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1、2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 逆序推理法
逆序推理法，也叫逆推法或倒推法。簡單說，就是調(diào)過頭來往回想。
例1 老師心中想了一個(gè)數(shù)，對(duì)他的學(xué)生說：“給這個(gè)數(shù)加上9，再取和的一半應(yīng)是5?！彼袑W(xué)生們把這個(gè)數(shù)算出來。你會(huì)算嗎？
解：用逆推法求解，就是這樣想：因?yàn)槔蠋熛氲臄?shù)加上9后之和的一半是5，那么和就應(yīng)是 5×2=10；再往前逆推，在沒有加上9之前應(yīng)是10-9=1，這就是老師心中想的數(shù)。
讓我們再從另一種思路去想：
首先，把老師想的數(shù)用□代表，順著題意列式應(yīng)有：
?。ā?9）÷2=5，我們可以叫它做順序式。
然后，再把前面的逆推過程寫成算式，就應(yīng)
2、有：
5×2-9=1，“1”就是方框所代表的數(shù)，所以把它寫在方框里。我們可以把這個(gè)算式叫做逆序式。把兩式進(jìn)行對(duì)照比較（如下圖如示）可見：
?、夙樞虻倪\(yùn)算結(jié)果（或最后結(jié)論）是逆序式的已知數(shù)據(jù)（或起始條件）；
②順序式中除以2變?yōu)槟嫘蚴街谐艘?；
③順序式中加上9變?yōu)槟嫘蚴街袦p去9；
?、茼樞蚴街衅鹗嘉粗獢?shù)變?yōu)槟嫘蚴街凶詈筮\(yùn)算結(jié)果；
總之，逆序式恰為順序式的逆運(yùn)算。
這就是逆推法的由來和實(shí)質(zhì)。
例2 某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，最后結(jié)果等于6。問這個(gè)數(shù)是幾？
解：依題意，寫出順序式，再接著寫出逆序式，
[（某數(shù)+6）×6-6]÷
3、6=6…順序式
?。?×6+6）÷6-6=某數(shù)…逆序式
經(jīng)計(jì)算可知“某數(shù)”=1。
例3 小勇拿了媽媽給的零花錢去買東西。他先用這些錢的一半買了玩具，之后又買了1元5角錢的小人書，最后還剩下3角錢。你知道媽媽給小勇多少錢嗎？
解：可以這樣倒著想：小勇最后剩下3角錢，在買書之前的錢應(yīng)是3角+1元5角=1元8角。這個(gè)數(shù)目是他買玩具后剩下的，買玩具前的錢數(shù)應(yīng)當(dāng)是：1元8角×2=3元6角。這就是媽媽給他的錢數(shù)。
若畫出下面的圖就更清楚了。
例4 小亮拿著1包糖，遇見好朋友A，分給了他一半；過一會(huì)又遇見好朋友B，把剩下的糖的一半分給了他；后來又遇到了好朋友C，把這時(shí)手
4、中所剩下的糖的一半又分給了C，這時(shí)他自己手里只有一塊了。問在沒有分給A以前，小亮那包糖有幾塊？
解：采用逆推法--從最后結(jié)果往前倒著推算。小亮最后手里只剩下一塊糖，這是分給C一半后所剩的數(shù)，則知遇見C之前小亮有糖：
1×2=2（塊）。
同理，遇到B之前有糖：2×2=4（塊）。
遇到A之前有糖：4×2=8（塊）。
即小亮未給小朋友前，那包糖應(yīng)有8塊。
例5 農(nóng)婦賣蛋，第一次賣掉籃中的一半又1個(gè)，第二次又賣掉剩下的一半又1個(gè)，這時(shí)籃中還剩1個(gè)。問原來籃中有蛋幾個(gè)？
解：
逆推：籃中最后（即第二次賣后）剩1個(gè)；
第二次賣前籃中有（1+1）×2
5、=4個(gè)；
第一次賣前籃中有（4+1）×2=10個(gè)；
即籃中有10個(gè)蛋。
例6 某池中的睡蓮所遮蓋的面積，每天擴(kuò)大1倍，20天恰好遮住整個(gè)水池，問若只遮住水池的一半需要多少天？
解：倒著想。若是今天睡蓮把整個(gè)池面遮滿了，那么昨天睡蓮只遮住了水面的一半。今天是第20天，昨天就是第19天，也就是說睡蓮遮住一半池面需19天。
例7 文化用品店新到一批日記本，上一周售出本數(shù)比總數(shù)的一半少12本；這一周售出的本數(shù)比所剩的一半多12本；結(jié)果還有19本。問這批日記本有多少？
解：
由圖上可見本周未售出時(shí)的一半是：
19+12=31（本）；
本周未售出時(shí)
6、的總數(shù)是：
31×2=62（本）；
總數(shù)的一半是：
62-12=50（本）；
總本數(shù)是：
50×2=100（本）。
列出綜合算式：
[（19+12）×2-12]×2=100（本）。
答：這批日記本共有100本。
