 cm,寬50 cm,在它的四角各切去一個同樣的正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積為3600 cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形? 教師引導(dǎo)學(xué)生思考并回答: 如果設(shè)切去的正方形的邊長為x cm,那么盒底的長是　　　　,寬是　　　　,根據(jù)方盒的底面積為3600 cm2,得　　　　　　　　. 整理,得　　　　　　　　. 化簡,得　　　　　　　　. 解:設(shè)切去的正方形的邊長為x cm,那么盒底的長是(100-2x)cm,寬是(50-2x)cm. 根據(jù)題意,得(100-2x)(50-2x)=3600. 整理,得4x2-300x+1400=0. 化簡,得x2-75x+350=0. 問題2 【課件2】　要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩個隊之間都要比賽一場,根據(jù)場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽? 思路一 教師引導(dǎo)學(xué)生思考并回答: 全部比賽共有　　　　場. 若設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽,則每個隊要與其他　　　　個隊各賽一場,全部比賽共有　　　　 場. 由此,我們可以列出方程　, 化簡得　　　　　　　　. 【師生活動】　設(shè)未知數(shù)、 根據(jù)題意列出方程,老師點評并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型,并整理. 解:設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽,則每個隊要與其他(x-1)個隊各賽一場,全部比賽共有x(x-1)場. 根據(jù)題意,得x(x-1)=47. 整理,得x2-x=28.化簡,得x2-x=56. 思路二 小組活動,共同探究,思考下列問題. (1)分析題意,題中的已知條件是什么? (2)分析題意,題中的等量關(guān)系是什么? (3)如何設(shè)未知數(shù)?根據(jù)題中等量關(guān)系怎樣列方程? 【師生活動】　教師在巡視過程中及時解決疑難問題,學(xué)生討論后小組展示討論結(jié)果,教師及時補充. 解:設(shè)應(yīng)邀請x個隊參賽,則每個隊要與其他(x-1)個隊各賽一場,全部比賽共有x(x-1)場. 根據(jù)題意,得x(x-1)=47. 整理,得x2-x=28.化簡,得x2-x=56. [設(shè)計意圖]　通過師生共同探討,找到實際問題中的等量關(guān)系,列出方程,為引出一元二次方程的概念做鋪墊,同時可提高學(xué)生利用方程思想解決實際問題的能力. (教師板書導(dǎo)入一和課本問題所列的三個方程) 請口答下面問題. (1)上面三個方程整理后含有幾個未知數(shù)? (2)按照整式中的多項式的規(guī)定,它們最高次數(shù)是幾? (3)方程兩邊都是整式嗎? 【學(xué)生活動】　小組合作交流,類比一元一次方程定義,嘗試給出一元二次方程的定義. 老師點評:(1)都只含一個未知數(shù)x;(2)它們的最高次數(shù)都是2;(3)方程兩邊都是整式. 像這樣的方程,等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫做一元二次方程. [設(shè)計意圖]　通過小組活動,學(xué)生通過類比一元一次方程的定義得到一元二次方程的定義,從而達到真正理解定義的目的,同時培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力. 　　[過渡語]　我們了解了一元二次方程的概念,現(xiàn)在同學(xué)們比一比誰理解得更透徹吧. 【課件3】　請搶答下列各式是否為一元二次方程. (1)4x2=81;　　(2)2(x2-1)=3y. 【師生活動】　以搶答的形式來完成此題,并讓學(xué)生找出錯誤理由.教師應(yīng)注意對學(xué)生給出的答案進行點評和歸納. [設(shè)計意圖]　進一步強化一元二次方程的概念滿足的三個條件,采取搶答的形式,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性. [知識拓展]　判斷一個方程是一元二次方程需同時滿足三個條件:(1)是整式方程;(2)只含有一個未知數(shù);(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.同時要注意二次項系數(shù)不能為0. 二、一元二次方程的一般形式 【思考】　(1)類比一元一次方程的一般形式,你能不能寫出一元二次方程的一般形式? 一般地,任何一個關(guān)于x的一元二次方程,經(jīng)過整理,都能化成如下形式:ax2+bx+c=0(a≠0).這種形式叫做一元二次方程的一般形式. 一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次項,a是二次項系數(shù);bx是一次項,b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項. (2)二次項系數(shù)為什么不能為0? 學(xué)生思考回答. [設(shè)計意圖]　讓學(xué)生自己概括一般形式是對一元二次方程另一個角度的理解,是對數(shù)學(xué)符號語言的應(yīng)用能力的提升,同時通過思考強調(diào)一元二次方程概念中的易錯點. 　　[過渡語]　我們已經(jīng)知道了一元二次方程的一般形式,試試我們能不能完成以下問題. 　將方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項. 〔解析〕　一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),因此,對方程3x(x-1)=5(x+2)必須運用整式運算進行整理,包括去括號、移項、合并同類項等. 解:去括號,得3x2-3x=5x+10. 移項、合并同類項,得一元二次方程的一般形式為3x2-8x-10=0. 其中二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-8,常數(shù)項為-10. [設(shè)計意圖]　通過試一試,讓學(xué)生了解求一元二次方程的項或項的系數(shù)時,需先化成一元二次方程一般形式再求解,同時加深對一元二次方程一般形式的理解. [知識拓展]　1.