北京理工大學(xué)自動控制原理輔導(dǎo)班筆記.doc

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410自動控制原理輔導(dǎo)班筆記 ——鐘海秋教授 一、 自動控制理論的分析方法： （1）時域分析法； （2）頻率法； （3）根軌跡法； （4）狀態(tài)空間方法； （5）離散系統(tǒng)分析方法； （6）非線性分析方法 二、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 (1)解析表達(dá)：微分方程；差分方程；傳遞函數(shù)；脈沖傳遞函數(shù)；頻率特性；脈沖響應(yīng)函數(shù)；階躍響應(yīng)函數(shù) (2)圖形表達(dá)：動態(tài)方框圖（結(jié)構(gòu)圖）；信號流圖；零極點(diǎn)分布；頻率響應(yīng)曲線；單位階躍響應(yīng)曲線 時域響應(yīng)分析 一、對系統(tǒng)的三點(diǎn)要求： (1)必須穩(wěn)定，且有相位裕量γ和增益裕量 (2)動態(tài)品質(zhì)指標(biāo)好。、、、σ% (3)穩(wěn)態(tài)誤差小，精度高 二、結(jié)構(gòu)圖簡化——梅遜公式 例1、 解：方法一：利用結(jié)構(gòu)圖分析： 方法二：利用梅遜公式 其中特征式 式中： 為所有單獨(dú)回路增益之和 為所有兩個互不接觸的單獨(dú)回路增益乘積之和 為所有三個互不接觸的單獨(dú)回路增益乘積之和 其中， 為第K條前向通路之總增益； 為從Δ中剔除與第K條前向通路有接觸的項(xiàng)； n 為從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通路數(shù)目 對應(yīng)此例，則有： 通路： ， 特征式： 則： 例2：[2002年備考題] 解：方法一：結(jié)構(gòu)圖化簡 繼續(xù)化簡： 于是有： 結(jié)果為 其中=… 方法二：用梅遜公式 通路： 于是： 三、穩(wěn)態(tài)誤差 （1）參考輸入引起的誤差傳遞函數(shù)：； 擾動引起的誤差傳遞函數(shù)： （2）求參考輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差時。可以用 、、疊加，也可以用終值定理： （3）求擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差 時，必須用終值定理： （4）對階躍輸入： ， 如，則， （5）對斜坡輸入：， 如，則， （6）對拋物線輸入：， 如，則， 例3：求：，令，求，令 解：結(jié)構(gòu)圖化簡： 繼續(xù)化簡，有： 當(dāng)時，求得=。。。；當(dāng)時，有 求得=… 例4： 令，求，令，求 為了完全抵消干擾對輸出的影響，則 解：求，用用梅遜公式： 則：，同理求得=… 若完全抵消干擾對輸出的影響，則干擾引起的輸出應(yīng)該為零。 即=0,故=0，所以 例5：[2002年題4] 其中 ，，r(t)和n(t)分別是參考輸入和擾動輸入。 (1)求誤差傳遞函數(shù) 和； (2)是否存在n1≥0和n2≥0,使得誤差為零？ (3)設(shè)r(t)和n(t)皆為階躍輸入，若誤差為零，求此時的n1和n2 解： ①， ，[N(s)為負(fù)] ② r(t)=t,要求=0.則系統(tǒng)應(yīng)為Ⅱ型系統(tǒng),那么n1+n2=2. ③ r(t)=1(t),n(t)= 1(t),要求=0,則n1+n2=1 因?yàn)槿?則 而事實(shí)上： 可見積分環(huán)節(jié)在部分中，而不在中。 故n1=1，n2=0。就可以實(shí)現(xiàn)要求 例6：如圖，當(dāng)時，求穩(wěn)態(tài)輸出 解：應(yīng)用頻率法： ，則 四、動態(tài)指標(biāo) (1)二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形： (2)，θ越大，ξ越小 (3)，，（Δ=5%或2%） 例7：如圖，要求，試確定參數(shù)K，T。 解：， 則， 。由， ，可得ξ=？，T=？ 例8： 求：① 選擇，，使得σ%≤20%，ts=1.8秒() ② 求、、，并求出時的穩(wěn)態(tài)誤差 解：① 由σ%≤20%，則，求得ξ≥… 由，求得≤。。。，從而得、。 ② 由傳遞函數(shù)：得， ，， 當(dāng)時， 頻率法 一、基本概念： G(s) ，輸入是正弦信號，穩(wěn)態(tài)輸出。如：， 則 二、① 慣性環(huán)節(jié) jw 0+ +∞ u ，， ， 0+ +∞ ②，， ， 則：， ， 注意： 0+ +∞ 因?yàn)? ③ ，（如圖3）則 0+ +∞ ④ ，（如圖4） 求w1。