例8 現(xiàn)有一堆棋子，把它分成三等份后還剩一顆；取出其中的兩份又分成三等份后還剩一顆；再取出其中的兩份再分成三等份后還剩一顆。問原來至少有多少顆棋子？
解：題中有“至少”這一條。
用逆推法從最后的最少棋子情況逆推。先畫線段圖依次表示分棋子的過程，見下圖：
假設(shè)第三次分時(shí)，三等份中每分是1個(gè)棋子（最少），
則
7、此次分前應(yīng)是3+1=4個(gè)；4÷2=2，則第二次分前應(yīng)是2×3+1=7個(gè)，注意7是奇數(shù)（第二次分前的棋子是第一次分后的兩份，應(yīng)是偶數(shù)所以不應(yīng)是7，可見前面假設(shè)不對(duì)）。
再假設(shè)第三次分時(shí)每等份是2個(gè)棋子，也不行。
又假設(shè)第三次分時(shí)每等份是3個(gè)棋子，則有
3×3+1=10；
10÷2=5，5×3+1=16；
16÷2=8，8×3+1=25；
∴原來有棋子至少是25個(gè)。
附送：
2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 速算與巧算1
利用上一講得到的乘法運(yùn)算定律和等差數(shù)列求和公式，可以使計(jì)算變得巧妙而迅速。
例1 2×4×5×25×54
=
8、（2×5）×（4×25）×54 （利用了交換律和結(jié)合律）
=10×100×54
=54000
例2 54×125×16×8×625
=54×（125×8）×（625×16） （利用了交換律和結(jié)合律）
=54×1000×10000
=540000000
例3 5×64×25×125 將64分解為2、4、8的連乘積是關(guān)鍵一步。
=5×（2×4×8）×25×125
=（5×2）×（4×25）×（8×125）
=10×100×1000
=1000000
例5 37×48×625
=37×（3×16）×625
9、注意37×3=111
=（37×3）×（16×625）
=111×10000
=1110000
例6 27×25+13×25 逆用乘法分配律，這樣做叫提公因數(shù)
=（27+13）×25
=40×25
=1000
例7 123×23+123+123×76 注意123=123×1；再提公因數(shù)123
=123×23+123×1+123×76
=123×（23×1+76）
=123×100
=12300
例8 81+991×9 把81改寫（叫分解因數(shù)）為9×9是為了下一步提出公因數(shù)9
=9×9+991×9
=（9+
10、991）×9
=1000×9
=9000
例9 111×99
=111×（100-1）
=111×100-111
=11100-111
=10989
例10 23×57-48×23+23
=23×（57-48+1）
=23×10
=230
例11 求1+2+3+…+24+25的和。
解：此題是求自然數(shù)列前25項(xiàng)的和。
方法1：利用上一講得出的公式
和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2
1+2+3+…+24+25
=（1+25）×25÷2
=26×25÷2
=325
方法2：把兩個(gè)和
11、式頭尾相加（注意此法多么巧妙?。?
想一想，這種頭尾相加的巧妙求和方法和前面的“拼補(bǔ)法”有聯(lián)系嗎？
例12 求8+16+24+32+…+792+800的和。
解：可先提公因數(shù)
8+16+24+32+…+792+800
=8×（1+2+3+4+…+99+100）
=8×（1+100）×100÷2
=8×5050
=40400
例13 某劇院有25排座位，后一排都比前一排多2個(gè)座位，最后一排有70個(gè)座位，問這個(gè)劇院一共有多少個(gè)座位？
解：由題意可知，若把劇院座位數(shù)按第1排、第2排、第3排、…、第25排的順序?qū)懗鰜恚厥且粋€(gè)等差數(shù)列。
那么第1排有多少個(gè)座位呢？因?yàn)椋?
第2排比第1排多2個(gè)座位，2=2×1
第3排就比第1排多4個(gè)座位，4=2×2
第4排就比第1排多6個(gè)座位，6=2×3
這樣，第25排就比第1排多48個(gè)座位，
48=2×24。
所以第1排的座位數(shù)是：70-48=22。
再按等差數(shù)列求和公式計(jì)算劇院的總座位數(shù)：
和=（22+70）×25÷2
=92×25÷2
=1150。
2021-2022年二年級(jí)數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 逆序推理法