一元二次方程的一般形式的特點是方程的右邊為0,左邊是關(guān)于未知數(shù)的二次整式. 2.一元二次方程的項或系數(shù)是針對一元二次方程的一般形式而言的,所以寫項或系數(shù)時,要先化成一般形式,并且項或系數(shù)都包括前邊的符號. 1.一元二次方程概念需要滿足三個條件: (1)是整式方程;(2)只含有一個未知數(shù);(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2. 2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),易錯點是忽略強調(diào)a≠0. 3.確定一元二次方程的項與系數(shù)時,一定先化成一般形式,書寫時應(yīng)注意包括前邊的符號. 1.在下列方程中,一元二次方程有 (　　) ①3x2+7=0;②ax2+bx+c=0;③(x-2)(x+5)=x2-1;④3x2- =0. A.1個　　B.2個　　C.3個　　D.4個 解析:一元二次方程必須滿足三個條件:(1)只含有一個未知數(shù);(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(3)是整式方程,同時注意二次項系數(shù)不為0.①和④滿足這幾個條件,②中二次項系數(shù)可能為0,③化簡后不含有二次項,不符合定義.故選B. 2.方程3x2-3=2x+1的二次項系數(shù)為　　　　,一次項系數(shù)為　　　　,常數(shù)項為　　　　. 解析:通過移項、合并同類項,化成一元二次方程的一般形式,為3x2-2x-4=0,所以二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-2,常數(shù)項為-4. 答案:3　-2　-4 3.若(m-2)=-3是關(guān)于x的一元二次方程,則m=　　　　. 解析:根據(jù)一元二次方程概念知未知數(shù)x的最高次數(shù)是2,且二次項系數(shù)不為0,所以m2-2=2,m-2≠0,解得m=-2.故填-2. 第1課時 一、一元二次方程的定義 只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程. 二、一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次項,a是二次項系數(shù);bx是一次項,b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項. 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第4頁習(xí)題21.1的1,2題. 【選做題】 教材第4頁習(xí)題21.1的4,5,6題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.下列方程為一元二次方程的是 (　　) A.1-x2=0 B.2(x2-1)=3y C.-=0 D.(x-3)2=(x+3)2 2.若ax2-5x+3=0是一元二次方程,則不等式3a+6>0的解集是 (　　) A.a>-2　　　　　　　B.a<-2 C.a>-2且a≠0 D.a> 3.生物興趣小組的同學(xué),將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈送一件,全組共互贈了182件,如果全組有x名同學(xué),則根據(jù)題意列出的方程是(　　) A.x(x+1)=182 B.x(x-1)=182 C.2x(x+1)=182 D.x(x-1)=1822 4.方程2x2=3(x+6)化為一般形式后二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為 (　　) A.2,3,-6 B.2,-3,-18 C.2,-3,6 D.2,3,6 5.把一元二次方程(x-2)(x+3)=1化為一般形式是　　　　　　　　　　. 6.若方程kx2+x=3x2+1是關(guān)于x的一元二次方程,則k的取值范圍是　　　　. 7.將下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項. (1)(2x-1)2=6; (2)3x2+5(2x+1)=0. 8.根據(jù)下列問題,列出關(guān)于x的方程,并將其化成一元二次方程的一般形式. (1)有一個面積為54 m2的長方形,將它的一邊剪短5 m,另一邊剪短2 m,恰好變成一個正方形,這個正方形的邊長是多少? (2)三個連續(xù)整數(shù)兩兩相乘,再求和,結(jié)果為242,這三個數(shù)分別是多少? 9.求方程x2+3=2x-4的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項的積. 【能力提升】 10.若關(guān)于x的方程(k2-4)x2+x+5=0是一元二次方程,求k的取值范圍. 11.若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常數(shù)項為0,求m的值. 12.當(dāng)m取何值時,x2m-1+10x+m=0是關(guān)于x的一元二次方程? 13.求證:關(guān)于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不論m取何值,該方程都是一元二次方程. 【拓展探究】 14.已知關(guān)于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0. (1)x為何值時,此方程是一元一次方程? (2)x為何值時,此方程是一元二次方程?并寫出一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項. 【答案與解析】 1.A(解析:B中含有兩個未知數(shù),C中方程不是整式方程,D中方程化簡后不含有x的二次項,只有A符合一元二次方程定義.故選A.) 2.C(解析:根據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)不為0可得a≠0,解不等式得a>-2.故選C.) 3.B(解析:每名同學(xué)都贈出(x-1)件,所以x名同學(xué)共贈出x(x-1)件,根據(jù)題意可列方程為x(x-1)=182.故選B.) 4.B(解析:化簡得2x2-3x-18=0,所以二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為2,-3,-18.