因，故 兩邊取正切： ⑤ ，其中，（如圖5） 0+ +∞ ⑥ 增益裕量：，相位裕量：，如圖6 注意：用求K；用求w1。 例1：，T1>T2，K=10，作出波德圖 例2：[2002年題1] 求：(1)寫出開環(huán)傳遞函數(shù) (2)計算系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量 (3)做出的Nyquist曲線，并分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解：① 可見圖中，因?yàn)榉l特性曲線在w1=0.5和w2=10時發(fā)生轉(zhuǎn)折，顯然w=2時，曲線只在w1=0.5發(fā)生轉(zhuǎn)折，而未到w2=10。故w2=10不發(fā)生作用，所以，故 ② 相位裕量： 因?yàn)?，則 ③：則Z=0，N=0，P=0。符合Z=P+N，故穩(wěn)定 三、Nyquist判據(jù) Z為閉環(huán)右半平面根數(shù)，P為開環(huán)右半平面根數(shù)，N為包圍-1圈數(shù)，順時針為正，逆時針為負(fù)。當(dāng)符合Z=P+N是系統(tǒng)穩(wěn)定。其中Z=0 例3： 解：奈氏曲線如下圖。N=2，P=0，Z=N+P=2≠0，故不穩(wěn)定。 例4：，如圖：N=2，P=0，Z=N+P=2≠0，故不穩(wěn)定。 例5：，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 分析：判斷穩(wěn)定性，用勞斯判據(jù)： ①　相鄰系數(shù)必須為正，不能缺項(xiàng) 如： 。顯然缺s項(xiàng)，故不穩(wěn)定。 ②　勞斯陣列第一列全為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。如果有一個負(fù)數(shù)，則變號２次，即系統(tǒng)有２個有根，不穩(wěn)定。 ③　系統(tǒng)如果與虛軸有交點(diǎn)，則勞斯陣有一行全為０，此行的上一行為輔助多項(xiàng)式，由輔助多項(xiàng)式可求出與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。如 ，勞斯陣為： ，則由于一行全為零。則系統(tǒng)與虛軸相交。輔助多項(xiàng)式為： ，則與虛軸的交點(diǎn)為。 解：勞斯陣： ，可見系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個右根。 例６：， 解：勞斯陣： ，因?yàn)榇颂帲安荒芡掠嬎?，換成ε。 ，，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。 例７：〈2002年備考題〉單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)， 要求：① 畫出對數(shù)幅頻特性，求，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 ② 加入矯正裝置，使擴(kuò)大一倍，求矯正后系統(tǒng)傳遞函數(shù)和相位裕量。 解：① 開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)由所給的零極點(diǎn)形式化成時間常數(shù)形式： ，由作圖可得，由勞斯判據(jù)可知， ，缺項(xiàng)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 也可由， ，判定系統(tǒng)不穩(wěn)定。 也可由零極點(diǎn)判斷〈畫圖〉，不穩(wěn)定。 ② 加入矯正裝置是，即 （w1可由圖中按比例讀出），則。 例8：〈2001年備考題〉 求：① 系統(tǒng)阻尼比ξ=0.5時, ②=0時，求σ%，、（） 解：①，則 ②=0時，，則， 于是，=…σ%=… 例9〈設(shè)計型題，較易，主要考概念〉 求：，①使時，；②使時， 解：① ，〈利用基本概念，不用計算〉 ② ，則 故：。 根軌跡法 一、定義： 〈①〉。 其中為根軌跡增益。開環(huán)放大倍數(shù) 閉環(huán)特征方程的根隨參數(shù)而變化的軌跡，稱為根軌跡。 