【高考前三個月復習數(shù)學理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第17練

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第17練　三角函數(shù)的化簡與求值 [題型分析高考展望]　三角函數(shù)的化簡與求值在高考中頻繁出現(xiàn)，重點考查運算求解能力.運算包括對數(shù)字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，屬于比較簡單的題目，這就要求在解決此類題目時不能丟分，由于三角函數(shù)部分公式比較多，要熟練記憶、掌握并能靈活運用. ?？碱}型精析 題型一　利用同角三角函數(shù)基本關系式化簡與求值 基本公式：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝. 基本方法：(1)弦切互化；(2)“1”的代換，即1＝sin2α＋cos2α；(3)在進行開方運算時，注意判斷符號. 例1　已知tan α＝2，求： (1)的值； (2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α的值. 　 點評　本題(1)(2)兩小題的共同點：都是正弦、余弦的齊次多項式.對于這樣的多項式一定可以化成切函數(shù)，分式可以分子分母同除“cos α”的最高次冪，整式可以看成分母為“1”，然后用sin2α＋cos2α代換“1”，變成分式后再化簡. 變式訓練1　(2015福建)若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α的值等于(　　) A. B.－ C. D.－ 題型二　利用誘導公式化簡與求值 1.六組誘導公式分兩大類，一類是同名變換，即“函數(shù)名不變，符號看象限”；一類是異名變換，即“函數(shù)名稱變，符號看象限”. 2.誘導公式化簡的基本原則：負化正，大化小，化到銳角為最好！ 例2　(1)化簡：； (2)求值：sin 690sin 150＋cos 930cos(－570)＋tan 120tan 1 050. 點評　熟練運用誘導公式和基本關系式，并確定相應三角函數(shù)值的符號是解題的關鍵.另外，切化弦是常用的規(guī)律技巧. 變式訓練2　(1)(2015四川)已知sin α＋2cos α＝0，則2sin αcos α－cos2α的值是________. (2)已知cos＝a (|a|≤1)，則cos＋sin的值是________. 題型三　利用其他公式、代換等化簡求值 兩角和與差的三角函數(shù)的規(guī)律有三個方面：(1)變角，目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.(2)變名，通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”“升冪與降冪”等.(3)變式，根據(jù)式子的結構特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法通常有“常值代換”“逆用變用公式”“通分與約分”“分解與組合”“配方與平方”等. 例3　(1)化簡：(0<θ<π)； (2)求值：－sin 10(－tan 5). 　 　 　 　　 (3)設f(x)＝＋sin x＋a2sin的最大值為＋3，則常數(shù)a＝________. 點評　(1)二倍角公式是三角變換的主要公式，應熟記、巧用，會變形應用. (2)重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當?shù)墓胶愕茸冃? 變式訓練3　(1)在△ABC中，已知三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則tan ＋tan ＋ tan tan 的值為____________. (2)的值是(　　) A. B. C. D. 高考題型精練 1.(2015陜西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 2.已知sin＝，那么cos α等于(　　) A.－ B.－ C. D. 3.若tan＝，且－<α<0，則等于(　　) A.－ B. C.－ D. 4.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f(lg )，則(　　) A.a＋b＝0 B.a－b＝0 C.a＋b＝1 D.a－b＝1 5.若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，則cos等于(　　) A. B.－ C. D.－ 6.(2014課標全國Ⅰ)設α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，則(　　) A.3α－β＝ B.2α－β＝ C.3α＋β＝ D.2α＋β＝ 7.(2015江蘇)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，則tan β的值為________. 8.計算：＝________. 9.(2015咸陽模擬)已知α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，則＝________. 10.(2015廣東)已知tan α＝2. (1)求tan的值； (2)求的值. 　11.已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R. (1)求f的值； (2)若sin α＝，且α∈，求f. 12.