故選B.) 5.x2+x-7=0(解析:根據(jù)多項式乘法法則化簡方程左邊,然后移項、合并同類項,可得x2+x-7=0.) 6.k≠3(解析:根據(jù)一元二次方程的定義知一元二次方程的二次項系數(shù)不為0,所以k≠3.) 7.解:(1)4x2-4x-5=0,二次項系數(shù)為4,一次項系數(shù)為-4,常數(shù)項為-5.　(2)3x2+10x+5=0,二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為10,常數(shù)項為5. 8.解:(1)設(shè)這個正方形的邊長是x m,根據(jù)題意得(x+5)(x+2)=54,化簡得x2+7x-44=0.　(2)設(shè)這三個連續(xù)整數(shù)為x-1,x,x+1,根據(jù)題意得x(x-1)+(x-1)(x+1)+x(x+1)=242,化簡得3x2-243=0. 9.解:將方程化簡可得x2-2x+7=0,所以二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項分別為,-2,7,所以(-2)7=-28. 10.解析:一元二次方程滿足二次項系數(shù)不為0,該題易忽略二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù). 解:依題意得k2-4≠0,且k-1≥0,解得k≥1且k≠2. 11.解:由題意得解得m=-1. 12.解:由題意得2m-1=2,解得m=. 13.解析:要證明不論m取何值,該方程都是一元二次方程,只要證明m2-8m+17≠0即可. 證明:m2-8m+17=(m-4)2+1,∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1≠0,∴不論m取何值,該方程都是一元二次方程. 14.解析:本題是含有字母系數(shù)的方程問題,根據(jù)一元一次方程和一元二次方程的定義,分別進行討論求解. 解:(1)由題意得即m=1時,關(guān)于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程.　(2)由題意得m2-1≠0,即m≠1時,關(guān)于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程.此方程的二次項系數(shù)是m2-1,一次項系數(shù)是-(m+1),常數(shù)項是m. 因為學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程及相關(guān)概念,所以本節(jié)課主要采用啟發(fā)式、類比法教學(xué).教學(xué)中力求體現(xiàn)“問題情境—數(shù)學(xué)模型—概念歸納”的模式.但是由于學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程的能力有限,所以通過小組討論,共同探究,從具體的問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,建立數(shù)學(xué)方程,從而突破難點.讓學(xué)生在實際生活情境中,經(jīng)過自主探索和合作交流的學(xué)習(xí)過程,產(chǎn)生積極的情感體驗,進而創(chuàng)造性地解決問題,有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升. 在教學(xué)過程中,小組合作交流還存在個別學(xué)生參與意識不強的現(xiàn)象,有些問題教師引導(dǎo)不到位,比如根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型,通過題意不能找到等量關(guān)系時,沒有很好地幫助學(xué)生提高分析問題的能力,再如問題2中排球賽問題,學(xué)生對尋找題中的等量關(guān)系遇到了困難,不能理解為什么除以2,遇到問題時給學(xué)生思考時間較短. 學(xué)生為了解決實際問題進行小組合作交流時,教師應(yīng)給足夠的時間進行探究,讓學(xué)生更好地體會建模思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,對于學(xué)生的發(fā)言,給予充分的肯定,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情,真正讓學(xué)生在課堂上動起來.同時應(yīng)該注重學(xué)生能力的培養(yǎng),在引導(dǎo)學(xué)生分析問題時設(shè)計出更有價值的問題. 練習(xí)(教材第4頁) 1.解:(1)5x2-4x-1=0,二次項系數(shù)為5,一次項系數(shù)為-4,常數(shù)項為-1.　(2)4x2-81=0,二次項系數(shù)為4,一次項系數(shù)為0,常數(shù)項為-81.　(3)4x2+8x-25=0,二次項系數(shù)為4,一次項系數(shù)為8,常數(shù)項為-25.　(4)3x2-7x+1=0,二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-7,常數(shù)項為1. 2.解:(1)4x2=25,4x2-25=0.　(2)x(x-2)=100,x2-2x-100=0.　(3)x1=(1-x)2,x2-3x+1=0.　 (1)數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用到生活中去,所以以不同的生活情境問題導(dǎo)入新課,通過分析題意,構(gòu)建方程模型,讓學(xué)生掌握利用方程解決問題的方法,既突破了本節(jié)課的難點,又很自然地引出了本節(jié)課的重點. (2)類比方法是數(shù)學(xué)中重要的方法,所以本節(jié)課類比以前學(xué)過的一元一次方程的有關(guān)概念,讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí),共同探究,很自然地突破了重難點. (3)本節(jié)課重難點、易錯點的掌握通過不同的形式的練習(xí)加以鞏固,讓學(xué)生積極參與,培養(yǎng)競爭意識,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,同時教師隨時注意學(xué)生們出現(xiàn)的問題,及時引導(dǎo)和反饋,使學(xué)生在快樂中掌握知識. 　已知關(guān)于x的方程(2k+1)x2-4kx+(k-1)=0. (1)當(dāng)k為何值時,此方程是一元一次方程?