其符合兩個條件： 〈②〉幾條規(guī)則：①實(shí)軸上的根軌跡 〈最小相位系統(tǒng)〉右邊有奇數(shù)個零極點(diǎn)時，有根軌跡 〈非最小相位系統(tǒng)〉右邊有偶數(shù)個零極點(diǎn)時，有根軌跡 ②根軌跡條數(shù)=Max（n,m）， 起點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)（），終點(diǎn)為開環(huán)零點(diǎn)（） ③漸進(jìn)線條數(shù)：（n-m）條，與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)： 與實(shí)軸夾角：。 ④分離點(diǎn)與會合點(diǎn)：使，并使>0的點(diǎn) ⑤復(fù)數(shù)極點(diǎn)出射角： 對非最小相位系統(tǒng) 復(fù)數(shù)零點(diǎn)的入射角： 對非最小相位系統(tǒng) ⑥與虛軸交點(diǎn)： （a）用勞斯判據(jù)確定，用輔助方程求得 （b）代入閉環(huán)特征方程，由實(shí)部=0，虛部=0求得 例1： 解：漸進(jìn)線（3條）：， 由，則， ，得 與虛軸的交點(diǎn)：方法一 ，勞斯陣： 要與虛軸有交點(diǎn)，則有一行全零，即 輔助方程： 方法二 將代入特征方程： ， 則與虛部的交點(diǎn) 根軌跡如下圖 例2： 解：漸進(jìn)線一條。出射角 分離點(diǎn)與會合點(diǎn)：， 故：，則，得，可見根軌跡是圓弧。 證明：取圓弧上一點(diǎn)。 （應(yīng)用輻角條件） 兩邊取正切： 可見是圓。 例3： 解：結(jié)構(gòu)圖化簡,有: 閉環(huán)特征方程為 ,由此畫根軌跡圖。 也可以由，畫根軌跡。 例4： 解：，， 則： ① α=1，α=9時，有一個分離點(diǎn) ② 當(dāng)α<1時，顯然不穩(wěn)定。 當(dāng)α>9時，如取α=10，則， ，根軌跡如上圖。 離散系統(tǒng)分析方法 一、采樣定理 鏡像作用,采樣頻率 二、① 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 閉環(huán)，特征方程 。 ②判斷穩(wěn)定性：用雙線性變換，將其代入特征方程中，再用勞斯判據(jù)。如果K給定，則直接解特征方程，若|z|<1則穩(wěn)定，若|z|>1則不穩(wěn)定。 ③，對參考輸入有： ④求時，可以用兩種方法： a）部分分式法；b）長除方法 G(s) ⑤z變換公式： 如： 非線性系統(tǒng)分析方法 G(s) 注：1為sinwt；2為基波和高次諧波經(jīng)過G（s）后剩下的基波。 一、分析方法： 二、描述函數(shù)法： ①閉環(huán)特征方程：，則 判斷是否包圍，包圍則系統(tǒng)不穩(wěn)定，不包圍則穩(wěn)定。 如同，判斷是否包圍-1，包圍則不穩(wěn)定，不包圍則穩(wěn)定。 ②負(fù)倒特性： A點(diǎn)不穩(wěn)定,自激振蕩 B點(diǎn)為穩(wěn)定自激振蕩，因有干擾時系統(tǒng)發(fā)散，則系統(tǒng)正好進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，而系統(tǒng)穩(wěn)定時要衰減，則系統(tǒng)又回到B點(diǎn)右邊，又再次進(jìn)入到不穩(wěn)定區(qū)，又要發(fā)散，然后又進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，如此反復(fù)，則系統(tǒng)始終穩(wěn)定再B點(diǎn)附近。 例1：如圖。其中： ， 判斷是否存在穩(wěn)定的自激振蕩？為消除自激振蕩如何調(diào)整？ 解： 例2： 解：，，則合成為： 則，變換成： 再畫圖分析…… 例3：[2002年題5] 其中：。 ①討論參數(shù)T為系統(tǒng)自激振蕩的影響 ②設(shè)T=0.25sec，求輸出自激振蕩的振幅和頻率。 解：， 兩者相切時，即頻率特性G(jw)的虛部等于-1/N(X)，B點(diǎn)穩(wěn)定，A點(diǎn)不穩(wěn)定。 此時， 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論 一、①李氏第一方法：線性化方法 ， 線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)只有一個；非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)有多個。雅可比矩陣： ，判斷其穩(wěn)定性用特征多項(xiàng)式，然后用勞斯判據(jù)。如果線性系統(tǒng)穩(wěn)定，則非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；反之，如果線性系統(tǒng)不穩(wěn)定，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。 