(2014江蘇)已知α∈，sin α＝. (1)求sin的值； (2)求cos的值. 答案精析 專題4 三角函數(shù)與平面向量 第17練　三角函數(shù)的化簡與求值 常考題型精析 例1　解　(1)方法一　∵tan α＝2，∴cos α≠0， ∴＝ ＝＝＝. 方法二　由tan α＝2，得sin α＝2cos α，代入得 ＝ ＝＝. (2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α ＝ ＝ ＝＝. 變式訓練1 D 解析　∵sin α＝－，且α為第四象限角，∴cos α＝， ∴tan α＝＝－，故選D. 例2　解　(1)方法一　原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝－＝－1. 方法二　原式＝ ＝ ＝ ＝－1. (2)原式＝sin(720－30)sin(180－30)＋cos(1 080－150)cos(720－150)＋tan(180－60)tan(1 080－30) ＝－sin 30sin 30＋cos 150cos 150＋tan 60tan 30 ＝－＋＋1＝. 變式訓練2　答案　(1)－1　(2)0 解析　(1)∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， 又∵2sin αcos α－cos2α＝ ＝， ∴原式＝＝－1. (2)cos＝cos ＝－cos＝－a. sin＝sin＝cos＝a， ∴cos＋sin＝0. 例3　解　(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos >0. 因此＝ ＝2cos . 又(1＋sin θ＋cos θ)(sin －cos ) ＝(2sin cos ＋2cos2)(sin －cos ) ＝2cos (sin2－cos2) ＝－2cos cos θ. 故原式＝＝－cos θ. (2)原式＝－sin 10(－) ＝－sin 10 ＝－sin 10 ＝－2cos 10＝ ＝ ＝ ＝＝. (3) 解析　f(x)＝＋sin x＋a2sin ＝cos x＋sin x＋a2sin ＝sin＋a2sin ＝(＋a2)sin. 依題意有＋a2＝＋3，∴a＝. 變式訓練3　(1)　(2)C 解析　(1)因為三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且A＋B＋C＝π， 所以A＋C＝，＝，tan ＝， 所以tan ＋tan ＋tan tan ＝tan＋tan tan ＝＋tan tan ＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝. 高考題型精練 1.A [∵sin α＝cos α?cos 2α＝cos2α－sin2α＝0；cos 2α＝0?cos α＝sin αsin α＝cos α，故選A.] 2.C [sin＝cos α＝.] 3.A [由tan＝＝， 得tan α＝－. 又－<α<0，所以sin α＝－. 故＝ ＝2sin α＝－.] 4.C [a＝f(lg 5)＝sin2(lg 5＋) ＝＝， b＝f(lg )＝sin2(lg ＋) ＝＝， 則可得a＋b＝1.] 5.C [∵cos＝，0<α<， ∴sin＝. 又∵cos＝，－<β<0， ∴sin＝， ∴cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝＋＝.] 6.B [方法一　由tan α＝得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(－α). ∵α∈(0，)，β∈(0，)， ∴α－β∈(－，)，－α∈(0，)， ∴由sin(α－β)＝sin(－α)，得α－β＝－α， ∴2α－β＝. 方法二　∵tan α＝＝ ＝ ＝tan(＋)， ∴α＝kπ＋(＋)，k∈Z，∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z. 當k＝0時，滿足2α－β＝，故選B.] 7.3 [∵tan α＝－2， ∴tan(α＋β)＝＝＝， 解得tan β＝3.] 8.－4 解析　原式＝ ＝ ＝＝ ＝＝－4. 9. 解析　∵α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，則(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0， ∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1， ∴cos α＝，sin α＝， ∴ ＝＝. 10.解　(1)tan＝ ＝＝＝－3. (2) ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1. 11.解　(1)f＝cos2＋sin cos ＝2＋＝. (2)因為f(x)＝cos2x＋sin xcos x ＝＋sin 2x ＝＋(sin 2x＋cos 2x) ＝＋sin. 所以f＝＋sin ＝＋sin ＝＋. 又因為sin α＝，且α∈， 所以cos α＝－， 所以f＝＋ ＝. 12.解　(1)因為α∈，sin α＝， 所以cos α＝－＝－. 故sin＝sin cos α＋cos sin α ＝＋＝－. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α ＝2＝－， cos 2α＝1－2sin2α＝1－22＝， 所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α ＝＋ ＝－. 第 17 頁 共 17 頁