求出這個一元一次方程的根. (2)當(dāng)k為何值時,此方程是一元二次方程?并寫出這個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項. 〔解析〕　(1)一元一次方程中不含有二次項,所以二次項系數(shù)為0.(2)一元二次方程中二次項系數(shù)不為0. 〔答案〕　(1)k=-,x=. (2)k≠-;二次項系數(shù)為2k+1,一次項系數(shù)為-4k,常數(shù)項為k-1. 第課時 1.了解一元二次方程根的概念. 2.會判定一個數(shù)是否為一個一元二次方程的根,以及利用它們解決一些具體問題. 3.理解方程的解在實際問題中的意義. 1.通過觀察歸納一元二次方程根的概念,培養(yǎng)學(xué)生歸納、分析問題及解決問題的能力. 2.應(yīng)用一元二次方程根的定義計算,體會整體思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,進一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力. 1.培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識、自主學(xué)習(xí)和合作交流的意識. 2.體驗數(shù)學(xué)來源于生活、又應(yīng)用于生活中,理解知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系. 【重點】　判定一個數(shù)是否為方程的根. 【難點】　由實際問題列出的一元二次方程解出根后,檢驗根是否符合實際問題. 【教師準(zhǔn)備】　多媒體課件1和課件2. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)一元二次方程的定義. 導(dǎo)入一: 根據(jù)下列問題,列出關(guān)于x的方程,并將所列方程化成一般形式. 一個面積為48 m2的矩形苗圃,它的長比寬多2 m,苗圃的寬為x m. 【學(xué)生活動】　分析等量關(guān)系,列出方程x(x+2)=48,化成一般形式為x2+2x-48=0. 根據(jù)所列的方程將表格填完整. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 … x2+2x-48 　　【師生活動】　學(xué)生獨立填空,口答結(jié)果,教師點評結(jié)果. 導(dǎo)入二: 把x=1,2,0,分別代入一元二次方程3x2=2x中,哪些數(shù)可以使方程左右兩邊相等? 【師生活動】　學(xué)生思考計算,獨立回答問題,老師點評. [設(shè)計意圖]　從實際問題中抽象出一元二次方程數(shù)學(xué)模型,既復(fù)習(xí)了上節(jié)課內(nèi)容,又利于對本節(jié)課新知識的接受,同時通過計算從已有的舊知識很自然地構(gòu)建新知識. 　　[過渡語]　通過上邊的計算,x的值與方程有什么樣的關(guān)系呢?讓我們一起走進今天的知識殿堂. 一、一元二次方程的根 思路一 問題:(1)觀察導(dǎo)入一所填表格,x取什么值時,代數(shù)式x2+2x-48的值為0? (2)通過表格可得方程x2+2x-48=0(x>0)的解是什么? (3)下列數(shù):1,2,0,,哪些是方程3x2=2x的解? 〔答案〕　(1)x=6時,代數(shù)式x2+2x-48的值為0. (2)方程x2+2x-48=0(x>0)的解是x=6. (3)0,. 【師生活動】　學(xué)生獨立思考后,教師引導(dǎo)學(xué)生回答,并及時補充. 使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 思路二 【學(xué)生活動】　思考并回答:什么是一元一次方程的解? 教師及時補充. 自主學(xué)習(xí)課本第3頁,小組討論交流,并回答以下問題: (1)什么是一元二次方程的根? 【課件1】　使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 思考:一元二次方程的根是不是唯一的? 【師生活動】　學(xué)生思考回答,教師點評. [設(shè)計意圖]　通過教師的引導(dǎo)(思路一),或自主學(xué)習(xí)后小組討論交流(思路二),讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程,達到真正理解和掌握概念,同時培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和分析問題的能力. (2)導(dǎo)入中的兩個方程x2+2x-48=0(x>0),3x2=2x的根是什么? 〔答案〕　x=6;x=0或x=. 二、練習(xí)鞏固 　　[過渡語]　我們了解了什么是一元二次方程的根的概念,請回答下列問題. (1)下面哪些數(shù)是方程x2+x-12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4. 【師生活動】　學(xué)生思考計算后,以搶答形式回答問題,并說明理由.教師及時對學(xué)生給出的答案和理由做出評價. 解:把這些數(shù)分別代入方程,使方程左右兩邊相等的數(shù)是方程的根.-4,3是方程的根. [設(shè)計意圖]　通過該練習(xí),進一步強化一元二次方程的根的概念,采取搶答的形式,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的競爭意識. (2)李明在寫作業(yè)時,一不小心,把方程5x2+■x-3=0的一次項的系數(shù)用墨水覆蓋住了,但知道方程的一個根是x=-2,請你幫助李明求出覆蓋的系數(shù). 解:設(shè)覆蓋的系數(shù)為a. 把x=-2代入方程可得5(-2)2+(-2)a-3=0, 即20-2a-3=0,解得a=. ∴覆蓋的系數(shù)為. (3)若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的一個解是x=1,求2014-a-b的值. 解:把x=1代入方程可得a+b+5=0, ∴a+b=-5, ∴2014-a-b=2014-(a+b)=2014-(-5) =2014+5=2019. 【師生活動】　學(xué)生獨立思考后,小組討論交流,學(xué)生板書解題過程,教師進行點評后,引導(dǎo)學(xué)生歸納:已知方程的根時,常采用的解題思路是什么?