高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考中檔大題規(guī)范練（三）概率與統(tǒng)計(jì) 理

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(三)概率與統(tǒng)計(jì) 1．某項(xiàng)競(jìng)賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段進(jìn)行，每個(gè)階段選手要回答一個(gè)問題．規(guī)定正確回答問題者進(jìn)入下一階段競(jìng)賽，否則即遭淘汰．已知某選手通過(guò)初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是，，，且各階段通過(guò)與否相互獨(dú)立． (1)求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率； (2)設(shè)該選手在競(jìng)賽中回答問題的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列與均值． 解　(1)記“該選手通過(guò)初賽”為事件A，“該選手通過(guò)復(fù)賽”為事件B，“該選手通過(guò)決賽”為事件C，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 那么該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率 P＝P(A)＝P(A)P()＝(1－)＝. (2)ξ可能取值為1,2,3. P(ξ＝1)＝1－＝，P(ξ＝2)＝(1－)＝， P(ξ＝3)＝＝. 故ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P ξ的均值為E(ξ)＝1＋2＋3＝. 2．(2016山東)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求： (1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率； (2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和均值E(X)． 解　(1)記事件A：“甲第一輪猜對(duì)”，記事件B：“乙第一輪猜對(duì)”， 記事件C：“甲第二輪猜對(duì)”，記事件D：“乙第二輪猜對(duì)”， 記事件E：“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”． 由題意， E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC. 由事件的獨(dú)立性與互斥性， P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC) ＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P() ＝＋2＝. 所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為. (2)由題意，隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝2＝＝， P(X＝2)＝＋＋＋＝， P(X＝3)＝＋＝＝， P(X＝4)＝2＝＝， P(X＝6)＝＝＝. 故隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以均值E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＋6＝. 3．(2016四川)我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求直方圖中a的值； (2)設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由； (3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，估計(jì)x的值，并說(shuō)明理由． 解　(1)由頻率分布直方圖知，月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.080.5＝0.04. 同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02. 由0.04＋0.08＋0.5a＋0.20＋0.26＋0.5a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30. (2)由(1)，知100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12. 由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30萬(wàn)居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12＝36 000. (3)因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88>0.85， 而前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73<0.85. 所以2.5≤x<3.由0.30(x－2.5)＝0.85－0.73， 解得x＝2.9. 所以，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)． 4．(2016課標(biāo)全國(guó)甲)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 保費(fèi) 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 (1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； (2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率； (3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值． 解　(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55. (2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15. 又P(AB)＝P(B)， 故P(B|A)＝＝＝＝. 因此所求概率為. (3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為 X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 E(X)＝0.85a0.30＋a0.15＋1.25a0.20＋1.5a0.20＋1.75a0.10＋2a0.05＝1.23a. 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23. 5．(2016課標(biāo)全國(guó)丙)下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線圖． 注：年份代碼1－7分別對(duì)應(yīng)年份2008－2014 (1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明； (2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：i＝9.32，iyi＝40.17, ＝0.55, ≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝，回歸方程＝＋t中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為＝，＝－. 解　(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ＝4，(ti－)2＝28, ＝0.55， (ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－49.32＝2.89，r≈≈0.99. 因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系． (2)由＝≈1.331及(1)得＝＝≈0.103.＝－≈1.331－0.1034≈0.92. 所以y關(guān)于t的回歸方程為＝0.92＋0.10t. 將2016年對(duì)應(yīng)的t＝9代入回歸方程得＝0.92＋0.109＝1.82. 所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約為1.82億噸．