如果處于穩(wěn)定邊界（有純虛根），則不能判定非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ②李氏直接方法：〈1〉克拉索夫斯基方法；〈2〉變量梯度法（不考） 二、對非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性問題的解題步驟： ①先用線性化方法： ，由得， 若：（1），則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處是不穩(wěn)定的； （2），則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 （3），中至少有一個實(shí)部為0，則此方法失效。 ②否則，用克拉索夫斯基方法： ，，當(dāng)Q(x)正定時，即當(dāng)主子式均大于零時，且當(dāng)時，有： ，則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。 ③最后想到用李雅普諾夫第二方法：構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)V(x)，例如： ，要求V(0)=0，x≠0,V(x)>0。 步驟：1、構(gòu)造； 2、，將，代入，若為負(fù)定，半負(fù)定，，有。則系統(tǒng)在處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。 例1：<2000年題6>使用李雅普諾夫方法判斷下述非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解：線性化方法失效，則只好用克拉索夫斯基方法： ，則 且時，有 ，故此系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定。 例2：<2001年題6>試用李雅普諾夫方法判斷下述非線性系統(tǒng)在原點(diǎn)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解：用線性化方法： ， 狀態(tài)空間分析方法 一、模型的建立 則， ，即： 令，則， 如對，令 則， 或 例1：由傳遞函數(shù)來求 ，則 ， 則 ，即 例2：， 有：即： 可見-2為重根，則此為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。約當(dāng)塊對應(yīng)B陣中的行中有一列不為零，則能控；約當(dāng)塊對應(yīng)C陣中的列中有一列不為零，則能觀。 2 2 2 -1 5 3 二、對型題的解答步驟： ①判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：，得，若則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。 ②能控性判別矩陣： ， 若r(M)=n，即滿秩，為完全能控，否則不完全能控。 能觀性判別矩陣：，若為滿秩，為完全能觀，否則不完全能觀。 注意：如果A是對角陣且沒有重根時，則用直接觀察的方法判別能控、能觀便可。若b中對應(yīng)的值不為0，則此狀態(tài)分量能控，若b中全不為0，則為完全能控。若c中對應(yīng)的值不為0，則此狀態(tài)分量能觀，若c中全不為0，則完全能觀。 如果A是對角陣且有重根，或是一般矩陣時，則必須用能控性判別矩陣M和能觀性判別矩陣N。 ③狀態(tài)反饋：條件——所調(diào)整的極點(diǎn)對應(yīng)的狀態(tài)分量必須能控。 原理： ，引入，則有 解題方法：特征多項(xiàng)式=期望多項(xiàng)式，即 。 ④狀態(tài)觀測器<不考計算，因?yàn)樘珡?fù)雜> 條件：系統(tǒng)完全能觀，才可用狀態(tài)觀測器 ⑤輸出可控性矩陣：，若滿秩，則輸出完全可控，否則輸出不完全可控。 例3 、<2001年題5> 要求： (1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 (2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測，并指出各狀態(tài)分量的能控，能觀性 (3)能否用線性狀態(tài)反饋將原有的極點(diǎn)-1，-2，3調(diào)整為-1，-2，-3？若能請計算出K1,K2,K3的值；若不能，請說明原因。 (4)判斷系統(tǒng)的輸出可控性 解： (1)顯然有+3特征根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定 (2)由B陣知不完全能控，x1,x3能控，x2不能控；由C陣知不完全能觀，x2,x3能觀，x1不能觀。 (3)能，因?yàn)閤3時能控的，設(shè)，由 ， 因此有 (4)輸出可控性矩陣，秩為1，可控。 例4 ：<2002年題2> ， 要求： (1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 (2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測，并說明理由。 (3)能否通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定？ (4)能否應(yīng)用狀態(tài)觀測器？ 解：（1）顯然ɑ>0，系統(tǒng)不穩(wěn)定；ɑ=0邊界狀態(tài)；ɑ<0時系統(tǒng)穩(wěn)定。 （2）因?yàn)?1時重根，由不是約當(dāng)型，則用較穩(wěn)妥的方法，即用可控性矩陣。 ， 則秩為2 ，為不完全能觀 （3）狀態(tài)反饋要通過x3進(jìn)行，則要能觀測x3才行。當(dāng)C3不為0時，可以通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 （4）系統(tǒng)完全能觀，才可應(yīng)用狀態(tài)觀測器。 例5：<2000年題5> 要求： (1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 (2)判斷系統(tǒng)是否完全能控，完全能觀測，并說明理由。 (3)能否通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定？ (4)能否應(yīng)用狀態(tài)觀測器？ 解：（1）顯然有+1根，則系統(tǒng)不穩(wěn)定 （2）不完全能控，x1可，x2不可 不完全能觀，x1不可，x2可 （3）因?yàn)閤1能控，則可以改成-1， 設(shè) 故 （4）不能，因?yàn)橄到y(tǒng)不完全能觀 例6：<99年題五> 要求：①…②…③… 解： 傳遞函數(shù)： ，故 三、狀態(tài)方程的解，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 如：，則 齊次，則 。采用變換的方法： , 特別當(dāng) 如果有二重根，則 如果有三重根，則 分塊，有： 注意：觀測器不考 最后 例1：<2000年題四> 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試畫出Nyquist圖，并確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：T1T2時，顯然N=1，P=0，Z=N+P=1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 例2、<2001年題1> 要求：（1）求出閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式f(s)； (2)……(3)……(4)…… 解：(1)特征方程為：，則特征多項(xiàng)式為： (2)零極點(diǎn)：， 漸近線：， 分離點(diǎn)： 三條根軌跡匯合，因?yàn)榇藭rK值相同。 例3：<2001年題2> α=9，要求：(1)…(2)…(3)…(4)… 解： (1) (2) (3) 由勞斯判據(jù)：， 故當(dāng)K>15時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，不能計算穩(wěn)態(tài)誤差。 (4)當(dāng)K=5時， <注意：、、只對參考輸入r(t)有效> 例4：<2001年題3> 開環(huán)傳遞函數(shù)由最小相位環(huán)節(jié)組成，其折線對數(shù)幅頻特性曲線如上圖所示 要求：(1)寫出開環(huán)傳遞函數(shù) (2)…(3)…(4)… 解：(1)開環(huán)傳遞函數(shù)，如圖虛線所示。 ，故： (2) ， 因?yàn)?.2>0.01，故達(dá)不到180度。 (3)如圖，P=0，Z=0，N=P+Z=0，系統(tǒng)穩(wěn)定。 (4) ， ，如圖所示： 顯然，N=1，P=0，Z=N+P=1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 結(jié)束語 今年可能題多，但不會太難。 以所講的內(nèi)容為主，認(rèn)真復(fù)習(xí)筆記，不會出問題。 以上內(nèi)容有考研論壇“自動化”版--斑竹土豪007提供，謝謝您的支持！??！