(把方程的根代入方程,使方程左右兩邊相等,求出待定系數(shù)的值,注意整體思想在解題中的應(yīng)用.) [設(shè)計意圖]　通過小組討論,加深對一元二次方程的根的概念的理解,培養(yǎng)學(xué)生合作意識和歸納總結(jié)能力.課件展示練習(xí)(2)(3)的解答過程,強化學(xué)生書寫的嚴謹性,培養(yǎng)學(xué)生整體思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,同時讓學(xué)生體會生活中處處有數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活中. [知識拓展]　1.判斷一個數(shù)是不是一元二次方程的根的方法:將這個數(shù)代入一元二次方程,如果方程左右兩邊相等,那么該數(shù)是方程的根;如果方程左右兩邊不相等,那么該數(shù)不是方程的根. 2.已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右兩邊相等,可以求待定系數(shù)的值. 【課件2】 1.一元二次方程的根的概念 使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.判定一個數(shù)是不是某個一元二次方程的根時,把這個數(shù)代入方程,滿足方程的數(shù)就是方程的根,不滿足方程的數(shù)就不是方程的根. 3.已知一元二次方程的根,求某個待定系數(shù)的值時,將方程的根代入方程求解. 1.以-2為根的一元二次方程可能是 (　　) A.x2+2x-2=0　　　B.x2-x-2=0 C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0 解析:把x=-2分別代入各方程,使得方程x2+x-2=0 左右兩邊相等.故選D. 2.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一個解,則m的值是 (　　) A.-3　　　B.3　　　C.0　　　D.0或3 解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3.故選A. 3.已知m是方程x2-x-2=0的一個根,則代數(shù)式m2-m的值等于 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:把x=m代入方程可得m2-m-2=0,所以m2-m=2.故選D. 4.已知實數(shù)a,b(a≠b)滿足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,則關(guān)于一元二次方程x2-3x+1=0的根的說法中正確的是 (　　) A.x=a,x=b都不是該方程的解 B.x=a是該方程的解,x=b不是該方程的解 C.x=b是該方程的解,x=a不是該方程的解 D.x=a,x=b都是該方程的解 解析:根據(jù)已知條件,當(dāng)x=a,x=b時a2-3a+1=0,b2-3b+1=0成立,所以x=a,x=b都是方程x2-3x+1=0的解.故選D. 5.已知方程x2+bx+a=0有一個根是-a(a≠0),則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是 (　　) A.ab B. C.a+b D.a-b 解析:把x=-a代入方程可得(-a)2-ab+a=0,即a2-ab+a=0,所以a(a-b+1)=0,因為a≠0,所以a-b+1=0,所以a-b=-1是常數(shù).故選D. 第2課時 一、一元二次方程的根 二、練習(xí)鞏固 (1)?　? (2)?　? (3)?　? 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第4頁習(xí)題21.1的3題. 【選做題】 教材第4頁習(xí)題21.1的7題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.方程x(x-1)=2的兩根為 (　　) A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1 C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=2 2.已知x=1是方程x2-2mx+1=0的根,則m的值是 (　　) A.1 B.0 C.0或1 D.0或-1 3.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一個根,則等于 (　　) A.1 B.-1 C.0 D.2 4.已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一個根為1,一個根為-1,則a+b+c=　　　　,a-b+c=　　　　. 5.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根,則代數(shù)式a2+b2+2ab的值是　　　　. 6.關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一個根為0,則a的值是　　　　. 7.若x=1是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根,求代數(shù)式2014(a+b+c)的值. 【能力提升】 8.已知x=2是關(guān)于x的方程x2-2a=0的一個解,則一次函數(shù)y=ax-1的圖象不經(jīng)過第　　　　象限. 9.如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的二次項系數(shù)與常數(shù)項之和等于一次項系數(shù),求證-1必是該方程的一個根. 10.已知m,n都是方程x2+2013x-2014=0的根,試求代數(shù)式(m2+2013m-2013)(n2+2013n+2013)的值. 【拓展探究】 11.已知方程x2-5x+5=0的一個根為m,求m+的值. 【答案與解析】 1.D(解析:把x=0,x=1分別代入方程,可得左邊=0,右邊=2,則左邊≠右邊,所以A,B,C錯誤;把x=-1,x=2分別代入方程,可得方程左右兩邊相等.故選D.) 2.A(解析:把x=1代入方程可得1-2m+1=0,解得m=1.故選A.) 3.A(解析:把x=-1代入方程可得a-b+c=0,∴a+c=b,∴==1.故選A.) 4.0　0(解析:把x=1代入方程可得a+b+c=0,把x=-1代入方程可得a-b+c=0.) 5.1(解析:把x=1代入方程可得1+a+b=0,∴a+b=-1,∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1.故填1.) 6.-2(解析:把x=0代入方程可得a2-4=0,∴a2=4,∴a=2,又a-2≠0,∴a=-2.故填-2.) 7.解:將x=1代入ax2+bx+c=0,得a+b+c=0,所以2014(a+b+c)=0. 8.二(解析:把x=2代入方程可得a=3,所以一次函數(shù)的解析式為y=3x-1,則該一次函數(shù)圖象過第一、三、四象限.故填二.) 9.證明:根據(jù)題意,得a+c=b,即a-b+c=0.當(dāng)x=-1時,ax2+bx+c=a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=0,∴-1必是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根. 10.解:∵m,n都是方程x2+2013x-2014=0的根,∴m2+2013m-2014=0,n2+2013n-2014=0,∴m2+2013m=2014,n2+2013n=2014,∴(m2+2013m-2013)(n2+2013n+2013)=(2014-2013)(2014+2013)=4027. 11.解:∵方程x2-5x+5=0的一個根是m,∴m2-5m+5=0,∴m2+5=5m,∴m+===5. 本節(jié)課學(xué)習(xí)了一元二次方程的根的概念,類比一元一次方程的根的概念,通過自主學(xué)習(xí)、小組交流、共同歸納、練習(xí)檢測等環(huán)節(jié)讓學(xué)生在愉悅的課堂上掌握了本節(jié)課的重點,學(xué)生在課堂中發(fā)揮主體作用,讓數(shù)學(xué)課堂有了生命力.在本節(jié)課,大多數(shù)學(xué)生能體驗成功的快樂,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.在練習(xí)的設(shè)計上,由簡單的判斷是不是一元二次方程的根,深入到解決實際問題,學(xué)生經(jīng)歷由淺入深、由易到難的過程,提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力,同時滲透了整體思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力得到提高. 本節(jié)課內(nèi)容較為簡單,雖采取了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、共同探究的方法,但是還是沒有放開手腳,教師還是急于解決下邊的問題,給學(xué)生思考、交流的時間還不是很充足,應(yīng)該把課堂大膽交給學(xué)生,讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識形成過程,加深對知識的理解和掌握.另外課堂氣氛雖然很活躍,但是有部分學(xué)生面對稍有難度的題目時,沒有解決問題的思路,所以在以后的教學(xué)中,應(yīng)更加注重中下游學(xué)生解決問題的能力. 本章內(nèi)容的難點為一元二次方程的應(yīng)用,教材設(shè)計上幾乎每個課時都安排了與生活息息相關(guān)的實際問題.本節(jié)課內(nèi)容較為簡單,在設(shè)計上注重與實際問題有關(guān)的題目,逐步培養(yǎng)學(xué)生的建模思想,為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊.此外,在練習(xí)中多設(shè)計與學(xué)過的知識有聯(lián)系的題目,如將完全平方公式、因式分解、代數(shù)式的化簡等與一元二次方程的根結(jié)合,并重視整體思想在解決問題中的應(yīng)用,使學(xué)生的發(fā)散思維得到提升. 習(xí)題21.1(教材第4頁) 1.解:(1)3x2-6x+1=0,二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為-6,常數(shù)項為1.　(2)4x2+5x-81=0,二次項系數(shù)為4,一次項系數(shù)為5,常數(shù)項為-81.　(3)x2+5x=0,二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為5,常數(shù)項為0.　(4)2x2-4x+2=0,二次項系數(shù)為2,一次項系數(shù)為-4,常數(shù)項為2.　(5)x2+10=0,二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為0,常數(shù)項為10. (6)x2+2x-2=0,二次項系數(shù)為1,一次項系數(shù)為2,常數(shù)項為-2. 2.解:(1)設(shè)這個圓的半徑為R m,由圓的面積公式得πR2=2π,∴πR2-2π=0.　(2)設(shè)這個直角三角形較長的直角邊長為x cm,由直角三角形的面 積公式得x(x-3)=9,∴x2-3x-18=0. 3.解:-4,3是方程x2+x-12=0的根. 4.解:設(shè)矩形的寬為x cm,則矩形的長為(x+1)cm,由題意得x(x+1)=132,即x2+x-132=0. 5.解:設(shè)矩形的長為x m,則矩形的寬為(0.5-x)m,由矩形的面積公式得x(0.5-x)=0.06,∴x2-0.5x+0.06=0. 6.解:設(shè)有n人參加聚會,根據(jù)題意可知(n-1)+(n-2)+…+2+1=10,即=10,∴n2-n-20=0. 7.解:由題意可知22-c=0,∴c=4,∴原方程為x2-4=0,∴x=2,∴這個方程的另一個根為-2. 1.一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要模型,它與生活實際息息相關(guān),所以以生活實際問題為背景導(dǎo)入新課,建立一元二次方程模型,體會數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用到生活中去,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,降低學(xué)習(xí)難度. 2.由于前邊學(xué)習(xí)了一元一次方程的根的概念,所以本節(jié)課的難點易于突破,應(yīng)用數(shù)學(xué)中的類比方法,復(fù)習(xí)一元一次方程的根的概念后,通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組交流方式探究新知識,重難點基本能夠解決,教師適時點撥即可讓學(xué)生掌握重難點. 3.整體思想及學(xué)過的知識與本節(jié)課的重點結(jié)合成為了本節(jié)課的一個難點,在習(xí)題的設(shè)計上要難易適中,有適當(dāng)?shù)奶荻?尊重學(xué)生差異,教師對思考有困難的學(xué)生多關(guān)注,培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的提升. 　已知實數(shù)m是方程x2+x-1=0的一個根,求代數(shù)式m3+2m2+2014的值. 〔解析〕　因為m是方程x2+x-1=0的根,所以m2+m-1=0,求出m2+m=1,把m3+2m2+2014化簡,利用整體代入法將m2+m=1代入求值,注意化簡時拆項、部分項提公因式. 解:∵m是方程x2+x-1=0的根, ∴m2+m-1=0,∴m2+m=1, ∴m3+2m2+2014=m(m2+m)+m2+2014 =m+m2+2014=1+2014=2015. 21.2　解一元二次方程 1.能用解一元二次方程的四種方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程. 2.會根據(jù)方程的不同特點,靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠? 3.不解方程,會判斷一元二次方程根的情況. 4.能利用一元二次方程解決實際問題,增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力. 1.探究一元二次方程的解法過程中,體會轉(zhuǎn)化、降次、分類等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 2.使學(xué)生參與對一元二次方程解法的探索,體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程,培養(yǎng)學(xué)生觀察和總結(jié)的能力,發(fā)展數(shù)學(xué)思維. 　　3.通過正確、熟練地解一元二次方程,提高學(xué)生的綜合運算能力. 1.通過師生的共同活動,培養(yǎng)學(xué)生積極參與、主動探索的精神,發(fā)展學(xué)生合作意識. 2.通過對一元二次方程解法的探究,感受數(shù)學(xué)的嚴謹性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性,同時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和合情推理能力. 3.由生活實際問題抽象出一元二次方程,增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 【重點】 1.利用四種方法解一元二次方程. 2.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系. 【難點】　選擇靈活的方法解一元二次方程. 21.2.1　配方法 1.會用直接開平方法解一元二次方程. 2.理解并掌握用配方法解簡單的一元二次方程. 1.體會轉(zhuǎn)化、降次等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生基本的運算技巧和能力. 2.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析、綜合等能力,會應(yīng)用學(xué)過的知識去解決新的問題. 1.鼓勵學(xué)生積極主動地參與知識的形成過程,激發(fā)求知的欲望,體驗成功的快樂,增強學(xué)習(xí)的興趣和自信心. 2.通過用配方法將一元二次方程變形的過程,讓學(xué)生進一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法,并增強他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 【重點】　運用直接開平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程. 【難點】 1.一元二次方程根的確定. 2.判斷一個方程是否適合用直接開平方的方法求解. 第課時 1.使學(xué)生理解直接開平方法的定義和基本思想. 2.會用直接開平方法解一元二次方程. 3.知道形如(x+n)2=p(p≥0)的方程可以用直接開平方法求解. 1.體會轉(zhuǎn)化、降次等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生基本的運算技巧和能力. 2.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析、綜合等能力,會應(yīng)用學(xué)過的知識去解決新的問題. 1.培養(yǎng)學(xué)生積極參與、主動探索的精神,發(fā)展學(xué)生合作意識. 2.鼓勵學(xué)生積極主動地參與知識的形成過程,激發(fā)求知的欲望,體驗成功的快樂,增強學(xué)習(xí)的興趣和自信心. 【重點】　運用直接開平方法解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程. 【難點】　如何識別一個一元二次方程可以用直接開平方法求解. 【教師準(zhǔn)備】　預(yù)想學(xué)生在解方程過程中容易出現(xiàn)的問題. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)一元二次方程根的定義. 導(dǎo)入一: 有這樣一首詩:一群猴子分兩隊,高高興興在游戲.八分之一再平方,蹦蹦跳跳樹林里;其余十二嘰喳喳,伶俐活潑又調(diào)皮.告我總數(shù)共多少,兩隊猴子在一起? 學(xué)生列出方程,并思考怎樣解這個一元二次方程,教師引出課題. 導(dǎo)入二: (1)什么是一個數(shù)的平方根?平方根有哪些性質(zhì)? (2)計算: 9的平方根是　　　　,的平方根是　　　　. (3)如果x2=36,那么x的值是　　　　. 【師生活動】　共同復(fù)習(xí)平方根的概念和性質(zhì). [設(shè)計意圖]　由實際問題導(dǎo)入新課,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在實際問題中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,同時教師引導(dǎo)學(xué)生分析解決問題,為以后學(xué)習(xí)一元二次方程的應(yīng)用打下基礎(chǔ).通過復(fù)習(xí)平方根的概念和性質(zhì),讓學(xué)生很自然地應(yīng)用舊知識解決新問題. 　　[過渡語]　我們復(fù)習(xí)了平方根的定義,根據(jù)平方根的定義可以解某些特殊的一元二次方程,讓我們嘗試解這些方程吧! 一、例題講解 (教材問題1)一桶油漆可刷的面積為1500 dm2,李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱長嗎? 【師生活動】　學(xué)生思考,教師引導(dǎo)回答下列問題. (1)設(shè)其中一個盒子的棱長為x dm,則這個盒子的表面積為　　　　dm2; (2)據(jù)題意可得等量關(guān)系為　　　　　　　　; (3)根據(jù)等量關(guān)系可列方程　　　　　　　　; (4)化簡可得　　　　　　　　. 【學(xué)生活動】　小組交流討論如何解這個方程,學(xué)生回答問題后,教師及時補充. 解:設(shè)其中一個盒子的棱長為x dm,則這個盒子的表面積為6x2 dm2. 根據(jù)題意,得106x2=1500,整理,得x2=25. 根據(jù)平方根的意義,得x=5. 即x1=5,x2=-5(不合題意,舍去). 答:其中一個盒子的棱長為5 dm. 問題思考:x=5都是方程x2=25的根,在這里為什么舍去一個根?(棱長不能為負數(shù),所以正方體盒子的棱長為5 dm.) 二、共同探究1　直接開平方法 1.例解方程 解下列方程. (1)x2=4;　(2)x2-2=0. 【師生活動】　學(xué)生思考回答,教師規(guī)范書寫. 解:(1)根據(jù)平方根的意義得x=2, ∴x1=2,x2=-2. (2)移項得x2=2,∴x=, ∴ x1=,x2 =-. [設(shè)計意圖]　通過簡單例題,探究利用平方根的意義解一元二次方程的方法,學(xué)生做好新舊知識銜接的同時,易于理解和掌握本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點,教師板書解答過程,達到規(guī)范學(xué)生做題習(xí)慣的目的. 2.歸納概念 通過直接將某一個數(shù)開平方解一元二次方程的方法叫做直接開平方法. 　　[過渡語]　我們知道了直接開平方法解一元二次方程方程的定義,讓我們比一比看誰算得快吧! 3.即時鞏固 解下列方程.(搶答) (1)x2=9;　　(2)9x2-144=0. 【師生活動】　學(xué)生獨立思考計算后,進行搶答,教師對學(xué)生的成果點評. 解:(1)根據(jù)平方根的意義,得x=3, ∴x1=3,x2=-3. (2)移項,得9x2=144,系數(shù)化為1,得x2=16, 根據(jù)平方根的意義,得x=4, ∴x1=4,x2=-4. [設(shè)計意圖]　設(shè)計比較簡單的練習(xí),鞏固直接開平方法的應(yīng)用,以搶答形式回答,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和競爭意識. 4.總結(jié)歸納 一般地,對于方程x2=p: (1)當(dāng)p>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根x1=,x2=-; (2)當(dāng)p=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=0; (3)當(dāng)p<0時,方程沒有實數(shù)根. [設(shè)計意圖]　師生共同探究,得出一般結(jié)論,達到真正理解和掌握直接開平方法解方程的目的,同時培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力. 三、共同探究2　解形如(x+n)2=p(p≥0)的方程 　　[過渡語]　通過上邊的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)會解形如x2=p的方程,如果我們給這樣的方程進行變化,同學(xué)們又該如何求出方程的解呢? 解下列方程. (1)(x+3)2=5;　(2)4(x+3)2=5. 思路一 教師引導(dǎo)分析方程特點,方程(1)中,把x+3看作整體,用直接開平方法,將方程化為x+3=,即x+3=或x+3=-,達到降次的目的,轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程求解. 方程(2)中,也把x+3看作整體,兩邊同時除以4,方程化為(x+3)2=,仿照方程(1)的解法可直接開平方求解. 思路二 思考:方程有什么特點?是不是形如x2=p的方程?如果不是,能不能化成這種形式? 教師提出問題,學(xué)生針對問題進行小組討論交流,共同探究,教師在巡視過程中針對學(xué)生遇到的困難給予提示,即整體思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 解:(1)直接開平方,得x+3=, 即x+3=或x+3=-, ∴方程的根為x1=-3+,x2=-3-. (2)兩邊同時除以4,得(x+3)2=, 即x+3=或x+3=-, ∴方程的根為x1=-3+,x2=-3-. [設(shè)計意圖]　通過給學(xué)過的方程“穿衣服”,激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)新知識的樂趣,方程層層遞進的變化,讓學(xué)生在熟悉的知識中易于理解和掌握新知識,同時培養(yǎng)學(xué)生用整體思想思考問題的意識. 歸納總結(jié): (1)通過上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么? 【師生活動】　學(xué)生思考,教師提示:由方程(x+3)2=5,到方程x+3=或x+3=-,方程的次數(shù)有什么變化?將新知識化成原來學(xué)過的知識,是數(shù)學(xué)中常用的轉(zhuǎn)化思想. “降次”是解一元二次方程的基本策略,直接開平方法是根據(jù)平方根的意義,把一個一元二次方程“降次”,達到轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程的目的. (2)能用直接開平方法解的一元二次方程有什么特點?方程的解是什么? 【師生活動】　學(xué)生思考,小組討論,歸納總結(jié). 如果一個一元二次方程具有(x+n)2=p(p≥0)的形式,那么就可以用直接開平方法求解,方程的解為x1=-n-,x2=-n+. (3)用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